1、23.2 抛物线的几何性质1掌握抛物线的几何性质及抛物线性质的应用(重点)2掌握直线与抛物线的位置关系(难点)基础初探教材整理 抛物线的简单几何性质阅读教材 P59P 60 例 1 以上部分，完成下列问题1抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围 x 0，yR x 0，yR x R，y 0 xR，y0对称轴 x 轴 y 轴顶点 O(0,0)性质离心率 e12.直线与抛物线的位置关系判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)抛物线是中心对称图形( )(2)抛物线没有渐近线( )(3)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是 p.( )(
2、4)直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件( )【答案】 (1) (2) (3) (4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_小组合作型抛物线的几何性质(1)抛物线顶点在坐标原点，以 y 轴为对称轴，过焦点且与 y 轴垂直的弦长为 16，则抛物线方程为_. 【导学号：25650082】【自主解答】 因为过焦点且与对称轴 y 轴垂直的弦长等于 p 的 2 倍，所以 2p16.故所求抛物线方程为 x2 16y.【答案】 x 216 y(2)已知抛物线的方程为 yax 2(a0)，求该抛物线的焦点坐
3、标和准线方程【自主解答】 抛物线方程 yax 2(a0)可化为 x2 y(a0)1a当 a0 时，抛物线开口向上，焦点坐标为 ，准线方程为 y .(0，14a) 14a当 a0 时，抛物线开口向下，焦点坐标为 ，准线方程为 y .(0，14a) 14a综上所述，抛物线 yax 2(a0)的焦点坐标为 ，准线方程为 y .(0，14a) 14a把握三个要点确定抛物线简单几何性质1开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是 x 还是 y，一次项的系数是正还是负2关系：顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴3定值：焦点到准线的距离为 p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为 2p；离
4、心率恒等于 1.再练一题1抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x24y 236 短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程. 【导学号：25650083】【解】 椭圆的方程可化为 1，x24 y29其短轴在 x 轴上，抛物线的对称轴为 x 轴，设抛物线的方程为 y22px 或 y22px (p0)抛物线的焦点到顶点的距离为 3，即 3，p2p6.抛物线的标准方程为 y212x 或 y212x ，其准线方程分别为 x 3 和 x3.直线与抛物线的位置关系已知抛物线的方程为 y24x，直线 l 过定点 P(2,1)，斜率为k(k R)当 k 为何值时，直线
5、l 与抛物线只有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？【精彩点拨】 要解决这个问题，只需讨论直线 l 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线 l 与抛物线的位置关系【自主解答】 由题意可设直线 l 的方程为 y1k(x 2) ，把直线 l 的方程和抛物线的方程联立得方程组Error!(*)消去 x 得 ky24y4(2k 1) 0，(1)当 k0 时，由方程得 y1.把 y1 代入 y2 4x 中，得 x .14这时，直线 l 与抛物线只有一个公共点 .(14，1)(2)当 k0 时，方程的判别式为 16(2k 2k1)由 0，即 2k2k 10，解得 k1 或
6、k .12于是，当 k 1 或 k 时，方程 只有一个解，从而方程组 (*)只有一个12解这时，直线 l 与抛物线只有一个公共点当 0，即 2k2k10，解得 k .12于是，当 k 时，方程没有实数解，从而方程组(*)没有解，这12时，直线 l 与抛物线没有公共点综上，我们可得：当 k1 或 k 或 k0 时，直线 l 与抛物线只有一个公共点；12当1 时，直线 l 与抛物线没有公共点121直线与抛物线的位置关系判断方法通常使用代数法：将直线的方程与抛物线的方程联立，整理成关于 x 的方程 ax2bxc 0.(1)当 a0 时，利用判别式解决0相交；0相切；0 相离(2)当 a0 时，方程只
7、有一解 x ，这时直线与抛物线的对称轴平行或cb重合2直线与抛物线相切和直线与抛物线公共点的个数的关系：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是不能把直线与抛物线有且只有一个公共点统称为相切，这是因为平行于抛物线的对称轴的直线与抛物线只有一个公共点，而这时抛物线与直线是相交的再练一题2设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是( )A. B2,2 12，12C1,1 D4,4【解析】 抛物线 y28x 的准线(直线 x2)与 x 轴的交点为 Q(2,0)，于是，可设过点 Q(2,0)的直线 l 的方程为 yk(x2)
