1、第二章 轴心受压构件的屈曲 (buckling of axial compressed members),2-1 轴压杆的弯曲屈曲荷载位移曲线,1-小挠度理论欧拉临界力(弹性) 2-大挠度理论屈曲后性能(弹性) 3-有初弯曲时(弹性) 4-有初偏心时(弹性) 3-有初弯曲时(弹塑性) 4-有初偏心时(弹塑性),2-2 理想轴压杆的弹性弯曲屈曲(perfect columns),1）理想轴压杆的欧拉临界力Euler critical load 基本假设： 同一材料制成的等截面直杆，两端铰接； 荷载作用在截面形心上； 平截面假定，仅考虑弯曲变形（忽略剪切变形）； 材料为弹性； 构件变形非常微小（小
2、挠度理论 ）。,则力矩平衡方程为：,为二阶齐次常微分方程,该微分方程的通解为：,A,B为待定系数，由边界条件确定,否则方程的解为0，没有意义。,即,由此可得临界力公式为： 与之对应的挠曲线为：,参数kn或Pcrn在数学上称为固有值、本征值或特征值(eigenvalue)。 在参数取特征值时，方程有非0解，所以数学上也叫求解特征值问题。,2）边界效应与计算长度的概念(boundary conditions and effective length concept) （求解两端为任意支承情况时的临界力）,任意一截面弯矩(对A点取矩)：,弯矩与曲率的关系,则有二阶常系数微分方程：其中：,则方程的通解
3、为：,其中A、B、C、D为四个由边界条件确定的待定系数。,对通解求导，可得其各阶导数：,各种支承情况的边界条件为：铰支：固支：自由端：,杆件两端各有两个边界条件，共四个，正好形成四个方程,工况一：两端嵌固轴心压杆有：,为使关于A、B、C、D的齐次方程组有非0解，则其系数行列式应为0。,则： 因此有： 由第一式得：第二式为超越方程，需采用数值解法或图解法在坐标系中分别画出曲线 和 ，其交点即为方程的解。,取最小值得：,结合上述两个方程的解，取小值，得两端嵌固杆的临界力为：,工况二：一端铰接、一端嵌固的轴心压杆有：,采用图形曲线法得：,工况三：一端嵌固、一端自由的轴心压杆有：,工况四：一端嵌固、另
4、一端侧向可动但不转动的轴心压杆有：,工况五：一端铰支、一端侧向可动但不转动的轴心压杆有：,注：从上述五种工况的结果可以看出，临界力Pcr可表达为：,l0有效长度、或计算长度； l实际杆长； 杆件计算长度系数。,临界应力：其中：屈曲临界应力与 长细比的关系：,超过屈服点fy时以虚线表示,2-3 轴心受压构件的大挠度理论,1）大挠度方程 基本假设： 同一材料制成的等截面两端铰接直杆； 荷载作用在截面形心上； 平截面假定，仅考虑弯曲变形； 材料为弹性； 构件曲率与变形的关系：因此大挠度方程为：,与小挠度理论相同,2）大挠度理论的解应采用特殊的变换和数值解法才能求解。（大多数非齐次微分方程都没有解析解
5、）可以得到大挠度理论轴心受压构件的荷载挠度曲线,3）几点结论 当PPE时，小、大挠度理论都表明构件处于直线稳定平衡状态； 当PPE时，小挠度理论只能指出构件处于随遇平衡状态，只能给出分岔点和屈曲变形形状，不能给出确定的挠度值；而大挠度理论不仅能说明构件屈曲后仍处于稳定平衡状态，而且可以得到不同时刻的荷载与挠度关系； 大挠度理论使用了弹性假设，因此屈曲后荷载有所提高，但当挠度达到构件长度3以上时，跨中弯曲应力将使截面进入弹塑性状态，出现下降段，如上图所示。因此轴心压杆的屈曲后强度提高时没有意义的。,2-4 理想轴心压杆的弹塑性弯曲屈曲(inelastic buckling),1）理想弹性轴压杆弯
