1、洛阳市 20182019 学年上学期尖子生第一次联考高三数学试题(文科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分. 第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4页，共 150 分，考试时间 120 分钟. 第卷(选择题，共 60 分)注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2. 考试结束，将答题卡交回. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，B=x|y=ln(2-x)，在 AB=230xAA. (1，3) B. (1，3 C. -1，2) D. (-1，2)2. 设复数
2、 (i 为虚数单位)，则 z 的虚部为2(1izA. -1 B. 1 C. i D. i3. 为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了 n 个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额(单位：元)都在10，50，期中支出金额在30，50的学生有 117 人，频率分布直方图如图所示，则 n=A. 180 B. 160C. 150 D. 2004. 已知 ，则34sin()5sin()A. B. C. D. 45 35355. 已知实数 x，y 满足 ，则 的最大值为204yx21yxA. 3 B. C. 2 D. 13 526. 已知双曲线 (t0)的一个焦点与抛物线 的焦点重合，则双曲线的离2
3、xyt28yx心率为A. B. 2 C. 4 D. 2 107. 已知函数 ，则 的图像大致为1()lnfx()yfxA. B. C. D. 8. 已知菱形 ABCD 的对角线 AC 长为 2，则 ABCA. 1 B. C. 2 D. 29. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 426B. 8C. 1D. 42010. 如图，已知边长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1，点 E 为线段 CD1的中点，则直线 AE 与平面A1BCD1所成角的正切值为A. 2B. 1C. 32D. 11. 设函数 ，若方程 恰好有三个根，分别为9()sin2)(0,)48fxx()f
4、xa，则 的值为123,x12313A. B. C. D. 34325412. 已知函数 ，则关于 x 的不等式2018()2log()018x xf x的解集为(21)fxA. B. ,08(2,)C. D. ()3 3第卷(非选择题，共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知矩形 ABCD 的边 AB=2， AD=1， 则 _.BDC14. 直线 ax-y+3=0 与圆 相交于 A、B 两点且 ， 则22(1)()4xy2a=_.15. 已知数列 的前 n 项和为 ，且 ，则数列 的通项公式anS231nna_.na16. 已知 A，B，C，
5、D 四点在半径为 的球面上，且 AC=BD=4，AD=BC= ，AB=CD，则三51棱锥 D-ABC 的体积是_.三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分 12 分)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 且满足(2a-c)cosB=bcosC，. 222sinisinisn(1) 求角 B 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求实数 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分)在 2018 年 3 月洛阳第二次模拟考试中，某校共有 100 名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于 130 的占 95
6、%人，数学成绩的频率分布直方图如图:(1)如果成绩不低于 130 的为特别优秀，这 100 名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？(2)如果语文和数学两科都特别优秀的共有 3 人. 从(1)中的这些同学中随机抽取 2 人，求这两人两科成绩都优秀的概率. 根据以上数据，完成 22 列联表，并分析是否有 99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀. 语文特别优秀 语文不特别优秀 合计数学特别优秀数学不特别优秀合计参考数据： ；22()(nadbcK 20()Pk0.50 0.40 0.010 0.005 0.0010.455 0.708 6.635 7.879 10.828
7、19. (本小题满分 12 分)如图，在三棱锥 ABC-A1B1C1中，侧面 ACC1A1与侧面 CBB1C1都是菱形，ACC 1=CC 1B1=60，. 23AC(1)求证：AB 1CC 1；(2)若 ，D 1为线段 A1C1上的点，且三棱锥 C-B1C1D1的体积为 ，求 .32AB 31ADC20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 的左右焦点分别为 F1、F 2，上顶点为 M，若直线 MF1的210xyab斜率为 1，且与椭圆的另一个焦点为 N，F 2MN 的周长为 . 4(1)求椭圆的标准方程；(2)过点 F1 的直线 l(直线 l 的斜率不为 1)与椭圆交于 P、Q 两点，点 P
8、在点 Q 的上方，若，求直线 l 的斜率. 116FNQFMPS21. (本小题满分 12 分)已知函数 . (1ln1fxxa(1)当 a=4 时，求曲线 在(1，f(1)处的切线方程；()yf(2)若 时， ，求 a 的取值范围. 1,x0x选考部分：请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程(10 分)以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 曲线 C1的极坐标方程为 ，曲线 C2的参数方程是2sin
9、4cos0（ 为参数）. 2cosinxy(1)求曲线 C1的直角坐标方程及 C2的普通方程；(2)已知点 ，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，设直线 l 与曲线(,0)2P12xyC1相交于 M，N 两点，求 的值. 1PN23. 选修 4-5：不等式选讲(10 分)已知函数 . ()12fxx(1)求函数的最小值 k；(2)在(1)的结论下，若正实数 a，b 满足 ，求证： . 1k21ab洛阳市 20172018 学年上学期尖子生第一次联考高三数学试题(文科)参考答案一、选择题1-5 CBABD 6-10 BBCBA 11-12CC二、填空题13. 4 14. 1 15. 16.