8、，则有Error!消去 y，得k2x2(4 k28)x 4k 20，由其判别式 (4k 28) 216k 464k 2640，可解得1k 1.故选 C.【答案】 C探究共研型抛物线的焦点弦探究 直线过抛物线 y2 2px(p0)的焦点 F，与抛物线交于 A(x1，y 1)、B(x2，y 2)两点，能否用 A，B 点的坐标表示弦长|AB |?【提示】 由抛物线的定义知，|AF| x 1 ，| BF|x 2 ，故p2 p2|AB|x 1x 2 p.已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 的4直线，被抛物线所截得的弦长为 6，求抛物线的标准方程【精彩点拨】 本题考查抛物线的焦点弦
9、的性质及抛物线的标准方程问题，可根据已知条件利用待定系数法求解【自主解答】 当抛物线焦点在 x 轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程是 y22px(p 0)，则焦点 F ，直线 l 的方程为 yx .(p2，0) p2设直线 l 与抛物线的交点为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，过 A、B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 A1、B 1.则|AB|AF|BF |AA 1|BB 1| x 1x 2p6，(x1 p2) (x2 p2)x1x 26p.由Error!消去 y，得 22px，(x p2)即 x23px 0.p24x1x 23p.代入式，得 3p6p，p .32所求抛物线的标
10、准方程是 y23x.当抛物线焦点在 x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是 y23x.1解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解2设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论再练一题3过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，若|AB|7，则 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离为_. 【导学号：25650084】【解析】 抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.由抛物线的定义知|AB|AF|BF |x 1 x 2 x 1x 2p，
11、即 x1x 227，得 x1x 25，于p2 p2是弦 AB 的中点 M 的横坐标为 ，因此点 M 到抛物线准线的距离为 1 .52 52 72【答案】 72构建体系1设抛物线的焦点到顶点的距离为 3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A(6， ) B6，)C(3，) D3，)【解析】 抛物线的焦点到顶点的距离为 3， 3，即 p 6.p2又抛物线上的点到准线的距离的最小值为 ，p2抛物线上的点到准线的距离的取值范围为3，)【答案】 D2已知直线 ykxk 及抛物线 y22px (p0)，则( )A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直
12、线与抛物线可能没有公共点【解析】 直线 ykx kk(x1) ，直线过点(1,0)又点(1,0)在抛物线 y22px 的内部，当 k0 时，直线与抛物线有一个公共点；当 k0 时，直线与抛物线有两个公共点【答案】 C3过抛物线 y28x 的焦点作倾斜角为 45的直线，则被抛物线截得的弦长为_【解析】 由抛物线 y2 8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为 yx2，代入 y28x，得( x2) 28x，即 x212x40，x 1x 212，弦长x 1x 2p12416.【答案】 164已知 AB 是过抛物线 2x2y 的焦点的弦，若| AB|4，则 AB 的中点的纵坐标是_【解析】 设 A(x
13、1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线 2x2y ，可得 p ，14|AB|y 1y 2p4，y1y 24 ，14 154故 AB 的中点的纵坐标是 .y1 y22 158【答案】 1585如图 233，直线 l：yxb 与抛物线 C：x 2 4y 相切于点 A.图 233(1)求实数 b 的值；(2)求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程. 【导学号：25650085】【解】 (1)由 Error!得 x24x4b0，(*)因为直线 l 与抛物线 C 相切，所以 ( 4) 24( 4b) 0.解得 b1.(2)由(1)可知 b1，故方程(*)为 x24x40.解得 x2，代入 x24y，得 y1，故点 A(2,1)因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切，所以圆 A 的半径 r 就等于圆心 A 到抛物线的准线 y1 的距离即 r|1( 1)|2.所以圆 A 的方程为( x2) 2(y1) 24.
