1、3.3 导数的应用33.1 利用导数判断函数的单调性1理解在某区间上函数的单调性与导数的关系(难点)2掌握利用导数判断函数单调性的方法(重点)3能够根据函数的单调性求参数(难点)基础初探教材整理 函数的单调性与导数阅读教材 P93 例 1 以上部分，完成下列问题1函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b) 内的函数 yf(x)f( x)的正负 f(x)的单调性f(x)0 单调递增f(x)0，则函数 f(x)在定义域上单调递增( )(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭” ( )(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大( )(4)在区间(a，b)
2、内，f(x)0 是 f(x)在此区间上单调递增的充要条件( )【答案】 (1) (2) (3) (4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_小组合作型求函数的单调区间求下列函数的单调区间：(1)f(x) x32x 2x ；(2)f(x) 3x22ln x ；(3)f(x) x2aln x (aR， a0). 【导学号：25650121】12【精彩点拨】 在定义域内解不等式 f(x) 0(或 f(x)0)，确定单调区间【自主解答】 (1)函数的定义域为 R，f(x) x32x 2x，f(x)3x 24x 1.令
3、 f( x)0，解得 x1 或 x .13因此 f(x)的单调递增区间是 ，(1 ，)( ，13)令 f( x)0，解得 x1.13因此 f(x)的单调递减区间是 .(13，1)(2)函数的定义域为(0，) f(x)6x 2 .2x 3x2 1x令 f( x)0，即 2 0，3x2 1x解得 x0 或 x .33 33又 x0，x ；33令 f( x)0，即 2 0，3x2 1x解得 x 或 0x ，33 33又 x0，0x .33f(x)的单调递增区间为 ，(33， )单调递减区间为 .(0，33)(3)函数定义域为(0，) ，f(x)x .ax当 a0 时，f(x )x 0 恒成立，这时函
4、数只有单调递增区间为ax(0， ) ；当 a0 时，由 f(x ) x 0，得 x ；由 f(x)x 0，得ax a ax0x ，所以当 a0 时，函数的单调递增区间是 ，单调递减 a ( a， )区间是(0 ， ) a综上，当 a0 时，单调递增区间为(0，)，无单调递减区间；当 a0时，单调递增区间为( ，)，单调递减区间为(0， ) a a利用导数求单调区间，实质上是在定义域内求不等式 f(x)0 或 f(x)0 的解集如果在某个区间内恒有 f(x)0，则 f(x)是常函数；如果在某个区间内只有有限个点使 f(x)0，其余点恒有 f(x)0(f(x )0)，则 f(x)仍为增函数(减函数
5、)再练一题1(1)(2016惠州高二检测 )函数 yx 3x 2x 的单调递增区间为( )A. 和(1，) B.( ， 13) ( 13，1)C. (1，) D.( ， 13) ( 1，13)(2)函数 f(x)x2sin x 在(0，) 上的单调递增区间为_【解析】 (1)y 3x 22x1，令 y0 ，得 x1，所以函数的单13调递增区间为 和(1，)( ， 13)(2)令 f(x) 12cos x0，则 cos x0，y xex在(0 ，) 内为增函数【答案】 B2已知二次函数 f(x)的图象如图 333 所示，则其导函数 f(x)的图象大致形状是( )图 333【解析】 根据图象可设
6、f(x)a(x1)(x1)( a0)，则 f( x)2ax(a0)故选 B.【答案】 B3函数 f(x)(x1)e x的单调递增区间是_【解析】 f(x )(x1)e x(x1)(e x)xe x，令 f( x)0，解得 x0，故 f(x)的增区间为(0，)【答案】 (0，)4若函数 f(x)x 3x 2mx1 是 R 上的单调增函数，则 m 的取值范围是_【解析】 f( x)3x 2 2xm，由题意知 f(x)在 R 上单调递增，4 12m0， m .13【答案】 m135设 f(x) ，其中 a 为正实数若 f(x)为 R 上的单调函数，求 a 的ex1 ax2取值范围. 【导学号：25650124】【解】 对 f(x)求导得f(x)e x ，1 ax2 2ax1 ax22若 f(x)为 R 上的单调函数，则 f( x)在 R 上不变号，结合 a0，知 ax22ax10 在 R 上恒成立，因此 4a 24a4a(a1)0，由此并结合 a0，知 0a1.即 a 的取值范围为(0,1
