1、1.1 命题及其关系1.1.1 四种命题1了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义(重点)2会分析四种命题的相互关系(难点)3会写出四种命题和进行真假性的判断(易错点)基础初探教材整理 1 命题阅读教材 P5 上半部分，完成下列问题1定义：能够判断真假的语句叫做命题2真假命题：命题中正确的语句叫做真命题，错误的语句叫做假命题3命题的一般形式为“若 p 则 q”通常，命题中的 p 是命题的条件，q 是命题的结论判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)“2100 是个大数 ”是真命题( )(2)“若 x1，则 x2x20”的条件是 x1.( )(3)求证“四边形 ABCD 是平行四边形 ”是命题
2、( )【解析】 (1).因为不能判断真假(2).在命题 “若 p 则 q”中，p 是条件，q 是结论(3).该语句不是陈述句且不能判断真假【答案】 (1) (2) (3)教材整理 2 四种命题及其结构阅读教材 P5 中间部分，完成下列问题1四种命题的概念一般地，对于两个命题，(1)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们称这两个命题为互逆命题(2)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么称这两个命题为互否命题(3)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这样的两个命题称为互为逆否命题以上定义中，把第一个命题叫做原
3、命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题2四种命题的结构1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)命题“若非 p 则 q”的否命题为“若非 p 则非 q”( )(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题( )【答案】 (1) (2) 2命题“若 x3，则 x 2”的否命题为_ 【解析】 由命题“若 p 则 q”的否命题为“若非 p 则非 q”，可知命题“若 x3，则 x2”的否命题为 “若 x3，则 x 2”【答案】 若 x3，则 x23命题“若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等”的逆命题为_. 【导学号：09390000】【解析】 由命题“若 p 则 q”的逆
4、命题为“若 q 则 p”，可知命题“若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等”的逆命题为“若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行” 【答案】 若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行教材整理 3 四种命题的关系阅读教材 P5 以下部分，完成下列问题1四种命题之间的关系2四种命题的真假一般地，互为逆否命题的两个命题，要么都是真命题，要么都是假命题给出下列命题：(1)若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；(2)若一个四边形对角互补，则它内接于圆；(3) 正方形的四条边相等；(4)圆内接四边形对角互补；(5)对角不互补的四边形不内接于圆；(6)若一个四边形的四条边相等，则它是正方形其中互为逆
5、命题的有_；互为否命题的有_；互为逆否命题的有_【解析】 命题(3)可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题(4)可改写为 “若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补” ；命题(5)可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆” 因此互为逆命题的有(3)和(6)，(2)和(4) ；互为否命题的有(1)和(6) ，(2)和(5)；互为逆否命题的有(1)和(3)，(4)和(5)【答案】 (3)和(6) ，(2)和(4) (1)和(6) ，(2)和(5) (1)和(3)，(4) 和(5)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问
6、2： 解惑： 疑问 3： 小组合作型命题及真假判定判断下列语句是否为命题，若是命题，则判断其真假(1) 是无限循环小数；2(2)x23x20；(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(4)一个等比数列的公比大于 1 时，该数列为递增数列；(5)当 x4 时，2x10 ；(6)把门关上【精彩点拨】 首先判断是不是命题，如果是，然后再判断它是真命题还是假命题【自主解答】 (1)能判断真假，是命题，是假命题(2)不是命题，因为语句中含有变量 x，在没给变量 x 赋值前，无法判断语句的真假( 这种语句叫“开语句”)(3)不能判断真假，不是命题(4)是命题，当等比数列的首项 a11 时，该数列是递减数
7、列，因此是一个假命题(5)能判断真假，是命题，是真命题(6)因为没有作出判断，所以不是命题1判断一个语句是不是命题，关键是看能不能判断真假2判定一个命题是真命题时，一般需要经过严格的推理论证，论证要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断；而判定一个命题为假命题时，只需举出一个反例即可再练一题1判断下列语句是不是命题，若是，判断真假，并说明理由(1)求证 2 是质数(2)若 xR，则 x24x70.(3)你是高一学生吗？(4)一个正整数不是质数就是合数(5)xy 是有理数，则 x，y 也都是有理数(6)2x5.【解】 (1)祈使句，不是命题(2)是真命题，因为 x24x7(x2) 230
8、对于 xR，不等式恒成立(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题(4)是假命题，正整数 1 既不是质数，也不是合数(5)是假命题，如 x ， y .2 2(6)不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值能否使不等式成立，无法确定四种命题的概念把下列命题改写成“若 p 则 q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题(1)相似三角形的对应角相等；(2)当 x3 时，x 24x30；(3)正方形的对角线互相平分【精彩点拨】 先要找出条件和结论，写成若 p 则 q，写出逆命题、否命题和逆否命题时要清晰它们的定义【自主解答】 (1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若
