1、6 余弦函数的图像与性质,1.余弦函数图像的画法 (1)平移法：,左,(2)五点法： 五个关键点：函数y=cos x，x0,2的简图：,1,0,-1,0,1,(3)余弦曲线：y=cos x(x0,2)的图像向左、向右平行 移动(每次平移_个单位)得到余弦函数y=cos x(xR)的图 像,此图像叫作余弦曲线.,2,2.余弦函数的性质,2,增加,减少,1判一判 (正确的打“”，错误的打“”) (1)余弦函数y=cos x是偶函数，图像关于y轴对称，对称轴有无数多条.( ) (2)余弦函数y=cos x的图像是轴对称图形，也是中心对称图形.( ) (3)在区间0，2上，函数y=cos x仅在x=0
2、时取得最大值1.( ),2做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数y=cos x的单调增区间是_，单调减区间是_，最小正周期是_. (2)函数y=2cos x-1的值域是_. (3)函数y=f(x)=-cos x的奇偶性为_.,【解析】1.(1)正确.由余弦函数的图像可得，对称轴方程为 x=k(kZ),所以余弦函数的图像的对称轴有无数条. (2)正确.由余弦函数的图像可得函数关于点 (kZ) 成中心对称. (3)错误.在区间0，2上，函数y=cos x在x=0与x=2 时取得最大值1. 答案：(1) (2) (3),2.(1)y=cos x的图像在x轴上方的不动，将下方部分对称地翻到x轴
3、上方，即得到函数y=cos x的图像，如图所示，,由图像可知，函数的最小正周期为，又因为在 上， 函数的增区间是 减区间是 而函数的周期是 k(kZ且k0)，因此函数y=cos x的增区间是(kZ)，减区间是 (kZ). 答案：,(2)因为y=cos x-1,1，所以2cos x-1-3,1. 答案：-3,1 (3)函数y=-cos x的定义域为R，f(-x)=-cos(-x)=-cos x =f(x)，所以函数为偶函数. 答案：偶函数,【要点探究】 知 识 点 余弦函数的图像与性质 1.余弦函数性质与图像的关系 (1)余弦函数性质的研究可以类比正弦函数的研究方法. (2)余弦函数的性质可以由
4、图像直接观察，但要经过解析式或单位圆推导才能下结论.,2.对余弦函数单调性的三点说明 (1)余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间. (2)求解或判断余弦函数的单调区间(或单调性)，是求与之相关的值域(或最值)的关键，通常借助其求值域(或最值). (3)确定较复杂函数的单调性，要注意使用复合函数单调性的判断方法.,3.余弦函数的最值 (1)明确余弦函数的有界性，即|cos x|1,解题时常会用到. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或-1，要依赖函数的定义域来确定. (3)形如y=Acos(x+)(A0,0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令x+=z,将函数转化为y=Aco
5、s z的形式求最值.,【微思考】 (1)由y=sin x，xR的图像得到y=cos x,xR的图像，平移的方法唯一吗？ 提示：可向左平移也可向右平移，方法不唯一. (2)形如y=Acos(x+)(A0,xR)的值域还是-1,1吗？ 提示：不一定是.值域是-A,A.,【即时练】 下列关于函数y=-3cos x-1的说法错误的是( ) A.最小值为-4 B.是偶函数 C.当x=k，kZ时，函数取最大值 D.是周期函数，最小正周期为2 【解析】选C.当x=k,kZ时，y=cos x取到最大值1，而函数y=-3cos x-1取最小值.,【题型示范】 类型一 “五点法”画余弦函数的图像 【典例1】 (1
6、)利用“五点法”作余弦函数的图像时，第三个关键点的坐标为( ) A.(0，1) B. C.(,-1) D. (2)用“五点法”作出y=1+cos x(0x2)的简图.,【解题探究】1.对余弦函数而言，五点法作图的五个点的坐 标分别是什么？ 2.题(2)中函数y=1+cos x的最大值与最小值分别等于什么？ 【探究提示】1.五个点分别为(0，1)， ， (，-1)，(2，1). 2.因为cos x-1，1，所以1+cos x0，2,即最大 值为2，最小值为0.,【自主解答】(1)选C.由五个点的坐标知第三个关键点为 (,-1). (2)列表如下：,描点连线，可得函数y=1+cos x在0,2上的
7、图像如图所示：,【方法技巧】“五点法”画函数图像的三个步骤,【变式训练】作出函数y=1-cos x(0x2)的简图. 【解题指南】将0,2这一区间四等分找到五个关键点然后描点、连线即可. 【解析】列表：,描点连线得y=1-cos x的图像(如图所示).,【补偿训练】“五点法”画y=cos 时，所取的五个点为_. 【解题指南】把 作为一个整体看作是y=cos x中的x 可得五点.,即五个点分别为： 答案：,【解析】列表可得：,类型二 余弦函数的奇偶性及应用 【典例2】 (1)(2013佛山高一检测)函数f(x)=sin(x+)(0)是R上的偶函数，则的值为( ) A.0 B. C. D. (2)
