1、第四章 杆件的横截面应力,4-1 平面图形的几何性质,杆件承载能力除与其材料性能 , 加载方式和尺寸 有关外 , 还与杆件截面的几何形状有关 .,一、静矩和形心 微面积dA乘以坐标z称为dA对y轴的静矩:同样，dA对z轴的静矩为:平面图形A对两坐标轴的静矩为:,静矩是可加的, 即,利用计算均质板形心的公式, 可知计算几何图形形心的公式:,C点是平面图形A的形心的充分必要条件： 平面图形A对过C点任意方向轴的静矩为零。 SzC=0；SyC=0。,根据静矩定义和静矩的可加性，为了简化复杂图形的形心计算，可以将复杂图形A分为Ai ，i=1,2,n，则,这种方法称为组合法 .,例1： 求抛物线 z =
2、hy2/b2下方面积的形心。 解：,例2： 求图示面积的形心。 解：,二、惯性矩 , 惯性积和惯性半径,微面积元dA乘以坐标z的平方称dA对y轴的惯性矩同样， dA对z轴的惯性矩为dA对O点的极惯性矩为 平面图形A对两坐标轴的惯性矩 和对O点的极惯性矩分别为:惯性半径定义为：,微面积元 dA 乘以 yz 称 dA 对 yOz 轴系的惯性积：平面图形A对坐标轴系的惯性积为惯性积反映平面图形对坐标轴系 的对称性, 以上讨论都与转动惯量的计算方法相似。,例4-3 求矩形对边轴和形心轴的惯性矩。 解：,例5：求圆对形心轴的惯性矩。解：,三、 平行移轴公式,研究平面图形对两组相平行的轴系的惯性矩、惯性积
3、之间的关系。首先根据坐标平移公式,取O1点为平面图形的形心， 且SyC=SzC=0，可得对于惯性积，用同样结果可以得到,针对形心轴系的平行移轴公式,以上公式与计算转动惯量所用的平行轴定理非常相似。,例：求图形对形心轴和y、z轴的惯性矩。 解：,四、 转轴公式,研究将坐标系逆时针旋转角时，平面图形A的惯性矩 和惯性积在新、老轴系之间的变化规律。 坐标旋转公式：,转轴公式的推导,平面图形A对旋转后的y1轴的惯性矩：,平面图形A对旋转后的z1轴的惯性矩：,平面图形A对新轴系的惯性积：经整理后,由前面的推导，可以得到,平面图形A对过O点任意方向轴的惯性矩之最大、最小值极值条件：惯性主方向：惯性主轴：平面图形A对过O点沿惯性主方向的轴称惯性主轴。对称轴是惯性主轴，和主轴垂直的轴也是惯性主轴。,主惯性矩：是平面图形A对过O点惯性主轴的惯性矩；也是平面图形 A对过O点各轴惯性矩的极大、极小值。过形心的惯性主轴称为形心惯性主轴（形心主惯性轴）。 过图形上的任何一个点，都可以找到一对相互垂直的惯性主 轴。,4-2 应力与应变的概念,一. 应力 即：单位截面积上作用着的内力 平均应力一点应力应力的量纲：FL-2， 单位：MPa=106N/m2。,二. 应变,4-3 轴力与弯矩所引起的应力,4-4 扭矩所引起的应力,
