1、高中培优联盟 2018-2019 学年高二上学期冬季联赛数学（文）试题（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）|03Ax|12BxRCABA. B. C. D.|13x| |32x|22.在区间 内随机取一个实数 ，则满足 的概率为（ ）,4x2xA. B. C. D.734753.若 满足约束条件，则 的最大值为（ ）,xyzxyA.4 B.8 C.2 D.64.已知等比数列 满足 ， ，则 （ ）na11357a357aA.7 B.14 C
2、.21 D.265.已知函数 ，则 等于（ ）2log,01xf18lg3fA.8 B.10 C.6 D.36.已知双曲线 的离心率为 ，则 的渐近线方程为（ ）2:10,xyCab52CA. B. C. D.14y31yxyx7.函数 的部分图象如图所示，则向量 与 的数量积为（ ）tan2xOABA. B.5 C.2 D.648.命题 ：复数 对应的点在第二象限；命题 ： ，使得 ，p12ziq0x00ln2x则下列命题中为真命题的是（ ）A. B. C. D.qqpqp9.我国有一道古典数学名著两鼠穿墙：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”题意是
3、：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙（连线与墙面垂直） ，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，那么两鼠第几天能见面.”假设墙厚 16 尺，如图是源于该题思想的一个程序框图，则输出的 （ ）nA.3 B.4 C.5 D.610.已知函数 ，则下列结论不正确的是（ ）sin23cos,fxxRA.最大值为 2 B.把函数 的图象向右平移 个单位长度就得到2iny3的图像fxC.最小正周期为 D.单调递增区间是 ，5k,12kZ11.已知 表示两条不同的直线， 表示两个不同的平面， ， ，则有下面,lm,lm四个命题：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ；若/lm/l/，
4、则 .其中所有正确的命题是（ ）lm/A. B. C. D.12.已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，Rfx2ffx0,1fx则函数 在区间 上所有零点之和为（ ）12gxf3,6A.2 B.4 C.6 D.8二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知 ， ，若 ，则实数 _.1,2a,bmabm14.在 中，角 的对边分别是 ，若 ， ，且 ，则ABC,c13c3os2A_.a15.若直线 过圆 的圆心，则 的最小10,xbya220xy14ab值为_.16.在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，若直线 上至OC2815x2ykx少存在一点，使得以该点为圆
5、心，1 为半径的圆与圆 有公共点，则实数 的最大值是_.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答.17.在 中，角 的对边分别是 ，且 .ABC,abc3coss2cosaCAb（1）求角 的大小；（2）已知公差为 的等差数列 中， ，且 成等比数列，记0dn1siA124,a，求数列 的前 项和 .14nbanbnS18.在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生 500 人，女生 400 人，为了了解性别对该维度测
6、评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了 45 名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表一：男生男 等级 优秀 合格 尚待改进生 频数 15 x5表二：女生等级 优秀 合格 尚待改进女生 频数 15 3 y（1）求 , 的值；xy（2）从表二的非优秀学生中随机抽取 2 人交谈，求所选 2 人中恰有 1 人测评等级为合格的概率；（3）由表中统计数据填写 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.男生 女生 总计优秀非优秀总计 45参考公式： ，其中 .22nadbcKdnabcd参考数据： 20Pk0.01 0.05 0.012.706 3.841 6.63519
7、.如图，在四棱锥 中， ，底面 为直角梯形， ，ABCDEACBDE90BCD分别为 中点，且 ， .,OF, 25AF（1） 平面 ；OABCDE（2）若 为线段 上一点，且 平面 ，求 的值；P/OPADECP（3）求四棱锥 的大小.20.已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，且椭圆的离210xyabF28yx心率为 ，过 轴正半轴一点 且斜率为 的直线 交椭圆于 两点.63,m3l,AB（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数 使 ，若存在求出实数 的值；若不存在需说明理由.m0FABm21.已知函数 ，且曲线 在点 处的切线与直线1ln2fxaxyfx1,f平行.y（1）求函数