8、(2014绵阳高一检测)函数f(x)=sin(2x+ )的奇偶性为_. (3)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)= sin 2x+cos x， 求f(x).,【解题探究】1.f(x)为R上的偶函数应具备什么条件？ 2.利用诱导公式化简sin(2x+ )等于什么？ 3.题(3)中已知函数f(x)为奇函数，求f(x)的一般原则是什么？ 【探究提示】1.应满足f(-x)=f(x). 2. 3.先求x=0时的解析式，再求x0时的解析式，对定义域内的取值要完整.,【自主解答】(1)选C.当=0或时，f(x)为奇函数，当=时,为非奇非偶函数.只有当= 时符合题意,故选C. (2)
9、因为 =-sin(2x+ )=-cos 2x，所以f(-x)=-cos(-2x) =-cos 2x=f(x),即f(x)为偶函数. 答案：偶函数,(3)因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(-x)=-f(x),所以f(0)=-f(0)，f(0)=0, 当x0时，-x0, 所以f(x)=-f(-x)=-sin 2(-x)+cos(-x) =sin 2x-cos x， 所以,【方法技巧】余弦函数奇偶性常用结论 (1)因为余弦函数是偶函数，所以cos x=cos x. (2)y=cos(x+)，当=k+ (kZ)时是奇函数； y=sin(x+)，当=k+ (kZ)时是偶函数. (3)余
10、弦函数的对称轴和对称中心 对称轴方程为x=k(kZ). 对称中心的坐标为( +k,0)(kZ).,【变式训练】函数f(x)=x2+cos x的奇偶性为_. 【解析】因为xR，且f(-x)=(-x)2+cos(-x)=x2+cos x=f(x),所以函数f(x)是偶函数. 答案：偶函数,【补偿训练】函数y=cos(sin x)的奇偶性是_. 【解析】函数定义域为R,又cos sin(-x) =cos(-sin x) =cos(sin x)，所以函数为偶函数. 答案：偶函数,类型三 余弦函数的单调性与最值 【典例3】 (1)函数y=cos 2x的一个增区间是( )(2)求函数y=3cos2x-4c
11、os x+1的最大值和最小值.,【解题探究】1.题(1)中涉及的函数是哪种？ 2.题(2)中若将cos x变为t，则函数变为什么？ 【探究提示】1.涉及的函数是余弦函数. 2.函数变为y=3t2-4t+1.,【自主解答】(1)选D.令2k-2x2k,kZ，所以 k- xk，当k=1时，x ,. (2)令t=cos x，则-1t1,问题转化为求函数y=3t2-4t+1 (-1t1)的最大值和最小值. 因为 所以函数在-1, 上是减少的，在 ,1上是增加的，,当t= 时,y有最小值;当t=-1时,y有最大值， 所以ymax=3+4+1=8.所以函数的最大值为8，最小值为- .,【延伸探究】若将本题
12、(2)增加条件x 求最大值和 最小值. 【解析】令t=cos x, 则y= 因为x 所以t 函数在区间 上是减少的. 所以当t=- 即cos x=- 时,ymax= ， 此时x= .当t= 即x= 时，ymin=- .,【方法技巧】求函数最大值、最小值的方法 (1)直接法：根据函数值域的定义,由自变量的取值范围求出函数值的取值范围. (2)单调性法：利用函数的单调性. (3)图像法：利用函数的图像,转化为求函数图像上最高点和最低点的纵坐标的问题. (4)换元法:转化为一次函数、二次函数等函数问题.,【变式训练】函数y4cos2x4cos x2的值域为( ) A.-2，6 B.-3，6 C.-2
13、，4 D.-3，8 【解题指南】利用换元法将函数变为二次函数，利用二次函数求最值.,【解析】选B.设cos x=t， 则y4cos2x4cos x24t2+4t-2 =4(t2+t)-2=4(t+ )2-3. 因为1cos x1，所以-1t1,所以ymin3，,【补偿训练】求函数y2cos(2x )，x 的最大值 与最小值. 【解析】因为 所以02x 所以12cos(2x )2， 当cos(2x )1， 即x 时，ymax2， 当cos(2x ) ， 即x 时，ymin1.,【规范解答】余弦函数值域的应用 【典例】(12分)(2014榆林高一检测)已知函数y=a-bcos x的 最大值为 ，最
14、小值为- ，求函数y=-2sin bx的最值及周期.,【审题】抓信息，找思路,【解题】明步骤，得高分,【点题】警误区，促提升 失分点1：解题时若忽视对处参数b的分类讨论，则会导致漏解而失分. 失分点2：解题时若忽视解析式中的符号，则会导致处的解析式出错而失分. 失分点3：解题时若忽视处的总结，则会导致解题不完整而失掉2分.,【悟题】提措施，导方向 1.分类讨论的意识 在解含有参数的问题时，切记分类讨论思想的应用，如本例中的解析式中含有参数，故需考虑是否需要分类讨论. 2.函数性质的应用 对一些常用函数的性质要牢记，如本例中正弦函数的值域、周期等.,3.解题的规范性 做解答题时，步骤要合理、规范，对于分类讨论的问题最后要有总结，如本例中的.,【类题试解】已知函数y=acos x+b的最大值为1，最小值为 -3，求函数y=asin bx的最值. 【解析】当a0时， 解得a=2，b=-1，此时 y=asin bx=-2sin x，所以ymax=2,ymin=-2. 当a0时， 解得a=-2，b=-1,此时y=asin bx =2sin x，所以ymax=2,ymin=-2. 综上所述，所求函数的最大值为2，最小值为-2.,