9、两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似(2)原命题：若 x3，则 x24x30；逆命题：若 x24x 30 ，则 x3；否命题：若 x3，则 x2 4x30；逆否命题：若 x24x 3 0，则 x3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形1由原命题写出其它三种命题，关键要分清原命题的条
10、件和结论，将条件和结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题2如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变再练一题2设“若 x2y 20，则 x，y 至少有一个不为 0”是命题 A 的逆否命题，请写出命题 A，并写出命题 A 的逆命题，否命题. 【导学号：09390001】【解】 命题 A：若 x0 且 y0，则 x2y 20.命题 A 的逆命题：若 x2y 20，则 x0，y0.命题 A 的否命题：若 x0 或 y0，则 x2y 20.四种命题真假的判断分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否
11、命题，并判断它们的真假(1)若 q1，则关于 x 的方程 x22xq0 有实根；(2)若 ab0，则 a0 或 b0；(3)若 x2y 20，则 x，y 全为零【精彩点拨】 依据写出的命题进行真假判定或用等价命题进行判定【自主解答】 (1)逆命题：若关于 x 的方程 x22 xq0 有实根，则 q1.是真命题否命题：若 q1，则关于 x 的方程 x22xq0 无实根是真命题逆否命题：若关于 x 的方程 x22xq0 无实根，则 q1.是真命题(2)逆命题：若 a0 或 b0，则 ab0.是真命题否命题：若 ab0，则 a0 且 b0.是真命题逆否命题：若 a0 且 b0，则 ab0.是真命题(
12、3)逆命题：若 x，y 全为零，则 x2y 20.是真命题否命题：若 x2y 20，则 x，y 不全为零是真命题逆否命题：若 x，y 不全为零，则 x2y 20.是真命题判断命题真假的方法1解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以印证2原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可再练一题3判断下列四个命题的真假，并说明理由(1)“若 xy0，则 x，y 互为相反数”的否命题；(2)“若 xy，则 x2y 2”的逆否命题；(3)若“x3，则 x2x60”的否命题；(4)“对
13、顶角相等 ”的逆命题【解】 (1)命题 “若 xy0，则 x，y 互为相反数 ”的逆命题为“若 x，y互为相反数，则 xy 0” ，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若 xy 0，则 x，y 互为相反数 ”的否命题是真命题(2)令 x1，y2，满足 xy，但 x2y 2，所以“若 xy ，则 x2y 2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若 xy ，则x2y 2”的逆否命题也是假命题(3)该命题的否命题为“若 x3，则 x2x60” ，令 x4，满足 x3，但 x2x660，不满足 x2x60，故该否命题是假命题(4)该命题的逆命题为“相
14、等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角探究共研型四种命题的关系探究 1 给出一个原命题时，如何写出它的逆命题和否命题？当原命题真假确定时，它的逆命题和否命题真假确定吗？【提示】 先把原命题写成“若 p 则 q”的形式，它的逆命题就是“若 q则 p”，它的否命题就是“若非 p 则非 q”；当原命题的真假确定时，它的逆命题和否命题真假不确定，但逆命题和否命题同真同假如真命题“若 x1，则 x22x30”的逆命题和否命题均为假；又如真命题“若 ab，则 ac bc”的逆命题和否命题均为真命题探究 2 四种命题的真假性，有且只有哪几种情况？能对这几种情况归纳成结论
15、吗？【提示】 有且仅有下面四种情况：原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 真 真真 假 假 真假 真 真 假假 假 假 假结论：原命题和它的逆否命题同真同假；一个命题的逆命题和否命题同真同假；原命题和它的逆命题、否命题真假不一定相同证明：已知函数 f(x)是(，) 上的增函数，a，bR，若 f(a)f(b)f( a) f(b) ，则 ab0.【精彩点拨】 根据原命题与逆否命题的等价性，先证逆否命题即可【自主解答】 原命题的逆否命题为“已知函数 f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若 ab1，则 lg a0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为_个. 【导学号：0939000
16、3】【解析】 原命题是真命题，逆命题“对于正数 a，若 lg a0，则 a1”也是真命题根据四种命题的真假关系，其否命题和逆否命题也是真命题【答案】 44与命题“能被 4 整除的整数，一定能被 2 整除”的等价命题为_【解析】 与命题“能被 4 整除的整数，一定能被 2 整除”等价的命题是它的逆否命题：若一个整数不能被 2 整除，则这个整数一定不能被 4 整除【答案】 若一个整数不能被 2 整除，则这个整数一定不能被 4 整除5将命题“当 a0 时，函数 f(x)ax 2bxc 的图象是开口向上的抛物线”写成“若 p 则 q”的形式，写出其否命题和逆否命题，并判断真假【解】 命题“当 a0 时，函数 f(x)ax 2bx c 的图象是开口向上的抛物线”写成“若 p 则 q”的形式为：若 a0，则函数 f(x)ax 2bxc 的图象是开口向上的抛物线，是真命题；否命题：若 a0，则函数 f(x)ax 2bxc 的图象不是开口向上的抛物线，是真命题；逆否命题：若函数 f(x)ax 2bxc 的图象不是开口向上的抛物线，则a0，是真命题我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)
