1、解密 12 不等式高考考点命题分析 三年高考探源 考查频率不等式的性质与一元二次不等式2016 课标全国1 线性规划2018 课标全国142018 课标全国142018 课标全国152017 课标全国72017 课标全国72016 课标全国16基本不等式选择题、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式的性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，但基本不等式作为求最值的一种方法要牢记.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数相交汇考查. 2018 天津 132017 山东 12考点 1 不等式的性质与一元二次不等式题组一 不等式的性质
2、调研 1 若非零实数 ， ， 满足 ，则下列一定成立的不等式是abcabcA Bacb abcC D 1abc【答案】C【解析】A.若 ， 不一定为正，则 不一定成立，故 A 错；abcacB.同 A，当 不一定为正时， 不一定成立，故 B 错；C.由 ，故 C 正确；D.举反例： ， ， ， ，故 D 错误，1ab2c综上可知选 C【名师点睛】本题考查不等式性质，考查简单推理能力.根据不等式性质判断，注意乘以一个正数、负数、零对不等号的影响是不同的.调研 2 已知非零实数 满足 ，则下列不等式一定成立的是ab， bA B3ab 2abC D 1【答案】A【名师点睛】特殊法是“小题小做”的重要
3、策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:（1）求值问题（可将选项逐个验证） ；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除） ；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除） ；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等.n技巧点拨不等式的一些常用性质：(1)有关倒数的性质ab，ab0 b0,0 .ac bd0b0，m 0，则 (bm0)； ， 0)bab ma m bab ma m aba mb m aba mb m题组二 一元二次不等式调研 3 已知函数 的值域为0,+),若关于 x
4、的不等式 的解集为fxc,则实数 c 的值为 . ,6m【答案】9【解析】因为 的值域为0,+),所以 =0,即 ,所以 的解集为 ,fx24ab,6m易得 m,m+6 是方程 的两根,由根与系数的关系，得 ,解得 c=9.调研 4 若不等式(a 2+4a-5)x2-4(a-1)x+30 恒成立,则 a 的取值范围是 . 【答案】1,19) 【解析】当 a2+4a-5=0 时,有 a=-5 或 a=1.若 a=-5,不等式可化为 24x+30,不满足题意;若 a=1,不等式可化为 30,满足题意.当 a2+4a-50 时,不等式恒成立,需满足 ，解得 10(或0)，如果 a 与 ax2bxc
5、同号，则其解集在两根之外；如果 a 与 ax2bx c 异号，则其解集在两根之间简言之：同号两根之外，异号两根之间2解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解3解含参数不等式要正确分类讨论考点 2 线性规划题组一 线性目标函数的最值及范围问题调研 1 若变量 满足约束条件 ，则 的最小值是,xy 2zxyA B8 7C D6 4【答案】B【解析】画出不等式组 表示的可行域（如图阴影部分所示） 由 得 平移直线 ，结合图形可得，当直线 经过可行域内2zxy2xz2yxz2yxz的点 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，此时 z 取得最小值由
6、 解得 ，故点 23xy,3A 故选 B【名师点睛】画出可行域，将 变形为 ，然后平移直线 找到最优解后2zxy2xz2yxz可求得 z 的最小值求目标函数 的最值时，将函数 转化为直线的斜截式的zab 形式： ，通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值，解题时要分清 z 与截距 间是正比zb b还是反比的关系调研 2 已知不等式组 表示的平面区域为 (其中 是变量). 若目标函数,xy的最小值为6，则实数 的值为aA B632C3 D12【答案】C技巧点拨求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方
7、程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数.题组二 非线性目标函数的最值及范围问题调研 3 设 x,y 满足约束条件 ，则 z= 的最大值是A B52 34C D43 25【答案】C【解析】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(三角形 ABC 及其内部)，可得 A(2,1)，B(3,4)， C(5,2). 可看作区域内的点(x,y)与原点 O 连线的斜率，则 =kOCzkOB= .可得 z 的最大值为 .254343故选 C调研 4 设变量 满足约束条件 ，则 的最大值是_xy、 2yx2zxy
