1、3.1.3 导数的几何意义1理解导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程(重点)2理解在某点处与过某点的切线方程的区别(难点、易混点)基础初探教材整理 1 导数的几何意义阅读教材 P83 例 1 以上部分，完成下列问题1设点 P(x0，f(x 0)，P n(xn，f(x n)是曲线 yf(x)上不同的点，当点Pn(xn，f( xn)(n1,2,3,4 )沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0，f (x0)时，割线 PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为过点 P 的切线，且 PT 的斜率 kf (x0).fxn fx0xn x02函数 yf( x)在点 x0 处的导数 f(x 0)
2、的几何意义是曲线 yf (x)在点P(x0，f( x0)处 切线的斜率，在点 P 的切线方程为 yf (x0)f (x 0)(xx 0).判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点( )(2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点( )(3)若 f(x 0)不存在，则曲线 yf(x) 在点(x 0，f(x 0)处无切线( )【答案】 (1) (2) (3)教材整理 2 导函数的概念阅读教材 P81 导函数部分，完成下列问题导函数的概念从求函数 f(x)在 xx 0 处导数的过程看到，当 xx 0 时，f(x 0)是一个确定的数；当 x 变化时，
3、f( x)是 x 的一个函数，称为 f(x)的导函数，即 f(x)y .lim x 0fx x fxx判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f(x 0)与导函数 f(x)之间是有区别的( )(2)导函数 f (x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同 ( )(3)函数 f(x)x 2 的导数是 f(x) 2x.( )(4)函数 f(x)0 没有导函数( )【答案】 (1) (2) (3) (4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_小组合作型导数几何意义的应用如图 31
4、3，点 A(2,1)，B (3,0)，E(x,0)( x0)，过点 E 作 OB 的垂线l.记AOB 在直线 l 左侧部分的面积为 S，则函数 Sf (x)的图象为下图中的( )图 313【自主解答】 函数的定义域为(0，)，当 x0,2时，在单位长度变化量 x 内面积变化量 S 越来越大，即斜率f(x)在0,2内越来越大，因此，函数 Sf(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当 x(2,3)时，在单位长度变化量 x 内面积变化量 S 越来越小，即斜率f(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数 Sf(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当 x3， )时，在单位长度变化量 x 内面积变化量 S
5、为 0，即斜率f(x)在3 ， ) 内为常数 0，此时，函数图象为平行于 x 轴的射线故选 D.【答案】 D函数在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出函数升降的快慢因此，研究复杂的函数问题，可以考虑通过研究其切线来了解函数的性质再练一题1.函数 yf(x )的图象如图 314 所示，根据图象比较曲线 yf(x)在xx 1，xx 2 附近的变化情况. 【导学号：25650102 】图 314【解】 当 xx 1 时，曲线 yf(x)在点(x 1，f(x 1)处的切线 l1 的斜率 f(x 1)0，因此在 xx 1 附近曲线呈上升趋势，即函数 yf
6、 (x)在 xx 1 附近单调递增同理，函数 yf (x)在 xx 2 附近单调递增，但是，直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度，这表明曲线 yf(x)在xx 1 附近比在 xx 2 附近上升得缓慢求切点坐标过曲线 yx 2 上哪一点的切线满足下列条件？(1)平行于直线 y4x5；(2)垂直于直线 2x6x50；(3)倾斜角为 135.【精彩点拨】 本题考查曲线的切线的有关问题解题的关键是设出切点的坐标，求出切线的斜率【自主解答】 f(x ) lim x 0fx x fxx 2x，lim x 0x x2 x2x设 P(x0，y 0)是满足条件的点(1)切线与直线 y4x 5 平行，
7、2x04，x 02，y 04，即 P(2,4)是满足条件的点(2)切线与直线 2x6y 50 垂直，2x0 1，得 x0 ，y 0 ，13 32 94即 P 是满足条件的点( 32，94)(3)切线的倾斜角为 135，其斜率为1.即 2x01，得 x0 ， y0 ，12 14即 P 是满足条件的点( 12，14)解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等再练一题2已知曲线 y2x 2a 在点 P 处的切线方程为 8xy150，求切点 P 的坐标和实数 a 的
