1、2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程1.了解双曲线标准方程的推导过程.(难点)2.掌握双曲线两种标准方程的形式.(重点)基础初探教材整理 双曲线的标准方程阅读教材 P37P 38 例 1 以上部分，完成下列问题 .焦点的位置焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形标准方程 1x2a2 y2b2(a0，b0) 1y2a2 x2b2(a0，b0)焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c 之间的关系b2c 2a 21.判断正误：(1) 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线.( )x22 y23(2)在双曲线标准方程 1 中，a0，b0，且 ab.( )x2a2
2、y2b2(3)双曲线的标准方程中，a，b 的大小关系是 ab.( )【解析】 (1).方程 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线.x22 y23(2).当 ab 时方程也表示双曲线.(3).双曲线的标准方程中 a，b 的大小关系不确定.【答案】 (1) (2) (3)2.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0)， ，则 C 的方程是ca 32_.【解析】 右焦点为 F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在 x 轴上；c3.又离心率为 ，故 a2，b 2c 2a 23 22 25，ca 32故 C 的方程为 1.x24 y25【答案】 1x24 y25质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录
3、，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_小组合作型求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)过点 P ，Q ；(3，154) ( 163，5)(2)c ，经过点(5,2)，焦点在 x 轴上；6(3)与双曲线 1 有相同焦点且过点 P(2,1).x24 y22【精彩点拨】 (1)设双曲线的标准方程为 mx2ny 21(mn0)，利用待定系数法求解；(2) 已知焦点坐标，设双曲线方程为 1(0 6)，把点x2 y26 (5,2)的坐标代入求解；(3) 根据条件设出双曲线的标准方程解方程组可求.【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为
4、mx2 ny21(mn 0)，因为双曲线过点 P ，Q ，所以Error!，解得Error!，所以所求双曲线方程(3，154) ( 163，5)为 1.y29 x216(2)因为双曲线的焦点在 x 轴上，c ，所以设所求双曲线方程为6 1(0 6). 因为双曲线过点( 5,2)，所以 1，解得 5x2 y26 25 46 或 30(舍去).所以所求双曲线的标准方程是 y 21.x25(3)由题意，设双曲线方程为 1(a0 ，b0). 两双曲线有相同焦点，x2a2 y2b2a2b 2c 242.又点 P(2,1)在双曲线 1 上.x2a2 y2b2 1.4a2 1b2由、联立，得 a2b 23.
5、故所求双曲线方程为 1.x23 y23利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，不能确定时应分类讨论.(2)设方程：根据焦点位置，设方程为 1 或 1(a0，b0) ，x2a2 y2b2 y2a2 x2b2焦点不定时，亦可设为 mx2ny 21(mn0，n0 且 m0，n0， mn 时表示椭圆.(3)当 mn0 时表示圆.再练一题2.(1)双曲线 x2 1 的一个焦点是(2,0)，那么实数 k 的值为_. y2k【导学号：24830034】(2)若 kR，方程 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，则 k 的取值x2k 3 y2k
6、 2范围是_.【解析】 (1)由已知 c2， c2a 2b 2 即 1k 4，k 3.(2)由题意可知，Error! 解得 30 ，b0) 中的参数来表示三角形 PF1F2 的面积？x2a2 y2b2【提示】 在三角形 PF1F2 中，F 1F22c.由余弦定理可得F1F PF PF 2PF 1PF2cos (PF 1PF 2)22PF 1PF2(1cos )，2 21 2即 4c24a 2 2PF1PF2(1cos ) ，所以 PF1PF2 ，2b21 cos 所以 SPF1F2 PF1PF2sin .12 b2sin 1 cos 探究 3 设点 F1，F 2 是双曲线 1(a0 ，b0)的
7、两个焦点，P 是椭圆x2a2 y2b2上任意一点，则三角形 PF1F2 叫做该双曲线的焦点三角形，通过以上探究，我们解决焦点三角形问题时需要注意哪些知识？ 【提示】 要注意充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理(勾股定理)和三角形的面积公式.如图 231 所示，已知双曲线中 c 2a，F 1，F 2 为左、右焦点，P 是双曲线上的点，F 1PF260；SF 1PF212 .求双曲线的标准方程.3图 231【精彩点拨】 设出双曲线的标准方程，利用双曲线的定义、余弦定理和三角形的面积公式构建方程组，解之可得双曲线的标准方程.【自主解答】 由题意可知双曲线的标准方程为 1.由于x2a2 y2b2|
8、PF1PF 2|2a，在F 1PF2 中，由余弦定理得 cos 60 PF21 PF2 F1F22PF1PF2PF1 PF22 2PF1PF2 F1F22PF1PF2所以 PF1PF24( c2a 2)4b 2，所以 SF1PF2 PF1PF2sin 602b 2 12 32b2，3从而有 b212 ，所以 b212，c2a，结合 c2a 2b 2，得 a24.3 3所以双曲线的标准方程为 1.x24 y2121.在椭圆或双曲线中，凡涉及以两焦点和椭圆或双曲线上一点为顶点的三角形( 称为焦点三角形) 的问题，一般都可以从圆锥曲线的定义和勾股定理(或正、余弦定理) 等知识入手来解决问题.2.在解
9、题过程中，应注意到椭圆与双曲线定义的不同，配方时，一个配成(PF1 PF2)2，另一个配成(PF 1PF 2)2.再练一题3.设 P 为双曲线 x2 1 上的一点，F 1、F 2 是该双曲线的两个焦点，若y212PF1PF 232，则PF 1F2 的面积为_.【导学号：24830035】【解析】 由已知得 2a2，又由双曲线的定义得，|PF 1PF 2|2，又PF1PF232，PF16，PF 24.又 F1F22c 2 .13由余弦定理得 cos F1PF2 0.62 42 52264三角形为直角三角形. SPF1F2 6412.12【答案】 12构建体系1.双曲线 1 的焦距为_.x2m2
10、12 y24 m2【解析】 c 2m 2124m 216，c4,2c8.【答案】 82.满足条件 a2，一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为_.【解析】 由 a2，c 4，得 b2c 2a 212，又一焦点 (4,0)在 x 轴上，双曲线的标准方程为 1.x24 y212【答案】 1x24 y2123.双曲线 1 上的点到一个焦点的距离为 12，则到另一个焦点的距x225 y29离为_.【解析】 a 225， a 5，由双曲线定义可得|PF 1PF 2|10，由题意知PF112，|PF1PF 2|10，PF 222 或 2.【答案】 22 或 24.设双曲线 x2 1 的两个焦点为 F1，
11、F 2，P 是双曲线上的一点，且y28PF1PF 234，则PF 1F2 的面积等于_.【解析】 依题意 F1F26，PF 2PF 12，因为 PF1PF234，所以PF16，PF 28，所以等腰 PF1F2 的面积 S 8 8 .12 62 (82)2 5【答案】 8 55.如图 232 所示，已知定圆 F1：( x5) 2y 21，定圆 F2：(x 5)2y 24 2，动圆 M 与定圆 F1，F 2 都外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程.图 232【解】 圆 F1：( x5) 2 y21，圆心 F1(5,0)，半径 r11；圆 F2：(x5) 2y 24 2，圆心 F2(5,0)，半径 r24.设动圆 M 的半径为 R，则有|MF 1|R1，|MF 2|R4，|MF2|MF 1|310|F 1F2|.点 M 的轨迹是以 F1，F 2 为焦点的双曲线的左支，且 a ，c 5，于是 b2 c2a 2 .32 914动圆圆心 M 的轨迹方程是 1 .x294y2914 (x 32)我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_
