1、江苏省徐州市 2019 届高三 12 月月考试题数学试卷一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1.设集合 ， ，则 .2Ax21yBxAB2.已知 ，其中 为虚数单位，则 = .3,minRimn3.函数 )(xf的定义域是 ，则函数 )(log21xf的定义域为 4.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a， b， c，若 a3， b5， c7，则角 C= 5.如图，程序执行后输出的结果为 6.设函数 （ 为常数，且 ）的部分图象如图所()sin()fx, 0,A示，则 的值为 7.已知 ， ，若向区域 上随机投掷一(,)|6
2、,0xyxy(,)|4,02Axyxy点 ，则点 落入区域 的概率为 P8.已知 满足约束条件 则 的取值范围为 ,xy1,42,yx2xzy9.已知函数 是定义在实数集 R 上的奇函数，且在区间 上是单调递增，若()f ,0，则 的取值范围为 0)(lg5l0lg2(2 xff xAB CP（第 15 题）D10.已知 ，则 442cosin,(0,)32cos()311.设数列 的前 项和为 ，若 ，则数列 的通项公式为 anS*naNnana .12.已知正实数 满足 ，则 的最小值为 ,xy14123yxxy13.已知函数 ,如果存在实数 ,其中 ,使得 ,则3()()lnfxmn()
3、mffn的取值范围是 nm14.设函数 ，则满足 的 的取值范围是 ()32xf 12()log)0xfx二解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤15 （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， BC/平面 PAD， ,PABCDPABCDPBC90求证：90BA（1） 平面 ；/D（2）平面 平面 PAB16 （本小题满分 14 分）在 ABC 中，角 A， B， C 所对边分别为 a， b， c，且 tan21AcBb（1）求角 A；（2）若 m ， n ，试求| m n|的最小值(0,1)2cos,17
4、 （本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 中，过椭圆 ： 的左顶点 作直线 ，与椭圆xOyC214xyAl和 轴正半轴分别交于点 ， CyPQ（1）若 ，求直线 的斜率；APl（2）过原点 作直线 的平行线，与椭圆 交于点 ，求证： 为定值OlCMN， 2APQ18 （本小题满分 16 分）如图，某森林公园有一直角梯形区域 ABCD，其四条边均为道路， AD BC， ADC90，AB5 千米， BC8 千米， CD3 千米现甲、乙两管理员同时从 地出发匀速前往 D 地，A甲的路线是 AD，速度为 6 千米/小时，乙的路线是 ABCD，速度为 v 千米/小时APQxyOlMN（第 17
5、题）（1）若甲、乙两管理员到达 D 的时间相差不超过 15 分钟，求乙的速度 v 的取值范围；（2）已知对讲机有效通话的最大距离是 5 千米若乙先到达 D，且乙从 A 到 D 的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度 v 的取值范围19 （本小题满分 16 分）设数列 的前 n 项和为 ，数列 满足: ,且数列 的前 n 项和为anSnbnbab.*(1)2()nSN(1)求 的值；,(2)求证：数列 是等比数列；n(3)抽去数列 中的第 1 项，第 4 项，第 7 项，第 3n-2 项，余下的项顺a序不变，组成一个新数列 ，若 的前 n 项和为 ，求证： .ncnT1253nT（第
6、 18 题图）CBA D20(本小题满分 16 分)已知函数 ， lnfxaxR2()lnxg（1）当 时，求 的单调增区间；f（2）若 恰有三个不同的零点 （ ） ()()hxgx123,x123x求实数 的取值范围；a求证： 2312lnlnl1xx第卷（附加题共 40 分）21.【选做题】在 A，B，C，D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A选修 41 几何证明选讲如图，AB 为O 的直径，BD 是O 的切线，连接 AD 交O 于 E，若 BDCE，AB 交 CE 于 M，求证： 2ABE M EDC BA（第 21-A
7、）B选修 42 矩阵与变换已知矩阵 M1a，其中 R，若点 (1,2)P在矩阵 M的变换下得到点 (4,0)P（1）求实数 a 的值；（2）求矩阵 的特征值及其对应的特征向量C选修 44 参数方程与极坐标已知圆 的极坐标方程为 ，求 的最大值.M24cos()604D选修 45 不等式证明选讲已知 xyz、 、 均为正数，求证： 22311()xyzxyz.【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分.22(本小题满分 10 分)设 为整数，集合 中的数由小到大组成数tsr, 0,2|rstatsr 列 na（1）写出数列 的前三项；n（2）求 3623(本小题满分 1