8、【答案】8【解析】作出约束条件 所对应的可行域（如图 ） ，2yxABC而 表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得最大距离为 或 ，所以2zxy OC2A的最大值为 ，故答案为 .8技巧点拨常见的非线性目标函数的几何意义(1) 表示点(x ，y)与原点(0，0)的距离；2(2) 表示点( x，y) 与点(a，b)的距离；(3) 表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率；(4) 表示点(x ，y)与点(a，b)连线的斜率b题组三 线性规划的实际应用调研 5 某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品 1 桶需耗 原料 2 千克， 原料 3 千克；生产乙产品 1 桶需耗 原料 2 千克
9、， 原料 1 千克，每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元，公司在要求每天消耗 原料都不超过 12 千克的条件下，生产产品甲、产品乙的利润之和的最大值为A1800 元 B2100 元C2400 元 D2700 元【答案】C【解析】设分别生产甲、乙两种产品为 桶， 桶，利润为 元，则根据题意可得 ，目xyz标函数为 ，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，作直线 ，然后把直线向可行域平移，可得 时， 最大，最大值为0,6xyz.240z故选 C. 3 （2018 年普通高校招生全国卷一(A)【衡水金卷】高三信息卷(四)数学试题）设 ，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取
10、值范围为pqmA B2,13,1C D 【答案】D【解析】设 ： 的解集为 A，所以 A=x| 2x0 或 0x2，p3402x设 ： 的解集为 B，所以 B=x|mxm+1，q由题知 p 是 q 的必要不充分条件，即得 B 是 A 的真子集，所以有综合得 m ，故选 D.4 （贵州省铜仁市第一中学 2017-2018 学年高三上学期第二次月考数学试题）已知关于 x 的不等式x24ax6a 20)的解集为(x 1,x2)，则 x1x 2 的最小值是1aA B3 3C D26 4【答案】C【名师点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系
11、式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.5 （广东省汕头市达濠华侨中学、东厦中学 2019 届高三上学期第三次联考数学试题）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值是32xyA0 B2 C5 D6【答案】C【解析】画出不等式组 表示的平面区域，如图阴影部分所示令 ，则 ，平移直线 ，结合图形可得，当直线经过可行域内的点32zxyA 时，直线在 y 轴上的截距最大，此时 取得最大值z由 ，得 ，点 A 的坐标为 ，1xy1, 故选 C【名师点睛】画出不等式组表示的可行域，令 ，则 ，平移直线32zxy到可行域，根据 的几何意义确定出最优解，然后可得
12、的最大值.z 32zxy（1）利用线性规划求目标函数最值的步骤作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线 ；l平移：将 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置有时需要进行目标函数 和可行域边界的斜l l率的大小比较；求值：解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值（2）用线性规划解题时要注意 的几何意义，分清 与直线在 y 轴上的截距成正比例还是反比例zz6 （天津市十二校 2018 年高三二模联考数学试题）已知 ， 满足不等式组 则目标函xy数 的最小值为A B1 2C D4 5【答案】B【解析】画出不等式组 表示的可行域，如图，平移
13、直线 ，设可行域内一点 ，由图可知，直线 经过 点时取到最小,xy C值，联立 ，解得 ， 的最小值为 .0,1Cz132故选 B.【名师点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解的对应点（在可行域内平移变形后的目标函数对应的直线，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7 （山东省济南外国语学校 2019 届高三 12 月月考数学试题）正项等比数列 中，存在两项 使得na,mna，且 ，则 的最小值是14