6、曲屈曲的适用范围,当cr比例极限p时，欧拉公式不再适用。因为前面推导时用到了 y，E为弹性模量，应该是不变的；而弹塑性阶段时模量将发生变化。,临界长细比（为弹性失稳和弹塑性失稳的分界点） 若令：,轴心压杆弹塑性失稳的计算理论切线模量理论，1889，Engesser. F, Et双模量理论，1895，Engesser. F, EtErEShanley理论，1946，Shanley. F. R, 广泛用于解决稳定的分岔失稳问题，或板的非弹性屈曲。Shanley证明：切线模量屈曲荷载是弹塑性屈曲荷载的下限，而双模量屈曲荷载为其上限。实际试验结果更接近于切线模量理论。,2）切线模量理论Tangent
7、Modulus Theory, 1889年Engesser提出,基本假设 构件是挺直的； 构件两端铰接，荷载沿构件轴线作用； 构件的弯曲变形很微小； 弯曲前的平截面在弯曲后仍为平面； 在弯曲时全截面没有出现反号应变。,最后一条假设认为：达到弹塑性失稳荷载Pt后，构件微弯时荷载还略有增加，而且增加的平均轴向应力正好抵消因弯曲而在11截面右侧边缘产生的拉应力。 即：凹面压应力增加为max；凸面压应力增加量正好为0。在11截面上内外力的平衡方程：,任意截面i上的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡方程为：代入前面推导得到的轴力和弯矩，则求解微分方程，得：其中Pt和Et均为未知，需要迭代求解。,3）双模量理
8、论Double Modulus Theory, 1895年Engesser提出,补充基本假设 上述假设最后一条变为：弯曲时凹面产生正号应变，凸面产生负号应变；即凹面为继续加载区，凸面为卸载区。,加载区变形模量为Et（它与截面平均应力r相对应）；卸载区变形模量为E弯曲轴远离形心轴向移动,1-1截面上的内力矩：需要求出中性轴的位置,任意截面i上的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡方程为：代入前面推导得到的轴力和弯矩，则求解微分方程，得：其中 为折算模量。,注： 若求 ,故需反复迭代计算； 对于矩形截面对于工字形截面腹板很薄时，绕强轴的Pt小于Pr，曾认为双模量理论更为完善，但研究表明Pt更接近试验结果
9、。原因是：非理想轴心压杆都存在微小缺陷，屈曲时弯曲凸面不出现反号应变。,2-5 缺陷对临界力的影响,1）初始弯曲的影响（假设在弹性范围内）initially bent,不同的初弯曲形式如下（虚线为正弦半波）,初始弯曲； 初始偏心； 残余应力。,初弯曲的考虑方法考虑最不利情况，假定初始弯曲呈正弦半波曲线。即： 平衡方程为（如图）：求解方法由两端铰接杆的失稳变形可知，增加的变形也为正弦半波曲线：,二阶导数为：代入平衡方程得：x为任意值时，中括号外的正弦项不可能均为0，故：,则跨中总挠度为：上式代表P/PE与f的关系曲线。,讨论 有初始弯曲杆不是分岔失稳问题，考虑弹塑性时为极值点失稳；考虑弹性时f
10、时，则PPE。 相同压力下，初弯曲f0越大，杆的挠度越大。,因此施工验收规范规定柱的最大初始挠度为H/1000。,考虑弹塑性影响时，初弯曲越大，稳定的承载力越低。原因为：最大荷载点（弯矩最大点，即跨中）的截面屈服部分加大。亦即附加弯矩加大，提前屈服。 构件的最大挠度为：跨中最大弯矩为：其中Am为弯矩放大系数，它体现了一阶弯矩和二阶弯矩的差别，此差别有称为构件本身的二阶效应，即： 效应。,2）边缘纤维屈服准则求临界力的柏利公式,从分析可知，杆件跨中内边缘纤维最大压应力为：,式中： 为初始偏心率，W/A为截面核心距；为欧拉临界应力；为平均压应力（边缘纤维屈曲时）,基于Perry公式的轴心压杆稳定系
11、数令maxs(钢材屈服强度)，由上式可解出 ，称为Perry公式：其中E和有关，由此建立了 和之间的关系。 我国冷弯薄壁型钢技术规范即采用了Perry公式计算轴压杆的稳定。 轴心压杆的稳定公式均为 ，但稳定系数由下式确定,上式由边缘纤维屈服确定了稳定系数与长细比的关系。式中： 为相对长细比。由下图的关系曲线与试验结果对比可见，除少数几何缺陷突出的试件外，试验结果均高于理论曲线。偏于安全,3）初偏心的影响和正割公式eccentrically loaded,平衡方程及求解,跨中 xl/2，代入上式，并整理,把系数k代入，有跨中挠度与轴力的关系式：,讨论 临界承载力与跨中挠度的关系曲线,弹性杆的临界