8、0 分)如图，过抛物线 2:4Cyx上一点 P（1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点 12(,)(,)AxB（） 求 y的值；（） 若 120,，求 PAB面积的最大值。yABPO xAB CPDH江苏省徐州市 2019 届高三 12 月月考试题数学试卷参考答案一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1. 2. 3. 2,14. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. -2x3602963,701， 52612. 13. 14.1n943ln,(,),)二解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域
9、内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤15.证明：（1）因为 BC/平面 PAD，而 BC 平面 ABCD，平面 ABCD 平面 PAD= AD，I所以 BC/AD 3 分因为 AD 平面 PBC， BC 平面 PBC，所以 平面 6 分/ADPBC（2）自 P 作 PH AB 于 H，因为平面 平面 ，且平面 平面PABCDABI=AB，BC所以 平面 9 分AD因为 BC 平面 ABCD，所以 BC PH因为 ,所以 BC PB，PBC90而 ，于是点 H 与 B 不重合，即 PB PH = AIH因为 PB， PH 平面 PAB，所以 BC 平面 PAB12 分因为 BC 平面
10、 PBC，故平面 PBC 平面 PAB 14 分16.解：（1） ，3 分tan2sinco2sin1AcABCBb即 ，sicosiis ， 5 分in()2inssCAco2A ， 7 分03（2） m n ，2(cos,1)(cos,)BBC|m n| 10 分2 221(sin(2)36B ， ， 3A3C0,)从而 12 分7266B当 1，即 时，| m n| 取得最小值 13 分sin()3212所以，| m n| 14 分i217.解：（1）依题意，椭圆 的左顶点 ，C(20)A，设直线 的斜率为 ，点 的横坐标为 ，lk(0)PPx则直线 的方程为 2 分lyx又椭圆 ： ，
11、C214x由得， ，222416140kxk则 ，从而 5 分2164pkx28p因为 ，所以 APQ1x所以 ，解得 （负值已舍） 8 分2814k32k（2）设点 的横坐标为 结合（1）知，直线 的方程为 NNxMNykx由得， 10 分2241Nxk从而 12 分22pNAPQMx2814k，即证 14 分218.解：(1)由题意，可得 AD12 千米由题可知| | ，126 16v 142 分解得 v 649 6474 分(2) 解法一：经过 t 小时，甲、乙之间的距离的平方为 f(t)由于先乙到达 D 地，故 2，即 v8 16v6 分当 0 vt5，即 0 t 时，f(5)f(t)
12、(6 t)2( vt)226 tvtcos DAB( v2 v36) t2485因为 v2 v360，所以当 t 时， f(t)取最大值，485 f(5)所以( v2 v36)( )225，解得 v 485 f(5) 1549 分当 5 vt13，即 t 时，f(5) f(13)f(t)( vt16 t)29( v6) 2 (t )291v 6因为 v8，所以 ，( v6) 20，所以当 t 时， f(t)取最大值，1v 6 f(5) f(13)所以( v6) 2 ( )2925，解得f(13)1v 6 v 1398 3943 分当 13 vt16， t 时，f(13) f(16)f(t)(1
13、26 t)2(16 vt)2，因为 126 t0，16 vt0，所以当 f(t)在( ， )递减，所以当 t 时，f(13) f(16) f(13)f(t)取最大值，(126 )2(16 v )225，解得 v f(13) f(13)398 394因为 v8，所以 8 v 39416 分解法二：设经过 t 小时，甲、乙之间的距离的平方为 f(t)由于先乙到达 D 地，故 2，即16vv86 分以 A 点为原点， AD 为 x 轴建立直角坐标系，当 0 vt5 时， f(t)( vt6 t)2( vt)245 35由于( vt6 t)2( vt)225，所以( v6) 2( v)2 对任意 0
14、t 都成立，45 35 45 35 25t2 5v所以( v6) 2( v)2 v2，解得 v 45 35 1549分当 5 vt13 时， f(t)( vt16 t)23 2由于( vt16 t)23 225，所以4 vt16 t4 对任意 t 都成立，5v 13v即 对任意 t 都成立，5v 13v所以 解得 v 398 39413 分当 13 vt16 即 t ，此时 f (t)(126 t)2(16 vt)213v 16v由及知：8 v ，于是 0126 t12 12 4，394 78v又因为 016 vt3，所以 f (t)(126 t)2(16 vt)24 23 225 恒成立综上
