1、解密 25 概 率高考考点命题分析 三年高考探源 考查频率古典概型2018 课标全国82017 山东 8几何概型2018 课标全国102017 课标全国22016 课标全国4随机变量及其分布概率的主要内容是古典概型和几何概型、随机变量及其分布，高考就是围绕这几个知识点命制试题的.对于古典概型，一般是在选择题或者填空题中考查.几何概型的考查既可能在选择题或者填空题中单独考查，也可能在解答题中和其他概率、统计知识结合起来综合考查.随机变量及其分布是新课标高考的一个必考点，多为解答题，有时也以选择题或填空题的形式出现. 2018 课标全国202018 课标全国82017 课标全国182017 课标全
2、国192016 课标全国192016 课标全国18考点 1 古典概型题组一 古典概型的概率求解调研 1 有 4 张卡片（除颜色外无差别） ，颜色分别为红、黄、蓝、绿，从这 4 张卡片中任取 2 张不同颜色的卡片，则取出的 2 张卡片中含有红色卡片的概率为A B2 35C D13 6【答案】A技巧点拨在选择题或者填空题中利用枚举计数的方法考查古典概型，或结合排列、组合计数的方法考查古典概型，在解答题中常和概率、统计的其他知识结合考查古典概型和概率的性质.题组二 用随机模拟估计概率调研 2 规定：投掷飞镖 3 次为一轮，若 3 次中至少两次投中 8 环以上为优秀.根据以往经验，某选手投掷一次命中
3、8 环以上的概率为 .现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率： 用计算机产生 0到 9 之间的随机整数，用 0,1 表示该次投掷未在 8 环以上，用 2,3,4,5,6,7,8,9 表示该次投掷在 8 环以上，经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683031 257 393 527 556 488 730 113 537 989据此估计，该选手投掷 1 轮，可以拿到优秀的概率为A BC D【答案】D【解析】由所给数据可知， 组数据中有 组 191，031，113 不是优秀，其余 组是优秀，所以可以拿2031
4、7到优秀的概率为 ，故选 D17考点 2 几何概型题组一 几何概型的概率求解调研 1 在区间 ， 上随机取一个数 x，则 sin xcos x1， 的概率是6 2 2A B12 34C D38 58【答案】B【解析】由 sin xcos x sin(x )1， ，得 sin(x )1，24 2 22 4因为 x ， ，所以在区间 ， 内，满足 sin(x ) ，1 的 x0， ，6 2 6 2 4 22 2故所求的概率为 .故选 B2 02 6 34调研 2 中， ,在线段 上任取一点 ，则 的面积小于 的概ABC PAB率是A B1 13C D23 5【答案】C【解析】由 得.则 ， 的面积
5、小于 的概率为 故选 CPAB 434326调研 3 一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行，当蚊子在该正方体的内切球中飞行时属于安全飞行，则这只蚊子安全飞行的概率是_【答案】 6【解析】设正方体的棱长为 ，其体积 ，2a易知内切球直径为 ，其体积为 ，利用几何概型的概率计算公式，结合题意可得这只蚊子安全飞行的概率是 .216VP题组二 随机模拟的应用调研 4 下图是 2002 年 8 月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作周髀算经中有详细的记载.若图中大正方形 的边长为 5，小正方形的边长为 2，现作出小正方形的内切圆，向大正方形所
6、在区域随机投掷 个点，有 个点落在中间的圆内，由此可估计 的近似值为A B254mn 4mnC D 25【答案】D【解析】 小正方形的边长为 ，圆的半径为 ，圆的面积为 ，21又 大正方形的边长为 ，正方形的面积为 ，525由几何概型的概率计算公式可得 ，故选 D技巧点拨几何概型的判断关键是注意事件发生的种数具有无限性、等可能性，否则不为几何概型，同时要注意分清是面积型、长度型，还是角度型.考点 3 随机变量及其分布题组一 离散型随机变量的分布列、均值与方差调研 1 已知 5 台机器中有 2 台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出 2 台故障机器为止.若检测一台机器的费用为 1000 元，则
7、所需检测费的均值为A BC D【答案】C【解析】设检测的机器的台数为 x,则 x 的所有可能取值为 2,3,4.则所以 ，所以所需的检测费用的均值为 10003.5=3500.故选 C调研 2 在创建“全国文明卫生城”过程中,某市“ 创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况,进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次 ).通过随机抽样,得到参加问卷调查的 1000 人的得分(满分 100 分)统计结果如下表所示.组别频数 25 150 200 250 225 100 50(1)由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分 服从正态分布 , 近似为这 1000 人得分的平均值(同一组数据用