12、力随挠度的增加逐渐趋近于欧拉临界力； 轴力P相同时，初偏心越大，跨中挠度越大,若考虑杆件中点的边缘纤维最大应力屈服点，有：,或： 称为正割公式,与上小节相同，也可得到 和之间的关系，和稳定系数与长细比之间的关系：,4）残余应力的影响 residual stress,残余应力对杆件平均的应力应变曲线的影响,轴压构件临界应力与的关系,长细比相同时，初始缺陷越大，临界承载力越低。,考虑残余应力的轴心压杆的屈曲荷载,残余应力有一定的分布模式，考虑超过屈服点后，弹性核心继续承受荷载，屈服部分退出工作。,临界应力,其中Ie/I为残余应力降低系数，取决于残余应力的分布，截面形状和弯曲方向。,例：,绕x轴弯曲
13、屈曲时：绕y轴弯曲屈曲时：可见对y轴的影响远大于对x轴的影响,k值的求法,短柱试验求k,当进入弹塑性后，屈服部分退出工作，抵抗应变全靠Ae承担。 由短柱-曲线，其切线模量：,平均应力的增量,应变增量全部由弹性区承担,说明k值是随Et变化的，即k是随平均应力变化的,所以可以通过短柱试验测出切线模量，从而得到残余应力影响系数k。,近似分析法（已知残余应力分布模式，如图，残余拉压应力相等）,当平均应力 时， 即发生弹塑性屈曲时，根据比例关系，有：则,把轴力P用r表示：,则截面平均应力为：所以： 可见k随A变化，k1。,A由P可求，r的分布模式为预先知道，则可确定k。,5）我国钢结构设计规范对于残余应
14、力的考虑方法,根据残余应力的影响不同，把构件分为a,b,c,d四类。 越靠下方的曲线，残余应力影响越大，临界应力越低。,6）国外的柱子曲线(美国稳定协会、欧洲规范),2-6 格构式轴心压杆的稳定计算,1）格构式轴心压杆的种类,2）剪力对临界力的影响和换算长细比概念,剪力的产生,失稳后，任意一点M=P y，则在垂直于挠曲线方向存在剪力,杆件的整体横向变形y由两部分组成：一部分是由弯矩M引起的yM；另一部分是由剪力Q引起的yQ；,即：,前面求解轴心受压构件的临界力只考虑了弯曲变形，这对于实腹式构件来说，由于剪应力很小，完全可以忽略剪切应变能，以简化计算。但对于格构式柱，确定其绕虚轴的临界力时，由于
15、缀材变形较大，就不能忽略剪力的影响。,剪力Q与剪切角dyQ/dx的关系：剪切角：,式中：k1剪力不均匀系数，随截面形式的不同而不同； 为单位剪力作用下的剪切角；G钢材剪切模量。,由弯曲引起的曲率变化为：,考虑剪切变形后的微分方程将(a)(b)两式相加得：,或,令,则： 得：则得临界力为：,临界应力,换算长细比讨论：根号下一项对一般实腹柱而言很小，可以忽略；但对于格构柱影响很大，需要考虑，即需要考虑单位剪切角的影响。,3）双肢缀条柱（求解单位剪切角和0）,横杆cd的变形,横杆cd的变形由两部分组成： 斜杆ad伸长引起的平行四边形位移1； cd边受压引起的cd杆变形2 。一般=3050时，2可以忽
16、略。,斜杆ad所受拉力： 斜杆ad几何长度： 斜杆ad伸长：,所以横杆的变形为：,单位剪切角和0,令Q1时，单位剪切角,所以换算长细比为：,当Ad、Ab较小时，0，即这也是1907年魁北克大桥倒塌的原因(弦杆缀条太弱)。 当=3050时，sin cos2 0.36，则,讨论,4）双肢缀板柱,剪力Q引起的位移单肢水平位移,柱肢的水平变形： 一般缀板刚度要求大于柱肢刚度的6倍以上，所以b可以忽略。,单位剪切角,换算长细比,其中 为单肢长细比。,一般双轴对称截面的轴心受压构件，可能绕截面的两个对称轴发生弯曲失稳；但是对于抗扭刚度弱的轴心受压构件（如双轴对称十字形截面轴心受压构件），还可能发生绕纵轴的
