1、第 2 课时 圆、椭圆的参数方程的应用1能用曲线的参数方程去研究曲线的性质2会用参数法解决圆锥曲线中的最值、定值等问题基础初探1圆的参数方程圆的参数方程的常见形式为Error!( 为参数)其中，参数 的几何意义是以圆心 A(a， b)为顶点，且与 x 轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点 P 所在半径成的角2椭圆的参数方程椭圆的参数方程的常见形式为Error!( 为参数)思考探究1椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区别和联系？【提示】 椭圆 1(ab0)和圆 x2y 2 r2 普通方程都是平方和等x2a2 y2b2于 1 的形式，故参数方程都运用了三角代换法，只是参数方程的常数不同2椭圆的参
2、数方程中参数 的几何意义是什么？【提示】 从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令Error!椭圆 1 可以变成圆 x 2y 21.x2a2 y2b2利用圆 x 2 y 21 的参数方程Error!( 是参数)可以得到椭圆 1 的参数方程Error!( 是参数)因x2a2 y2b2此，参数 的几何意义应是椭圆上任意一点 M 所对应的圆的半径 OA(或 OB)的旋转角( 称为离心角) ，而不是 OM 的旋转角，如图质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_疑问 4：_解惑：_圆的参数方程的应用在圆 x22xy 20 上
3、求一点，使它到直线 2x3y 50 的距离最大【自主解答】 圆的方程 x22x y 20 可化为(x1) 2y 21，所以设圆的参数方程为Error!设 P(1cos ，sin )，则点 P 到直线 2x3y 50 的距离为d|2 1 cos 3sin 5|22 32|2cos 3sin 7|13 (其中 sin ，| 13sin 7|13 21313cos )31313当 sin()1， ，32即 时，d 取到最大值 ，此时 x 1cos 32 13 713131 ，y sin ，21313 31313即点 P(1 ， )即为所求21313 31313再练一题1已知点 P(x，y)在圆 x2
4、y 21 上，求 x22xy3y 2 的最大值和最小值【解】 圆 x2y 21 的参数方程为 Error!( 为参数)x22xy3y 2cos 22cos sin 3sin 2 sin 231 cos 22 1 cos 222sin 2cos 2 2 sin(2 )24则当 k (kZ)时，x 22xy3y 2 取最大值为 2 ，38 2当 k (kZ)时，x 2 2xy3y 2 取最小值为 2 .8 2椭圆参数方程的应用已知实数 x，y 满足 3x22y 26x，求：(1)xy 的最大值；(2)x2y 2 的取值范围【导学号：98990035】【思路探究】 本题表面上看是代数题，但由于方程
5、3x22y 26x 可以表示一个椭圆，故可以用椭圆的参数方程来解【自主解答】 方程 3x2 2y26x，即(x1) 2 1.设Error!y232(1)xy1cos sin 321 sin()( 其中 tan ，0,2)52 63所以 xy 的最大值为 1 .102(2)x2y 2(1cos ) 2( sin )23212cos cos 2 sin2 cos22cos (cos 2) 2 ，32 52 12 12 92因为 cos 1,1，所以 0x 2y 24.利用椭圆的参数方程Error!( 是参数)，将问题转化为三角函数问题处理再练一题2在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的参数方程为E
6、rror!( 为参数，ab0)在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 sin ( 4)m(m 为非零常数)与 b.若直线 l 经过椭圆 C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭22圆 C 的离心率为_【解析】 由已知可得椭圆标准方程为 1(ab0)x2a2 y2b2由 sin m 可得 sin cos m，即直线的普通方程为 xym.( 4) 22又圆的普通方程为 x2y 2b 2，不妨设直线 l 经过椭圆 C 的右焦点(c, 0)，则得cm.又因为直线 l 与圆 O 相切，所以 b，因此 c b，
7、即|m|2 2c22(a 2c 2)整理，得 ，故椭圆 C 的离心率为 e .c2a2 23 63【答案】 63真题链接赏析(教材第 47 页例 1)如图 445，已知 M 是椭圆 1(ab0)上x2a2 y2b2在第一象限的点，A( a,0)和 B(0，b)是椭圆的两个顶点， O 为原点，求四边形MAOB 的面积的最大值图 445在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)，椭圆 C 的参数方程为Error!( 为参数)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长【命题意图】 知识：考查直线与椭圆的参数方程、参数方程与普通方程的互化以
8、及直线与椭圆的位置关系等能力：通过参数方程与普通方程的互化及求线段 AB 长的过程，考查了运算求解能力【解】 椭圆 C 的普通方程为 x2 1.y24将直线 l 的参数方程Error!代入 x2 1，得 2 1，即y24 (1 12t) ( 32t)247t216t0，解得 t10，t 2 .所以 AB|t 1t 2| .167 1671已知圆的方程为 x2y 24x，则它的参数方程是_【解析】 x 2y 24x 可化为(x2) 2y 24，圆心为(2,0)，半径 r2.参数方程为Error!( 为参数， 0 2)【答案】 Error! ( 为参数，02)2椭圆Error! ( 为参数)的焦距
9、是_【解析】 根据参数方程，可知 a3 ，b2 .2 3c 322 232 ，18 12 6焦距为 2c2 .6【答案】 2 63椭圆 y21 上的点到直线 xy60 的距离的最小值为 _x23【导学号：98990036】【解析】 设 P( cos ，sin )是椭圆上的点，则点 P 到直线 xy603的距离d ，| 3cos sin 6|2 |2cos 6 6|2当 cos( )1 时，d 取到最小值，最小值为 2 .6 2【答案】 2 24点 P(x，y)在圆(x 1) 2( y1) 21 上运动，则 3x4y 的最大值为_， 的最小值为_ yx【解析】 设 x1cos ，y1sin ，所以 3x4y73cos 4sin 75sin()(其中 sin ，cos )，35 45所以当 sin( )1 时，3x4y 取到最大值 12.设 t ，则 sin tcos t1，yx 1 sin 1 cos 从而 sin()t1(其中 sin ，1 t2t1 t2cos )， sin()，11 t2 t 11 t2所以 1，解得 t 0，即 的最小值为 0.|t 11 t2| yx【答案】 12 0我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_