8、该组数据区间的中点值表示), 请用正态分布的知识求 ;(2)在(1)的条件下,“ 创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:()得分不低于 的可以获赠 2 次随机话费,得分低于 的可以获赠 1 次随机话费;()每次获赠送的随机话费和对应的概率为:赠送的随机话费(单元:元) 20 40概率 0.75 0.25现有市民甲要参加此次问卷调查,记 (单位: 元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求 的分布列与数学期望.参考数据与公式： ,若 ,则 ; ; .【解析】(1) .故,又 , , . .综上, .(2)易知 .获赠话费 的可能取值为 20,40,60,80.；.故 的分布列为:20 4
9、0 60 80 .题组二 超几何分布调研 3 央视科教频道以诗词知识竞赛为主的中国诗词大会火爆荧屏，它创新性地利用现代传媒手段实现了诗词娱乐化，用健康的娱乐化方式实现了“扩群”，体现了国人精神中对于优秀传统文化的呼唤与眷恋在某市组织的诗词大赛中，某中学高中组与初中组成绩卓著组委会进入该中学随机抽取了 名学生进行调查，将学生对诗词知识的掌握情况分为优秀、良好、一般三个等级，其中达到优秀等级的学生有名（1）若该中学共有 名学生，试估计该中学的学生中达到优秀等级的学生人数；（2）若抽取的达到优秀等级的 名学生中，高中生有 名，初中生有 名，利用分层抽样的方法从中抽取 名学生，然后从这 名学生中随机抽
10、取 名学生代表该市参加比赛，记这 名学生中高中生的人数为 ，求 的分布列与数学期望【解析】 （1）因为所抽取的 名学生中，达到优秀等级的有 名，所以优秀率为 1070701故该中学的学生中达到优秀等级的学生人数约为 （2）从达到优秀等级的 名学生中利用分层抽样的方法抽取 名学生，707则高中生有 名，初中生有 名，43则 的所有可能取值为 ， ， ， ， X12，所以 的分布列为X所以 题组三 二项分布及其应用调研 4 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，34各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为A B
11、13 25C D2 4【答案】A【解析】设甲获得冠军为事件 A,比赛进行了三局为事件 B,则 P(AB)= ，P(A)= ，所以 故选 A.调研 5 已知随机变量 X 服从二项分布 B（n，p） ，若 E（X）=30，D（X）=20，则 n，p 分别等于An=45，p= Bn=45，p=23 13Cn=90 ，p= Dn=90，p=1 2【答案】C【解析】随机变量 服从二项分布 ，若 ，根据二项分布的期望公式以及X,Bnp二项分布的方差公式可得， ，解得 ，故选 C调研 6 为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园噪音值 (单位：分贝)进行了 天的监测，得到如下统计表：噪音值(单位：分贝)频数
12、(1)根据该统计表，求这 天校园噪音值的样本平均数(同一组的数据用该组的中点值作代表 ).(2)根据国家声环境质量标准：“环境噪音值超过 分贝，视为重度噪音污染；环境噪音值不超过 分贝，视为轻度噪音污染.”如果把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：(i)求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率.(ii)学校要举行为期 天的“ 汉字听写大赛”校园选拔赛，把这 天校园出现的重度噪音污染天数记为 ，求 的分布列和方差 .【解析】(1)由数据可知 .(2)由题意， “出现重度噪音污染”的概率为 ， “出现轻度噪音污染 ”的概率为 ，1010设事件 为“
13、周一至周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染”，则A.(3)由题意 ，则 .故分布列为 X0123P7291430710.题组四 正态分布调研 7 某学校的两个班共有 100 名学生，一次考试后数学成绩 服从正态分布 ，已知，试估计该班学生的数学成绩在 110 分以上的人数为A20 B10C14 D21【答案】A【解析】由数学成绩服从正态分布 ，且 ，得 ，学科网所以估计该班学生的数学成绩在 分以上的人数为 .调研 8 在 2018 年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩 ，若已知 ，则从哈尔滨市高中教师中任选一位教师，他的培训成绩大于 的
14、概率为A BC D【答案】D【解析】 ， ，故选 D技巧点拨随机变量及其分布若以小题形式考查，则试题难度不大，多为容易题或中档题，重点考查正态分布知识，有时也考查离散型随机变量的分布列与期望知识若以解答题形式考查，部分新课标地区有加大题目难度的趋势，但大部分还是中等难度.1 （陕西省四校联考 2019 届高三高考模拟）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和为大于 8 的偶数的概率为A B 19C D16 4【答案】B【解析】将先后两次的点数记为有序数实数对 ，则共有 个基本事件，其中点数之和为大于 8 的偶数有
15、， ， ， ，共 4 个，则满足条件的概率为 413692 （湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学 2018 届高三联考）某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于 10 分钟的概率为A B10 16C D5 5【答案】B【解析】由题意，此人在 50 分到整点之间的 10 分钟内到达，等待时间不多于 10 分钟，所以概率.故选 B106P3 （江西省上饶市 2018 届高三下学期第三次高考模拟考试）某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为 0.8,0.6,0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立，