15、可知8 v 39416 分19.(1)由题意得: ;1 分123(1)2nnaaS 当 n=1 时,则有: 解得: ;1(),S1当 n=2 时,则有: ,即 ,解得: ;122422()4a24a3 分124a(2) 由 得: 3(1)nnaS 4 分12 2(1)a - 得: ,1()()nnS即: 即: ; 5 分nS1nS,由 知:12()n11240a数列 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列.7 分n(3)由(2)知: ,即 8 分1nnSA112nnSA当 n2 时, 对 n=1 也成立,1(2)()na即 (n .10 分2n*)N数列 为 ,它的奇数项组成以 4 为首项、公
16、比为 8 的等比数列；nc235689,偶数项组成以 8 为首项、公比为 8 的等比数列；11 分当 n=2k-1 时,*()kN25313631321242()()()(22)48)58,7k knk kkkTccc A311 1,kkknnc128842,528355(2) 5k nkknT TAAA14 分当 n=2k 时,*()kN25313631321243211 1()()(2)4(8)8,701,7020,8(8)3k knkkkkkknn nkknTccccT T AA.16 分1253n20.（1）当 时， ，定义域为 alnfx0，1fx所以 ， 在 上单调递增；0f()f
17、x0，即 的单调增区间为 . fx3 分（2）由题意可得，关于 的方程 在 上有三个不同的解x2lnlxax0+，即关于 的方程 在 上有三个不同的解xlnxa0+，令 ， lnF所以 2 22ln1lln1lxxxx 5 分显然，当 时， ，证明如下：0+x，2ln0x令 ， 2lny1y当 时， ，函数 在 上单调递减；10x，02lnx102，当 时， ，函数 在 上单调递增2yly所以当 时， 取最小值 1x2lnx1ln2所以，当 时， 0+，l07 分令 ，可得 或 Fx1xe将 x,h1(x),h(x)变化情况列表如下x01， 1,eee，hx00A极小值 1fA极大值 1()e
18、fA又当 0,(),()1.xhxhx时 当 ，所以，实数 的取值范围为 a(1e10 分由可知，当 时， 1230xexln1lnxxa令 ，则 ，lnxt1at即 ， ， 12 分20tt120ta120ta不妨设 ，则 12t1tt又 ， ，ln0x2lnx当 时， ， 在 上单调递增；e， tt0e当 时， ， 在 上单调递减xtxt，显然，当 时， ；当 时， 01，0txe0tx所以 ， 1lnxt32lnxt14 分所以 2 223121lnlnl lln1xxx212tt21t2121tta即 16 分2312lnlnl1xx附加题答案21【选做题】本题包括 A、B、C、D 四
19、小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A(几何证明选讲，本小题满分 10 分)解：连接 CB因为 AB 为O 的直径，BD 是O 的切线，所以 ABD因为 BDCE，所以 CE因为 AB 交 CE 于 M，所以 M 为 CE 的中点，所以 AC=AE， 5 分ABM EDC BA因为 BD 是O 的切线，所以ABD=90因为 AB 为O 的直径，所以ACB=90所以ACB=ABD因为 ，所以ACBABDCABE所以 ，所以D2AC即 10 分2B(矩阵与变换，本小题满分 10 分)（1）由 2a1= 40， （2 分）
20、 243a. （3 分）（2）由（1）知 M31，则矩阵 的特征多项式为 22()(2)634f（5 分）令 0f，得矩阵 的特征值为 1与 4. （6 分）当 1时， (2)30xyxy矩阵 M的属于特征值 1的一个特征向量为 1; （8 分）当 4时， (2)30230xyxy矩阵 的属于特征值 4的一个特征向量为 （10 分）C(极坐标与参数方程，本小题满分 10 分)原方程化为 06sin2co(24即 3 分)si(2圆的直角坐标方程为 5 分0642yx圆心 M(2 , 2)，半径为 7 分 10 分232maxOMD(不等式选讲，本小题满分 10 分)证明:由柯西不等式得 22
21、2211()()xyzxyz5 分则 2213xyz,即 221()xyz10 分22(本题满分 10 分) 为整数且 ， 最小取 2，此时符合条件的数有 ；4 分tsr, rst0 12C， 可在 中取，符合条件有的数有 ；5 分32,13C同理， 时，符合条件有的数有 ；6 分4r 624时，符合条件有的数有 ；7 分5105时，符合条件有的数有 ；8 分6r26C时，符合条件有的数有 ；9 分77因此， 是 中的最小值，即 10 分36ar 13271036a23(本题满分 10 分)因为 1,Axy， 2(,By在抛物线 :C24yx上，所以212(,),)4， PAk11221()4y，同理 24PBky，依题有 PABk，因为 1，所以 124y4 分由知 214AByk，设 的方程为22111, 044yyyx即，P到 的距离为2134yd，211214yAByy，所以2113412PABySy= 211y211()64yy，8 分令 t，由 24， 120,y ，可知 2t 3164PABSt，因为 3164PABSt为偶函数，只考虑 t 的情况，记 3()fttt， 2()1630ftt，故 ()ft在 02， 是单调增函数，故 ()ft的最大值为 2f，故 PABS的最大值为 610 分
