1、2.1.2 椭圆的几何性质第 1 课时 椭圆的简单几何性质1掌握椭圆的简单几何性质(重点)2掌握椭圆离心率的求法及 a，b，c 的几何意义(难点)3理解长轴长、短轴长、焦距与长半轴长、短半轴长、半焦距的概念( 易混点 )基础初探教材整理 椭圆的简单几何性质阅读教材 P38P 40 例 1 以上部分，完成下列问题1椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形标准方程 1(ab0)x2a2 y2b2 1(ab0)y2a2 x2b2范围axa，bybb xb，a ya顶点 A1(a,0)，A 2(a,0) A1(0，a)，A 2(0，a)B1(0， b)，B 2(0，b) B1
2、(b,0)，B 2(b,0)轴长 短轴长2b，长轴长2a焦点 F1(c,0)，F 2(c,0) F1(0，c)，F 2(0，c )焦距 |F1F2|2c对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)离心率eca2.离心率性质离心率 e 的范围是 (0,1).e 越接近于 1，椭圆越扁； e 越接近于 0，椭圆就越接近于圆判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)椭圆 1(ab0) 的长轴长等于 a.( )x2a2 y2b2(2)椭圆 1 与 1 有相同的离心率 ( )x212 y24 y212 x24(3)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 ac .( )(4)椭圆的离心率 e 越小，椭圆越圆(
3、)【答案】 (1) (2) (3) (4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_小组合作型椭圆的简单几何性质(1)椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是 (0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为 ( )A(13,0) B(0，10)C(0，13) D(0， )69(2)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆的离心率为( )A. B.54 32C. D.22 12【自主解答】 (1)由题意知椭圆焦点在 y 轴上，且 a13，b10，则 c ，故焦点坐标为(0， )a2 b2 69 69(2)
4、设长轴长为 2a，短轴长为 2b，由题意可知 a2b，则 c a2 b2 b，所以离心率为 e .3b2 3ca 3b2b 32【答案】 (1)D (2)B已知椭圆的方程讨论其几何性质时，应先将方程化为标准形式，不确定焦点位置的要分类讨论，找准 a 和 b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等，同时，要注意其中某些概念的区别，如长轴长是 2a，短轴长是 2b.再练一题1(1)椭圆 6x2y 26 的长轴的顶点坐标是( ) 【导学号：25650047】A( 1,0)， (1,0) B(6,0)，(6,0)C( ，0)，( ，0) D(0， )，(0, )6 6 6 6【解析】 椭圆的标准方程为 x
5、2 1，焦点在 y 轴上，其长轴的端点坐y26标为(0 ， )6【答案】 D(2)已知椭圆 1 的一个顶点为(0,5)，试求椭圆的长轴长，短轴长，x29 y2m焦点坐标，离心率及其余的顶点【解】 (0,5)是椭圆 1 的顶点，x29 y2mm 25.椭圆方程为 1，a 225，b 29.x29 y225c2a 2b 216.长轴长 2a 10，短轴长 2b6，焦点为(0，4)，(0,4)，离心率为 e ca，45其余顶点为(3,0) ，(3,0)，(0，5)利用椭圆几何性质求其标准方程写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在 x 轴上，a4，e ；12(2)焦点在 y 轴上，c6，e ；
6、23(3)短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5，焦点到椭圆中心的距离为 3；(4)离心率为 ，经过点(2,0)32【精彩点拨】 本题考查椭圆方程的求法根据题中所给条件，结合椭圆的几何性质定位( 即确定焦点位置)、定量(即确定长轴和短轴的长)，若没有指明焦点位置，要分焦点在 x 轴上、y 轴上进行讨论【自主解答】 (1)由 a4，e 知，c2，b 216412.又焦点在 xca 12轴上，所以椭圆的标准方程为 1.x216 y212(2)由 c6，e 知，a9，b 2813645.又焦点在 y 轴上，所以椭圆的23标准方程为 1.y281 x245(3)由题意知，a5，c 3，b 225916，
7、焦点所在坐标轴可为 x 轴，也可为 y 轴，故椭圆的标准方程为 1 或 1.x225 y216 x216 y225(4)由 e ，设 a2k，c k，k0 ，则 bk.ca 32 3又椭圆经过点(2,0) ，当它为短轴顶点时，则 b2，a4，椭圆的标准方程为 1.x24 y216当点(2,0)为长轴顶点时，a2k 2，即 k1.所以椭圆标准方程为 y21.x24利用椭圆的性质求椭圆的标准方程应注意(1)讨论：若题目中没有明确焦点的位置，要根据题中条件适当分类，设出对应方程；(2)减参：设椭圆方程时，根据题中所给条件建立关于 a，b 的关系式，尽量减少待确定的参数个数再练一题2求适合下列条件的椭
8、圆的标准方程：(1)长轴长是 10，离心率是 ；45(2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6. 【导学号：25650048】【解】 (1)设椭圆的方程为 1( ab0)或 1(ab0)x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由已知得 2a10，a5.又e ，c4.ca 45b2a 2c 225169.椭圆方程为 1 或 1.x225 y29 y225 x29(2)依题意可设椭圆方程为 1(a b0)x2a2 y2b2如图所示， A1FA2 为一等腰直角三角形， OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且|OF|c，|A 1A2|2b，则 cb3，a 2b 2c 218
