1、课时提升卷(三)三个正数的算术-几何平均不等式（45 分钟 100 分）一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)1.设 x,y,zR +且 x+y+z=6,则 lgx+lgy+lgz 的取值范围是 ( )A.(-,lg6 B.(-,3lg2C.lg6,+) D.3lg2,+)2.若实数 x,y 满足 xy0,且 x2y=2,则 xy+x2的最小值是 ( )A.1 B.2 C.3 D.43.若 a,b,c 为正数,且 a+b+c=1,则 + + 的最小值为 ( )A.9 B.8 C.3 D.4.已知 x+2y+3z=6,则 2x+4y+8z的最小值为 ( )A.3 B.2 C.12 D.125
2、.当 0x 时,函数 y=x2(1-5x)的最大值为 ( )A. B. C. D.无最大值6.设 a,b,cR +,且 a+b+c=1,若 M= ,则必有 ( )A.0M0,y0 且 xy2=4,则 x+2y 的最小值为 .8.若记号“*”表示求两个实数 a 与 b 的算术平均的运算,即 a*b= ,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意 3 个实数 a,b,c 都能成立的一个等式可以是 .9.( 2013扬州高二检测)设正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,则 + +的最小值为 .三、解答题(1011 题各 14 分,12 题 18 分)10.求函数 f(x)=x(5-2x)2 的最大值
3、.11.(2013常州高二检测)已知 x,y 均为正数,且 xy,求证:2x+ 2y+3.12.(能力挑战题)如图(1)所示,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图(2)所示,求这个正六棱柱容器容积的最大值.答案解析1.【解析】选 B.因为 x,y,zR +,所以 6=x+y+z3 ,即 xyz8,所以 lgx+lgy+lgz=lgxyzlg8=3lg2.2.【解析】选 C.xy+x2= xy+ xy+x23 =3 =3,当且仅当 xy=x2时,等号成立.3.【解析】选 A.因为 a,b,c 为正数,且 a+b+c=1,所以
4、a+b+c3 ,所以 00,4y0,8z0,所以 2x+4y+8z=2x+22y+23z3=3 =34=12.当且仅当 2x=22y=23z,即 x=2y=3z,即 x=2,y=1,z= 时取等号.5.【解析】选 C.y=x2(1-5x)= x2 = xx .因为 0x ,所以-2x0,所以 y = ,当且仅当 x= -2x,即 x= 时,y max= .6.【解析】选 D.M= =8,当且仅当 a=b=c 时等号成立.7.【解析】由 xy2=4,得 x+2y=x+y+y3 =3 =3 ,当且仅当 x=y= 时等号成立.答案:38.【解析】由题意知 a+(b*c)=a+ = ,(a+b)*(a
5、+c)= = ,所以 a+(b*c)=(a+b)*(a+c).答案: a+(b*c)=(a+b)*(a+c)9.【解析】因为 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,所以(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)=9.于是 (3a+2)+(3b+2)+ (3c+2)33 =9,当且仅当 a=b=c= 时等号成立,即 + + 1,故 + + 的最小值为 1.答案:110.【解析】f(x)=x(5-2x) 2= 4x(5-2x)(5-2x) = .当且仅当 4x=5-2x,即 x= 时,等号成立.所以函数的最大值是 .【拓展提升】用平均不等式求最值利用平均不等式求函数的最值必须同时具备“一正、二定
6、、三相等”这三个条件才能应用,否则会求出错误结果,在具体问题中,“正数”这个条件一般由已知条件容易获得,“相等”条件也容易验证确定,而获得“定值”条件往往被设计为一个难点,它需要一定的灵活性和变形能力,因此,“定值”条件是运用不等式求最值的关键,解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项,创造应用平均不等式的情境及能使等号成立的条件.当连续应用不等式时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,否则也不能求出最值.11.【证明】因为 x0,y0,x-y0,2x+ -2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+3 =3,所以 2x+ 2y+3.12.【解题指南】设出变量表示出容器的容积,利用三个正数的平均不等式求解.【解析】设正六棱柱容器底面边长为 x(x0),高为 h,由图(3)可有 2h+ x= ,所以 h= (1-x),V=S 底 h=6 x2h= x2 (1-x)=2 (1-x)9 = .当且仅当 =1-x,即 x= 时,等号成立.所以当底面边长为 时,正六棱柱容器容积最大,为 .关闭 Word 文档返回原板块。