16、一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为A0.48 B0.4 C0.32 D0.24【答案】D【解析】由题得 该选手只闯过前两关的概率为 0.24.故选 D.4 （广西南宁市 2019 届高三毕业班 10 月摸底考试）已知随机变量 服从正态分布 ，若，则A BC D【答案】C5 （广西百色市 2019 届高三摸底调研考试）如下图，在边长为 4 的正方形内有区域 （阴影部分所示） ，现从整个图形中随机取一点，若此点取自区域 外的概率为 0.4，则区域 的面积为A4 B9 C9.6 D6.4【答案】C【解析】设区域 的面积约为 ，由几何概型可知 ，解得 ，故选 C.6 （四川省南充市 201
17、8-2019 学年上学期高 2019 届高三年级第一次高考适应性考试）设离散型随机变量可能的取值为 1，2，3，4， ，又 的数学期望为 ，则A B00C D1 15【答案】A【解析】依题意可得 的分布列为1 2 3 4依题意得 ，解得 ，故 .所以选 A.10ab7 （浙江省温州九校 2019 届高三第一次联考）抽奖箱中有 15 个形状一样，颜色不一样的乒乓球（2 个红色，3 个黄色，其余为白色） ，抽到红球为一等奖，黄球为二等奖，白球不中奖.有 90 人依次进行有放回抽奖，则这 90 人中中奖人数的期望值和方差分别是A6，0.4 B18，14.4 C30，10 D30，20【答案】D【解析
18、】由题可得中奖概率为 ，而中奖人数服从二项分布，故这 90 人中中奖人数的期望2315值为 方差为1903,故选 D.8 （成都市 2018 年高考模拟试卷（一)）有 4 位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为A B34 916C D89 4【答案】D【解析】由题意，4 位游客到甲、乙、丙三个不同的景点游览，共有 种不同的方法，4381其中每个景点都有人去游览共有 种不同的方法，234CA6所以所求概率为 ，故选 D.36819P9 （五省优创名校 2019 届高三联考）袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地
19、从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率利用电脑随机产生 0 到 3 之间取整数值的随机数，分别用 0，1，2，3 代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为A B19 318C D2 5【答案】C【解析】因为随机模拟产生 18 组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有： ， ，
20、， ，共 4 个基本事件，根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为 ，故选C. 因此 的分布列为XX20350P0.2 0.4 0.4（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑 .当 时，若最高气温不低于25，则 ；若最高气温位于区间 ，则 ；20,5若最高气温低于20，则 ；因此 .当 时，若最高气温不低于20，则 ；若最高气温低于20，则 .因此 .所以 n=300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元.【名师点睛】离散型随机变量的分布列指出了随机变量 X 的取值以及取各值的概率；要理解两种特殊的概率分布两点分布与超几何分布，并善于
21、灵活运用两性质：一是 pi0(i1,2，)；二是p1p 2p n1 检验分布列的正误.11(2017 新课标全国理科 )为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 2(,)N（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 之外的零件数，求 及 的数学期望；(1)PX（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（ ）试说明上述监控生产过程方
22、法的合理性；（ ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得 ， ，其中 为抽取的ix第 个零件的尺寸， i用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对当xs天的生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到0.01）附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，Z2(,)N， （ii）由 ，得 的估计值为 ， 的估计值为 ，9.70.21由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除 之外的数据 9.22，剩下数据的平均数为 ，因此 的估计值为 10.02.，剔除 之外的数据 9.22，剩下数据的样本方差为 ，因此 的估计值为 .【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的 原则.3