8、的单调区间；fx（2）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.2mfx请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为： （ 为参数） ，以平面直xOy1C2cos,inxy角坐标系的原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为：2C.cosin2（1）求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程；1C2（2）设 和 交点为 ，求 的面积.2,ABO23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 ， .21fx21mgx（1）若 ，解不等式 ；0mf（2）若 对任意 恒成立，求实
9、数 的取值范围.fxxR高中 2019 届毕业班第一次诊断性考试数学（文史类）参考答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：CBACDBAD二、填空题13.1 14. 15.9 16. 2343三、解答题17.解：（1）由正弦定理可得 ，sincosinc2sincoACABA从而可得 ，即3sin2ACB3又 为三角形的内角，所以 ，于是Bsin0cos2又 为三角形的内角，所以 .6（2）因为 ， 且成等比数列，所以 ，且 1sinaA124,a1sinaA214a所以 ，且 ，解得23d0d2所以 ，所以na11nban所以 .12341n nSL18.解：（1）设从高一年级男生中
10、抽取 人，则 m4500解得 ，则从女生中抽取 20 人5m所以 ， .2x20153y（2） 表二中非优秀学生共 5 人，记测评等级为合格的 3 人为 ，尚待改进的 2 人为,abc，则从这 5 人中任选 2 人的所有可能结果为 ，,AB,abAB， ，共 10 种,abA,Bc记事件 表示“从表二的非优秀学生中随机选取 2 人，恰有 1 人测评等级为合格” ，则 的C C结果为 ， ，共 6 种，所以 ，即所,a,bAcB63105P求概率为 .35（3） 列联表如下：2男生 女生 总计优秀 15 15 30非优秀 10 5 15总计 25 20 4522451030K，29.15.768
11、因为 ，10.2.0.PK所以没有 90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.19.解：（1）证明：连结 OF， 为 的中点2ABCB，且 ，O 2C又 ， 是 中点， ，90DD2=3F由已知 ，5A22FOA，且 是平面 内两条相交直线O ,BCE平面 . DE（2）连接 ，由已知底面 为直角梯形， ，BFBCDE2CBE/CD则四边形 为平行四边形E所以 /D因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，OPAOPA所以 /E所以 BF因为 为 中点，所以 为 中点CCF所以 ，又因为点 为 的中点.12PD所以 .4D（3）由（1） 平面 得 为四棱锥 的高，且OABCDEOABCDE2OA
12、又因为 是直角梯形， ， ，BE2所以直角梯形 的面积为 132S则四棱锥 的体积A133VA20.解：（1） 抛物线 的焦点是28yx,0， ，又 椭圆的离心率为 ，即2,0F c 63ca， ，则6a 222bac故椭圆的方程为 .1xy（2）由题意得直线 的方程为l30yxm由 消去 得 .2163xymy226x由 ，解得 .248603m又 ， .03设 ， ，则 ， .1,Axy2,By12x216x.212121213333mmx， ，1,FAxy2,FBxy2121212146433mxx则由 ，即 ，0FAB0m解得 或 .又 ，323.m即存在 使 .0FAB21.解：（1
13、）函数 的定义域为 ， ，fx|0x21afx又曲线 在点 处的切线与直线 平行y1, y所以 ，即2faa，1lnfxx 210xf x 由 且 ，得 ，即 的单调递减区间是0f0f 1,2由 得 ，即 的单调递增区间是 .fx12fx1,2（2）由（1）知不等式 恒成立可化为 恒成立mfln2mxx即 恒成立ln1mx令 glx当 时， ， 在 上单调递减.10,e0gx10,e当 时， ， 在 上单调递增.,xgx,所以 时，函数 有最小值1ex由 恒成立lnmx得 ，即实数 的取值范围是 .1e1,e22.解：（1）曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，即1C2cosinxy2cosinxy平方相加得 的普通方程为： （或 ）124240xy，cosxsiny代入直线 的极坐标方程2Ccosin2得 的直角坐标方程 .2C2xy（2）由（1）知 是以 为圆心，为 2 半径的圆，且直线 过圆心1,0 2xy,0，又由于原点到直线 的距离为4AB xyd则 的面积为 .O1422ABd23.解：（1）当 时0m1gx原不等式可化为 1两端平方得 化简得22x20x解得 0则不等式 的解集为 .fg|（2） 2212xxm对任意 恒成立，即10m xR对任意 恒成立，即2x 2 min12x又因为 2123xx则 ，解得3m3m则实数 的取值范围为 .|12
