1、章末分层突破自我校对共面向量定理坐标表示加减运算坐标运算_空间向量的概念及运算1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量2空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式 ab|a|b|cosa，b及其变式cosa ，b 是两个重要公式ab|a| |b|(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2| a|2，a 在 b 上的投影 |a|cos 等ab|b|给出下列命题：若 ，则必有 A 与 C 重合，B 与
2、 D 重合，AB 与 CD 为同一线段；AB CD 若 ab0，则a，b为钝角；若 a 是直线 l 的方向向量，则 a(R)也是 l 的方向向量；非零向量 a，b，c 满足 a 与 b，b 与 c，c 与 a 都是共面向量，则a，b，c 必共面其中错误命题的个数是( )A1 B2 C3 D4【精彩点拨】 紧扣空间向量的相关概念、运算法则加以判断，注意举反例的思想方法【规范解答】 错误，如在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， ，但AB A1B1 线段 AB 与 A1B1 不重合； 错误，a b0，即 cosa，b0，得 a，b2，而钝角的范围是 ；错误，当 0 时， a0，不是 l 的方向向
3、量；(2，)错误，如在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，令 a， b， c ，则AB AD AA1 它们两两共面，但 ， ， 不共面AB AD AA1 【答案】 D再练一题1已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中， ，若 x y ( A1E 14A1C1 AE AA1 AB )，则 x_，y_.AD 图 31【解析】 由题知 ( )，AE AA1 A1E AA1 14A1C1 AA1 14AB AD 从而有 x1， y .14【答案】 1 14空间向量与线面关系空间图形中的平行、垂直问题是立体几何中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向
4、量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决在四棱锥 PABCD 中，AB AD，CDAD，PA底面ABCD， PA ADCD2 AB2，M 为 PC 的中点(1)求证：BM平面 PAD；(2)平面 PAD 内是否存在一点 N，使 MN平面 PBD？若存在，确定 N 的位置；若不存在，说明理由【精彩点拨】 (1)证明向量 垂直于平面 PAD 的一个法向量即可；BM (2)假设存在点 N，设出其坐标，利用 ， ，列方程求其坐标MN BD MN PB 即可【规范解答】 以 A 为原点，以 AB，AD ，AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则 B(1
5、,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1,1,1)，(1) (0,1,1)，BM 平面 PAD 的一个法向量为 n(1,0,0)， n0，即 n，BM BM 又 BM平面 PAD，BM 平面 PAD.(2) ( 1,2,0)， (1,0，2)，BD PB 假设平面 PAD 内存在一点 N，使 MN平面 PBD.设 N(0，y，z) ，则 ( 1，y 1，z1)，MN 从而 MNBD，MNPB，Error!即Error!Error!N ，在平面 PAD 内存在一点 N ，使 MN平面(0，12，12) (0，12，12)PBD.再练一题2.如图 32 所示，已知
6、PA平面 ABCD，ABCD 为矩形， PAAD ，M，N分别为 AB， PC 的中点求证：图 32(1)MN平面 PAD；(2)平面 PMC平面 PDC.【证明】 (1)法一 如图所示，以 A 为坐标原点， AB，AD，AP 所在的直线分别为 x， y，z 轴建立空间直角坐标系 Axyz.设 PAADa，ABb，则有P(0,0，a) ，A(0,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，B( b,0,0)，M，N 分别为 AB，PC 的中点，M ， N .(b2，0，0) (b2，a2，a2) ， (0,0，a)， (0，a,0)，MN (0，a2，a2) AP AD .MN 12AD 1
7、2AP 又MN 平面 PAD，MN 平面 PAD.法二 易知 为平面 PAD 的一个法向量AB (b,0,0)，又 ，AB MN (0，a2，a2) 0，AB MN .又 MN平面 PAD，AB MN MN平面 PAD.(2)由(1)可知，P(0,0 ，a)，C(b，a,0)，M ，D (0，a,0) (b2，0，0)所以 ( b，a，a) ， ，PC PM (b2，0， a)(0，a， a)PD 设平面 PMC 的一个法向量为 n1(x 1，y 1，z 1)，则Error!得Error!Error!令 z1b，则 n1(2a，b，b)设平面 PDC 的一个法向量为 n2(x 2，y 2，z