10、 3,12n7三、解答题17. (1)因为(2a-c)cosB=bcosC，由正弦定理得：(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC，1 分所以 2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，2sinAcosB=sin(B+C)=sinA， 3 分因为 sinA0，所以 . 4 分1cos2B因为 ，所以 . 6 分0,B3(2)因为 ，222sinisiniACsn由正弦定理得： ，所以 ， 8 分22abc22cosbcAa因为 ，且三角形为锐角三角形， 10 分3B(,)6A所以 ，所以 . 12 分cos(0,)2A0,318. 解：(1)我校共有 100 名文科学生
11、参加考试，其中语文考试成绩低于 130 的占 95%人，语文成绩特别优秀的概率为 P1=1-0.95=0.05，语文特别优秀的同学有 1000.05=5 人，数学成绩特别优秀的概率为 P2=0.00220=0.04，数学成绩特别优秀的同学有 1000.04=4 人；2 分(2)语文数学两科都优秀的有 3 人，单科优秀的有 3 人， 3 分记两科都优秀的 3 人分别为 A1，A 2，A 3，单科优秀的 3 人分别为 B1，B 2，B 3，从中随机抽取2 人，共有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，(A 1，B 1
12、)，(A1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，共 15种，其中这两人两科成绩都优秀的有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3) 3 种，则这两人两科成绩邰优秀的概率为： 7 分5P22 列联表:语文特别优秀 语文不特别优秀 合计数学特别优秀 3 1 4数学不特别优秀 2 94 96合计 5 95 10010 分2210(3941)40.9826.3565K有 95%的把握认为语文特别优秀的同学，数学页特别优秀. 12 分19. 证明：(1)连 AC1，CB 1，
13、在三棱锥 ABC-A1B1C1中，侧面 ACC1A1与侧面 CBB1C1都是菱形，ACC 1=CC 1B1=60，ACC 1和B 1CC1皆为正三角形. 2 分取 CC1的中点 O，连 OA，OB 1，则 CC1OA，CC 1OB 1，OAOB 1=O，CC 1平面 OAB1， 平面 OAB1，CC 1AB 1. 5 分AB(2)解： ，23,2CAB又(1)知，OA=OB 1=3， ，21OABOAOB 1，OA平面 B1C1C， 8 分，1 232BCS ， 10 分11 33CABVASD 1为线段 A1C1上的点，且三棱锥 C-B1C1D1的体积为 ， ， 11 分11 3DBAV .
14、 12 分132C20. 解：(1)因为F 1MN 的周长为 ，所以 即 ， 1 分4242a由直线 MF1的斜率 1，得 ，因为 ，所以 b=1，c=1， 2 分bcbc所以椭圆的标准方程为 . 3 分21xy(2)由题意可得直线 MF1方程为 y=x+1，联立得 21xy解得 ，所以 ，因为 ，即4(,)3N13NFM116FNQFMPS1111sin(sin)262FQP所以 ，所以 7 分PF当直线 l 的斜率为 0 时，不符合题意. 8 分故设直线 l 的方程为 x=my-1，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由点 P 在点 Q 的上方，则 ， 9 分12 y联立 2mxy
15、所以 ，所以 ，10 分2()101212, yym消去 y1得 ， ，所以 ，2m222()8得 ， ， 11 分2714又点 P 在点 Q 的上方 不符合题意，所以 ，7m147m故直线 l 的斜率为 . 12 分14221. 解：(1) 的定义域为 ，当 a=4 时，()fx0,， ， 1 分()1ln41fx1()ln3fx 2,()f曲线 在(1，f(1)处的切线方程为 2x+y-2=0 3 分yx(2)当 时， 等价于 4 分1,()0fx(1)ln0ax设 ，则 ，(1)()lnaxgx221(1)()()axagx(1)0g当 a2， 时， ，,220故 ， 在 上单调递增，因
16、此 ； 8 分()0gx()1, ()gx当 a2 时，令 ，得 ， ，0gx211a221()1a由 ，和 得 ，1x2故当 时， ， 在 单调递减，(,)()x()g2,)x此时 ，综上 a 的取值范围是 . 12 分0gx22. 解：(1)因为 ，所以 ，2sin4cos02sin4cos0所以 2 分24yx因为 ，所以 4 分1csin2(1)4xy(2)将直线 l 的参数方程 代入 得，2ty2yx240tt设 M，N 两点对应的参数为 t1，t 2，则 6 分12124,tt所以 2112121Pttt10 分21()43t23. 解：(1)因为 12(1)23xx所以函数 的最小值为 3. 5 分()f(2)由(1)知， 3ab因为 2 222 2 0mncdmcndncmdnc所以 2222111()()()3abab所以 . 10 分2