8、值. 【导学号：25650104】【解】 设切点 P(x0，y 0)，切线斜率为 k.由 y lim x 0yx lim x 02x x2 a 2x2 ax (4x 2x)4x ，得 ky|xx 04x 0，lim x 0根据题意 4x08，x 02，分别代入 y 2x2a 和 y8x15 得 y08a1，得Error!故所求切点为 P(2,1)，a 7.探究共研型求曲线的切线方程探究 1 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？【提示】 不一定曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线探究 2 怎样求曲线
9、f(x)在点 (x0，f(x 0)处的切线方程？【提示】 根据导数的几何意义，求出函数 yf(x)在点(x 0，f(x 0)处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程探究 3 曲线 f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线与曲线过某点(x 0，y 0)的切线有何不同？【提示】 曲线 f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线，点(x 0，f( x0)一定是切点，只要求出 kf (x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线 f(x)过某点(x 0，y 0)的切线，给出的点( x0，y 0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点(1)y 在点 处的切线方程是( )1x
10、 (12， 2)Ayx2 Byx12Cy4x 4 Dy4x2【自主解答】 先求 y 的导数：y ， 1x 1x x 1x xxx x yx， ，即 y ，所以 y 在点1xx x lim x 0 yx lim x 0 1xx x 1x2 1x2 1x处的切线斜率为 ky|x 4.所以切线方程是 y24 ，即(12， 2) 12 (x 12)y4x4.【答案】 C(2)已知曲线 C：y x 3x2，求曲线过点 P(1,2)的切线方程【自主解答】 设切点为(x 0，x x 02)，则得 y|xx 030 lim x 0x0 x3 x0 x 2 x30 x0 2x (x)23x 0x3x 1)3x
11、1.lim x 0 20 20所以切线方程为 y(x x02)(3x 1)( xx 0)30 20将点 P(1,2)代入得：2(x x 0 2)(3x 1)(1 x 0)，30 20即(x 01) 2(2x01)0，所以 x01 或 x0 ，12所以切点坐标为(1,2) 或 ，所以当切点为(1,2)时，切线方程为( 12，198)y22( x1)，即 y2x，当切点为 时，切线方程为 y ，( 12，198) 198 14(x 12)即 x4y90，所以切线方程为 y2x 或 x4y 90.利用导数的几何意义求切线方程的方法1若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数 yf (x)在
12、点 x0 处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程 yy 0 f(x 0)(xx 0)2若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程再练一题3(1)已知函数 yax 2b 在点(1,3)处的切线斜率为 2，则 _. ba【导学号：25650103】【解析】 (ax2a)2a2，lim x 0a1 x2 ax lim x 0a1，又 3 a12b， b2，即 2.ba【答案】 2(2)求曲线 yf(x) 在点(2，1)处的切线方程2x【解】 因为 y ，2x所以 y lim x 0fx x fxx lim x
13、 02x x 2xx ，lim x 0 2xxx xx 2x2因此曲线 f(x)在点(2， 1)处的切线的斜率 k .2 22 12由点斜式可得切线方程为 y1 (x2)，即 x2y40.12构建体系1如果曲线 yf (x)在点(x 0，f(x 0)处的切线方程为 x2y 30，那么( )Af(x 0)0 Bf(x 0)0Cf (x0)0 Df(x 0)不存在【解析】 由 x2y 3 0 知，斜率 k ，12f(x 0) 0.12【答案】 B2若曲线 y x2axb 在点(0，b)处的切线方程是 xy 10，则( )Aa1，b1 Ba1，b 1Ca 1，b1 Da1，b1【解析】 由题意，知
14、ky | x0 1，a1.lim x 00 x2 a0 x b bx又(0， b)在切线上， b1，故选 A.【答案】 A3已知曲线 yf (x)2x 24x 在点 P 处的切线斜率为 16，则 P 点坐标为_【解析】 设点 P(x0,2x 4x 0)，20则 f( x0) lim x 0fx0 x fx0x 4x 04，lim x 02x2 4x0x 4xx令 4x0416 ，得 x03， P(3,30)【答案】 (3,30)4曲线 yx 22x2 在点(2,2)处的切线方程为_【导学号：25650105】【解析】 y(2 x)22(2x)2(2 2222)2 x( x)2， 2x.yxy
15、|x2 (2 x) 2.lim x 0曲线在点(2,2)处的切线斜率为 2.切线方程为 y22(x 2)，即 2xy20.【答案】 2x y 205.函数 f(x)的图象如图 315 所示，试根据函数图象判断 0，f (1)，f (3)，的大小关系f3 f12图 315【解】 设 x1，x 3 时对应曲线上的点分别为 A，B ，点 A 处的切线为AT，点 B 处的切线为 BQ，如图所示则 k AB，f(3) k BQ，f(1)k AT，由图可知切线 BQ 的倾斜角小f3 f13 1于直线 AB 的倾斜角，直线 AB 的倾斜角小于切线 AT 的倾斜角，即kBQk ABk AT，0f(3) f(1) f3 f12