9、，故所求椭圆的方程为 1.x218 y29探究共研型椭圆的离心率探究 1 椭圆的离心率是怎样定义的？如何用 a，b 表示离心率？【提示】 (1)把椭圆的焦距与长轴长的比 e 称为椭圆的离心率ca(2)由 e 得 e2 ，ca c2a2 a2 b2a2e .e .1 (ba)2 1 b2a2探究 2 下列两个椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？4x29y 236 与 1.x225 y220【提示】 将椭圆方程 4x29y 236 化为标准方程 1，则x29 y24a29，b 24，所以 a3，c ，故离心率 e ；椭圆 1a2 b2 553 x225 y220中，a 225，b 220，
10、则 a5，c ，故离心率 e .a2 b2 555由于前一个椭圆的离心率较大，因此前一个椭圆更扁，后一个椭圆更圆(1)如图 212 所示， F1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点 M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的 ，求椭圆的离心率；23图 212(2)椭圆 1(ab0) 的两个焦点为 F1(c,0)、F 2(c,0)，M 是椭圆上x2a2 y2b2一点，满足 0. 求离心率 e 的取值范围F1M F2M 【精彩点拨】 根据题意，找出关于 a、b、c 的方程或不等式，结合a2b 2c 2 求解【自主解答】 (1)设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a，b，c.则焦
11、点为 F1(c, 0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为 ，(c，23b)则MF 1F2 为直角三角形在 RtMF1F2 中，|F 1F2|2| MF2|2|MF 1|2，即 4c2 b2 |MF1|2.49而|MF 1|MF 2| b2a，4c2 49b2 23整理得 3c2 3a22ab.又 c2a 2b 2，所以 3b 2a.所以 .b2a2 49e2 1 ，c2a2 a2 b2a2 b2a2 59e .53(2)设点 M 的坐标为(x，y)，则 (xc，y) ， (xc ，y)由 F1M F2M F1M 0，F2M 得 x2c 2y 20，即 y2c 2x 2.又由点 M 在椭圆上得
12、y2 b2 ，(1 x2a2)把代入得 b2 c 2x 2，(1 x2a2)所以 x2a 2 ，0x 2a 2，(2 a2c2)0a 2 a 2，即 02 1,02 1，(2 a2c2) a2c2 1e2解得 e1，又 0e1， e1.22 22求椭圆离心率或其范围的常用方法1定义法：若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定 a2，b 2，求出 a，c的值，利用公式 e 直接求解ca2转化法：若椭圆的方程未知，则根据条件建立 a，b，c 满足的关系式，化为关于 a，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或范围再练一题3如
13、图 213 所示，椭圆的中心在原点，焦点 F1，F 2 在 x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且 PF1x 轴，PF 2AB ，求此椭圆的离心率. 【导学号：25650049】图 213【解】 设椭圆的方程为 1(ab0)，x2a2 y2b2如题图所示，则有 F1(c,0)，F 2(c,0)，A(0 ，b)，B(a,0)，直线 PF1 的方程为 xc，代入方程 1，得 y ，P .x2a2 y2b2 b2a ( c，b2a)又 PF2AB，PF 1F2AOB. ， ，b2c.|PF1|F1F2| |AO|OB| b22ac bab24 c2， a2c 24c 2， .c2a2
14、 15e2 ，即 e ，所以椭圆的离心率为 .15 55 55构建体系1椭圆 x2 4y21 的离心率为 ( )A. B. 32 34C. D.22 23【解析】 椭圆方程可化为x2 1， a21，b 2 ，c 2 ，e 2 ，e .y214 14 34 c2a2 34 32【答案】 A2椭圆 1(ab0)的左、右顶点分别是 A，B ，左、右焦点分别x2a2 y2b2是 F1， F2，若 |AF1|，|F 1F2|，| F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A. B. 14 55C. D. 212 5【解析】 因为 A，B 为左右顶点，F 1，F 2 为左右焦点，所以|AF1|ac，|F
15、 1F2|2c，| BF1|ac ，又因为| AF1|，| F1F2|，|BF 1|成等比数列，所以( ac)(a c )4c 2，即 a25c 2，所以离心率 e .55【答案】 B3椭圆 x2 4y216 的短轴长为 _【解析】 由 1 可知 b2，x216 y24短轴长 2b 4.【答案】 44若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_. 【导学号：25650050】【解析】 设长轴为 2a，短轴为 2b，焦距为 2c，则 2a2c2 2b，即 ac2b，所以(a c) 24b 24(a 2c 2)，所以 3a25c 22ac ，同除 a2，整理得 5e2 2e30，所以 e 或 e1(舍去 )35【答案】 355求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，若其离心率为 ，焦距为 8；12(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.3【解】 (1)由题意知， 2c8，c4，e ，a8，ca 4a 12从而 b2a 2c 248，椭圆的标准方程是 1.y264 x248(2)由已知Error!Error!从而 b29，所求椭圆的标准方程为 1 或 1.x212 y29 x29 y212