8、2)，则Error!得Error!Error!令 y21，则 n2(0,1,1) ，n1n20.n1n2，即平面 PMC平面 PDC.空间向量与空间角利用空间向量只要求出直线的方向向量和平面的法向量即可求解(1)若两条异面直线的方向向量分别为 a，b，所成角为 ，则 cos |cos a，b|.(2)直线 l 的方向向量为 u，平面 的法向量为 n，直线与平面所成角为 ，则 sin |cosu ，n |.(3)二面角的平面角为 ，两个半平面的法向量分别为 n1，n 2，则n 1，n 2 或 n1，n 2 ，根据情况确定如图 33，在等腰直角三角形 ABC 中，A 90，BC6，D，E分别是 A
9、C，AB 上的点，CDBE ，O 为 BC 的中点将ADE 沿 DE 折起，2得到如图(2)所示的四棱锥 A BCDE，其中 AO .3(1) (2)图 33(1)证明：AO平面 BCDE；(2)求二面角 ACDB 的平面角的余弦值【精彩点拨】 (1)利用勾股定理可证 AOOD，AO OE，从而证得AO平面 BCDE；(2)用 “三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角【规范解答】 (1)证明：由题意，得 OC3，AC3 ，AD2 .2 2如图，连接 OD，OE，在OCD 中，由余弦定理，得OD .OC2 CD2 2OCCDcos 45 5由翻折不变性，知 AD2 ，
10、2所以 AO 2OD 2A D 2，所以 AOOD.同理可证 AOOE.又因为 ODOEO，所以 AO平面 BCDE.(2)如图，过点 O 作 OHCD 交 CD 的延长线于点 H，连接 AH.因为 AO 平面 BCDE，OHCD，所以 AH CD.所以A HO 为二面角 ACDB 的平面角结合图(1)可知， OH ，322从而 AH .OH2 A O2302所以 cosAHO .OHA H 155所以二面角 A CDB 的平面角的余弦值为 .155再练一题3如图 34，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABBC2，AA 1 ，点2E，F 分别是平面 A1B1C1D1、平面 BCC1B1
11、 的中心以 D 为坐标原点，DA，DC，DD 1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系试用向量方法解决下列问题：图 34(1)求异面直线 AF 和 BE 所成的角；(2)求直线 AF 和平面 BEC 所成角的正弦值【解】 (1)由题意得 A(2,0,0)，F ，B(2,2,0)，E (1,1, )，(1，2，22) 2C(0,2,0) ， (1，1, )，AF ( 1，2，22) BE 2 1 210.AF BE 直线 AF 和 BE 所成的角为 90.(2)设平面 BEC 的法向量为 n(x ，y，z)，又 ( 2,0,0) ， (1，1, )，BC BE 2则 n 2x
12、0，n x y z0，BC BE 2x 0，取 z1，则 y ，2平面 BEC 的一个法向量为 n(0, ，1)2cos ，n .AF AF n|AF |n|522222 3 53333设直线 AF 和平面 BEC 所成的角为 ，则 sin ，即直线 AF 和平面53333BEC 所成角的正弦值为 .53333空间向量与立体几何中的数形结合思想空间向量是既有大小、又有方向的量，本身它就具有数形兼备的特点，因此将几何中的“形”与代数中的“数”有机地结合在一起，用向量法解立体几何问题，下列等价关系是从“数”与“形”两方面建立的，它们在向量方法中有重要的作用设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，
13、平面 ， 的法向量分别为 u，v ，则：lmab；lau a u0； uv；lmab ab0；l au； uv uv 0.如图 35，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1C1C 是边长为 4 的正方形平面 ABC平面 AA1C1C，AB3，BC5.图 35(1)求证：AA 1平面 ABC；(2)求二面角 A1BC1B1 的余弦值；(3)证明：在线段 BC1 上存在点 D，使得 ADA 1B，并求 的值BDBC1【精彩点拨】 根据面面垂直的性质证明线面垂直，建立空间直角坐标系求二面角的平面角，根据向量的坐标建立方程求线段的比值【规范解答】 (1)证明：因为 AA1C1C 为正方形，所以 A
14、A1AC.因为平面 ABC平面 AA1C1C，且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC，所以AA1平面 ABC.(2)由(1)知 AA1AC，AA 1AB.由题知 AB3，BC5，AC 4，所以 ABAC.如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 Axyz，则 B(0,3,0)，A 1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C 1(4,0,4)设平面 A1BC1 的法向量为 n(x，y ，z )，则Error!即Error!令 z3，则 x0，y 4，所以 n(0,4,3)同理可得，平面 B1BC1 的法向量为 m(3,4,0)所以 cosn，m .nm|n|m| 1625由题知二面角 A1BC1B