14、mnA B232C D7 56【答案】A【解析】设正项等比数列 的公比为 .由 可得 ，解得 .naq 2q由 ，可得 ，得 ，解得 .216mn6n所以 .当且仅当 ，即 时， 取得最小值 .4nm2,4n1n32故选 A.【名师点睛】本题主要考查了等比数列的基本量运算及基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时，要满足条件“一正，二定，三相等”，属于中档题.利用等比数列的基本量运算可得 ，进而可得q，由 ，展开利用基本不等式求最值即可.6mn8 （吉林省四平市 2018 届高三质量检测数学试题）若 满足约束条件 且向量,xy,则 的取值范围是abA B54， 752，C D72， 4，【答案
15、】D【解析】 向量 ，设 ，作出不等式组32zxy表示的平面区域如图，由 ，得 ，平移直线 ，由图象可知当直线 经过点32zxy时，直线 的截距最大，此时 最大，由 ，解得 ，即 ，此时Bz21xy1xy,B，经过点 时，直线 的截距最小，此时 最小，由 ，Az解得 ，即 ，此时 ，则 ，即 的取值范围是14xy, 54ab，故选 D.54，【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解的对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通
16、过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9 （河北省衡水中学 2018 届高三上学期七调考试数学试题）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于 ，广告的总播放时长不少于 ，且60min30min甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍，分别用 ， 表示每周计划播出的甲、乙两套连xy续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为A6，3 B5，2C4，5 D2，7【答案】A【解析】依题意
17、得 ,目标函数为 ,画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点 处取得最大值.故选 A.6,3M10 （四川省乐山市 2019 届高三第一次调查研究考试数学试题）已知实数 ， 满足 ， 且xy0y，则 的最大值为_1xy【答案】9【解析】由 ，得 ，令 ，则 ，则 ，1mxy，当且仅当 x=2y 时等号成立， ，,解得 ，故 的最大值为 .19m19故答案为 9.【名师点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，考查了利用换元法解一元二次不等式，需要进行转化，有一定难度，需要掌握解题方法.根据题意可以令 ，则得到1mxy，根据基本不等式求出 的最值，即可得到关于 的不等式，计算即可求得
18、4xy答案.11(江西省南康中学 2019 届高三上学期第五次月考数学试题) 设正数 满足 ，则,xy的最小值为_.【答案】 83【解析】由 得 ，故2xy，当且仅当 ，即 时等号成立.12,xy【名师点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.将 转化为 ，用这个“1”去乘求最小值的式子，化简后利用基本不等23xy式来求得最小值.12 （四川省内江市 2019 届高三第一次模拟考试数学试题）设 ， 满足约束条件 ，则xy31xy的最小值为_.2zxy【答案】 4【解析】由约束条件 作出可行域如图，31xy化目标函数 z2x+y 为 y2x+z，由图可
19、知，当直线 y2x+ z 过 A（1，2）时，直线在 y 轴上的截距最小，z 最小，最小值为21+2 4故答案为 4【名师点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案13 （江西省南昌市第十中学 2019 届高三上学期第二次月考数学试题）已知 的三个内角 ， ，ABC AB所对的边分别为 ， ， ，若 ，且 ，则 面积的Cabc 3b最大值为_.【答案】 934【解析】由 ， ，即 ，利b用正弦定理化简得 ，整理得 ，即 ，所以，即 ，所以 ，即 ，当 a=c 时取等60B 9c号，所以 ，
20、则 面积的最大值为 .AC 934故答案为： .934【名师点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题把已知等式中的 3 换成 b，利用正弦定理化简得到等式，利用余弦定理求出 cosB 的值，利用基本不等式求出 ac 的最大值，即可确定 ABC 面积的最大值14 （安徽省江淮十校 2018 届高三第三次（4 月）联考数学文试题）已知实数 ， 满足不等式组xy，若直线 把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则1ykx_k【答案】 13【解析】不等式组 对应的平面区域是以 A(-1,0),B(1,-1),C(0,2)