17、扭转失稳。,2-7 轴心压杆的扭转失稳,2.7.1 扭转的类型,钢结构中一般采用非圆截面构件，此类构件的扭转与圆形截面构件的不同，前者扭转后的截面不再保持平面，而要发生翘曲（截面凹凸），即截面上各点产生轴向位移。如果能够自由翘曲，外扭矩将全部由剪应力抵抗，这类扭转称为自由扭转、纯扭转或均匀扭转；如果截面不能自由翘曲，则外扭矩由剪应力和翘曲扭矩共同抵抗，这类扭转称为约束扭转或非均匀扭转。,自由扭转有两个特点：,1、自由扭转：,构件各截面的翘曲相同。因此，构件的纵向纤维不产生轴向应变，截面上没有正应力而只有扭转引起的剪应力。纵向纤维不发生弯曲，即翼缘和腹板的纵向纤维保持直线，上下翼缘相互仅扭转了一
18、个角度（扭转角）。,约束扭转有两个特点：,2、约束扭转：,约束使纵向纤维不能自由伸缩，产生纵向正应力，称为翘曲正应力。因各纤维正应力不同，导致构件弯曲，所以约束扭转又称为弯曲扭转。由于构件弯曲，除了产生弯曲扭转正应力，必将产生弯曲扭转剪应力，也称扇性剪应力。 纵向纤维发生弯曲，扭率沿杆长变化。,2.7.2 轴心受压构件弹性扭转失稳,对于抗扭刚度低的双轴对称截面轴心受压构件（如十字形截面构件），可能在轴向压力尚未达到欧拉临界力之前，构件就发生绕纵轴的扭转失稳。本节着重讨论如何确定弹性扭转屈曲荷载及残余应力、边界条件对屈曲荷载的影响。,轴心受压构件弹性扭转屈曲荷载：,轴心受压构件弹性扭转 屈曲荷载
19、：,截面对剪心的极回转半径,截面抗扭惯性矩，开口截面,工字型截面,T形截面、角钢、十字形截面,扇形惯性矩,当轴心受压构件弹性扭转 屈曲荷载小于弯曲屈曲荷载时， ，才会发生扭转 屈曲。,工字形或H形截面，板件厚度比较大，通常只发生绕弱轴的弯曲失稳。对于+字形截面轴心受压构件 ，弹性扭转 屈曲荷载与长度无关。构件越长 越小，易发生弯曲失稳，而 较短的构件易发生扭转屈曲。通过局部稳定保证。,冷弯薄壁型钢，壁薄、扭转刚度低，但形心和剪切中心不重合，不会发生单纯的扭转 屈曲。,2.7.2轴心受压构件的弹性弯扭屈曲,截面的形心与剪心不重合的单轴对称截面轴心受压构件，除可能发生绕非对称轴弯曲失稳外，还可能发
20、生绕对称轴弯曲的同时绕纵轴扭转的弯扭失稳。对无对称轴截面的轴心受压构件，只可能发生弯扭失稳。,单轴对称截面,无对称轴截面,轴心受压构件的弹性弯扭屈曲临界荷载,轴心受压构件弹性弯扭屈曲荷载：,轴心受压构件弹性 弯扭屈曲荷载小于绕弱轴的弯曲屈曲荷载，也小于扭转屈曲荷载,所以，单轴对称截面轴心受压构件，除可能发生绕非对称轴弯曲失稳外，还可能发生绕对称轴弯曲的同时绕纵轴扭转的弯扭失稳。对无对称轴截面的轴心受压构件，只可能发生弯扭失稳。,1）钢结构设计规范法,以构件极限荷载为准则的设计方法 允许部分截面发展塑性,2-7 轴心压杆的实用设计方法,其中 为轴心受压柱的稳定系数；为钢材强度设计值（按厚度分为三
21、组）；为材料抗力分项系数(近似概率法,95保证率,1.087,1.111),规范采用稳定名义应力的表达形式,且根据柱缺陷的不同，把柱子分为a、b、c、d四类，根据不同的稳定系数曲线加以确定。 初始缺陷包括初弯曲（初偏心）和十四种不同模式的残余应力等。,2）冷弯薄壁型钢规范法,采用边缘屈服的Perry公式； 取l/1000的初弯曲； 只有一条柱子曲线； 稳定系数由边缘纤维屈服时的平均应力与钢材屈服强度的比值确定：构件稳定设计公式采用统一形式：,总结,稳定承载力计算是轴心压杆的主要内容，只有短柱或局部有较大孔洞削弱时，才可能由强度控制，一般轴心压杆的承载力由稳定控制； 一般双轴对称截面构件可能发生弯曲失稳； 单轴对称截面轴心受压构件，除可能绕非对称轴发生弯曲失稳外，还可能发生绕对称轴弯曲的同时绕纵轴扭转的弯扭失稳 ； 无对称轴截面的轴心受压构件，只可能发生弯扭失稳； 影响轴心压杆稳定承载力的最主要因素是残余应力，残余压应力越大，位置距形心轴越远，稳定系数越低。,