15、1 为锐角，所以二面角 A1BC1B1 的余弦值为 .1625(3)证明：设 D(x1，y 1，z 1)是线段 BC1 上一点，且 .所以BD BC1 (x1， y13， z1)(4，3,4)解得 x14， y133， z14 .所以 (4 ，33，4 )AD 由 0，即 9250，解得 .AD A1B 925因为 0,1，所以在线段 BC1 上存在点 D，使得 ADA1B.此时，925 .BDBC1 925再练一题4.如图 36，已知多面体 EABCDF 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，EA底面 ABCD，FDEA，且 FD EA1.12图 36(1)求多面体 EABCDF 的体积
16、；(2)求直线 EB 与平面 ECF 所成角的正弦值； (3)记线段 BC 的中点为 K，在平面 ABCD 内过点 K 作一条直线与平面 ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明【解】 (1)如图，连接 ED，EA底面 ABCD 且 FDEA，FD底面 ABCD，FD AD，DCAD，FDCDD，AD平面 FDC，VEFCD ADSFDC 2 12 ，13 13 12 23VEABCD EASABCD 222 ，13 13 83多面体 EABCDF 的体积 V 多面体 V EFCDV EABCD .23 83 103(2)以点 A 为原点，AB 所在的直线为 x 轴，AD 所在的直线为 y
17、轴，AE 所在的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图由已知可得 A(0,0,0)，E(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，F(0,2,1)， (2,2 ，2)， (2,0，2)，E (0,2，1)，设平面 ECF 的法向EC EB F 量为 n( x， y，z)，则Error!得Error!取 y1，则 z2，x 1，平面 ECF 的一个法向量为 n(1,1,2) ，设直线 EB 与平面 ECF 所成的角为 ，则 sin |cosn ， | .EB |nEB |n|EB | 243 36(3)如图，取线段 CD 的中点 Q，连接 KQ，直线 KQ 即为所求的直线1(2015全
18、国卷 )设 D 为ABC 所在平面内一点， 3 ，则( )BC CD A. AD 13AB 43AC B. AD 13AB 43AC C. AD 43AB 13AC D. AD 43AB 13AC 【解析】 ( ) AD AC CD AC 13BC AC 13AC AB 43AC 13AB 13 .故选 A.AB 43AC 【答案】 A2(2015安徽高考 )ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a，b 满足2a， 2ab，则下列结论正确的是( )AB AC A|b| 1 BabCab1 D(4ab) BC 【解析】 在 ABC 中，由 2ab2ab，得|b|2.又BC AC AB |
19、a| 1，所以 ab|a|b|cos 1201，所以(4ab ) (4ab)b4ab|b| 24(1)4 0，所以(4ab) ，故选 D.BC BC 【答案】 D3(2015山东高考 )已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则 BD CD ( )A a2 B a232 34C. a2 D a234 32【解析】 由已知条件得 aacos 30 a2，故选 D.BD CD BD BA 3 32【答案】 D4(2015全国卷 )设向量 a，b 不平行，向量 ab 与 a2b 平行，则实数 _.【解析】 ab 与 a2b 平行，abt(a2b)，即 abta2tb，Error!解得Error
20、!【答案】 125(2016全国卷 )如图 37，四棱锥 PABCD 中，PA 底面ABCD， AD BC，AB AD AC3，PABC4 ，M 为线段 AD 上一点，AM2MD ，N 为 PC 的中点图 37(1)证明：MN 平面 PAB；(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值【解】 (1)证明： 由已知得 AM AD2.23取 BP 的中点 T，连接 AT，TN ，由 N 为 PC 的中点知TNBC，TN BC2.12又 ADBC，故 TN 綊 AM，所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MNAT.因为 AT平面 PAB，MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB.(2)取
21、BC 的中点 E，连接 AE.由 ABAC 得 AEBC，从而 AEAD，且 AE .AB2 BE2AB2 (BC2)2 5以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标AE 系 Axyz.由题意知 P(0,0,4)，M(0,2,0)，C( ，2,0)，N ，5 (52，1，2)(0,2，4)， ， .PM PN ( 52，1， 2) AN ( 52，1，2)设 n(x，y，z)为平面 PMN 的法向量，则Error!即Error!可取 n(0,2,1)于是|cos n， | .AN |nAN |n|AN | 8525所以直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 .8525