21、为顶点的三角形（如图） ，因为 过定点 A（-1，0） ，由题意直线 过 BC 的中点 E ，所以斜率1ykx1ykx1,2.315 （河北省武邑中学 2018 届高三上学期期末考试数学试题）已知实数 满足 ，则 的,xy2041y2yx最小值为_【答案】 15【解析】作出可行域如图中阴影部分（含边界）所示， 表示可行域内的点 与点2yzx,xy连线的斜率， ， ，所以由图知 的最小值为 2,0C3,1B15【名师点睛】在线性规划的非线性应用中，经常考虑待求式的几何意义，如本题的斜率，或者是两点间距离、点到直线的距离，这就要根据表达式的形式来确定16 （衡水金卷 2018 年普通高等学校招生全
22、国统一考试分科综合卷数学（二）模拟试题）已知 满足,xy，则 的取值范围是_53yx【答案】 1,2【解析】如图，阴影部分即为不等式表示的区域，的几何意义是：可行域中的点与点 连线的斜率，且点 在直线 上，由图形可53yx35， 35， 2yx得最小值为 1，最大值为过点 且与抛物线相切的直线的斜率.，设切点为 ，则 ，把 代入，解得 或 5，由图可知 不合题意，舍mn， 523m2n1m5m去，故切线斜率为 ， 的取值范围为 .yx,故答案为 .1,2【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间
23、距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.17 （陕西省彬州市 2018-2019 学年上学期高 2019 届高三年级第一次教学质量监测试卷数学试题）如图所示，已知点 是 的重心，过点 作直线分别交 两边于 两点，且 ，GABC G,ABC,MNAxB，则 的最小值为_ANy3xy【答案】 423【解析】根据条件： ， ，又 ，；又 M，G，N 三点共线， 1；3yxx0，y0，3x +y（3x+y） （ ） 2 ，xy3x+y 的最小值为 ，当且仅当 时“=” 成立423故答案为： 3【名师点睛】本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问
24、题，也考查了基本不等式在求最值中的应用问题由条件通过三角形的重心与三点共线推出 1，然后根据基本不等式即可求3yx出 x+y 的最小值1（2016 新课标全国文科）已知集合 ，则 123,AABA B C D,23 12,【答案】D【解析】由 得 ，所以 ，因为 ，所以 ，29x3x ,3A故选 D.2（2017 新课标全国文科）设 x，y 满足约束条件 则 z=x+y 的最大值为3,10,xyA0 B1C2 D3【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数 经过 时 z 取得最大值，故zxy(3,0)A，故选 D【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可
25、行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围3（2016 新课标全国文科）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元。该企业现有甲材料150 kg，乙材料 90 kg，则在不
26、超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元.【答案】 2160【解析】设生产产品 A、产品 B 分别为 、 件，利润之和为 元，那么由题意得约束条件xyz目标函数 .约束条件等价于 作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题的形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合. 本题运算量较大 ,失分的一个主要原因是运算失误 .4 （2018 新课标 I 文科）若 ， 满足约束条件 ，则 的最
27、大值为xy 32zxy_【答案】6【解析】根据题中所给的约束条件 ，画出其对应的可行域，如图所示：由 可得 ，画出直线 ，将其上下移动，结合 的几何意义，可知当32zxy32yx2z直线过点 B 时，z 取得最大值，由 ，解得 ，此时 ，故答案为 6.2,0【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断 z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解.5 （2018 新课标文科）若变量 满足约束条件 则 的最大值是xy，13zxy_【答案】3【解析】作出约束条件 表示的可行域如下图所示.由图可知目标函数在直线 与 的交点（2，3）处取得最大值 3.x故答案为 3.6 （2018 新课标 II 文科）若 满足约束条件 则 的最大值为_,xy zxy【答案】9【解析】不等式组 表示的可行域是以 为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数 的最大值必在顶点处取得，易知当 时， .zxy5,4xymax9z【名师点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择或填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.
