1、4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换1了解平面直角坐标系中的伸缩变换，能运用伸缩变化进行简单的变换2体会平面直角坐标系中的伸缩变换给图形带来的变化基础初探1横坐标的伸缩变换一般地，由Error! (k0) 所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为 k 向着 y 轴的伸缩变换( 当 k1 时，表示伸长；当 0k 1 时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 k 倍(这里( x，y)是变换前的点，(x，y ) 是变换后的点)2纵坐标的伸缩变换一般地，由Error! (k0) 所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为 k 向着 x 轴的伸缩变换( 当 k1 时，表示伸长；当 0k 1 时，表示
2、压缩)，即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 k 倍(这里( x，y)是变换前的点，(x，y ) 是变换后的点)3伸缩变换一般地，设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：Error!的作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y )，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称为伸缩变换思考探究1如果 x 轴的单位长度保持不变，y 轴的单位长度缩小为原来的 ，圆12x2y 24 的图形变为什么图形？伸缩变换可以改变图形的形状吗？那平移变换呢？【提示】 x 2y 24 的图形变为椭圆： y 21.x24伸缩变换可以改变图形的形状，但平移变换仅改变位置，不改变它的形状2如何
3、理解平面直角坐标系中的伸缩变换？【提示】 在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变 x 轴或 y 轴的单位长度，将会对图形产生影响其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的方程不发生变化如在下列平面直角坐标系中，分别作出 f(x，y)0 的图形：(1)x 轴与 y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的 k倍；(3) x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的 .第 (1)种坐标系中的意思是 x 轴1k与 y 轴上的单位长度一样，f(x ，y)0 的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的 f(x，y )0 的图形；第(2)种坐标系中的意思是如果 x 轴上的单位长度
4、保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的 ，此时 f(x，y )0 表示的图形与第(1)1k种坐标系中的图形是不同的；第(3)种坐标系中的意思是如果 y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的 ，此时 f(x，y )0 表示的图形与第1k(1)种坐标系中的图形是不同的质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_伸缩变换对下列曲线进行伸缩变换Error! (k0，且 k1)(1)ykxb；(2)(xa) 2(yb) 2r 2.【自主解答】 设 P(x，y)是变换前的点，P(x，y)是变换后的点，由题意
5、，得Error! 即Error!(1)由 yk( x) b，y kxkb，得直线 ykx b 经过伸缩变换后1k 1k的方程为 y kxkb，仍然是一条直线当 b0 时，该直线和原直线重合；当 b0 时，该直线和原直线平行(2)由( x a)2( yb) 2r 2，(x ka) 2(ykb) 2(kr) 2，得圆1k 1k(x a)2( yb) 2r 2 经过伸缩变换后的方程为(x ka)2(ykb) 2(kr) 2，它是一个圆心为( ka，kb )，半径为| kr|的圆再练一题1在同一平面直角坐标系中，将直线 x2y 2 变成直线 2xy4，求满足图象变换的伸缩变换【解】 设变换为Error
6、!，代入直线方程 2xy 4得：2xy4，即 x y2，2比较系数得：1， 4，即直线 x2y2 图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的 4 倍可得到直线 2x y 4.伸缩变换的应用曲线 y2sin 3x 变换成曲线 y3sin 2x，求它的一个伸缩变换【导学号：98990021】【思路探究】 设Error!代入 y3sin 2x，所得式再与 y2sin 3x 比较即可求 、 .【自主解答】 将变换后的曲线 y3sin 2x 改成 y3sin 2x .设伸缩变换Error! 代入 y3sin 2x；得 y3sin(2x)即 y sin(2x)，与 y2sin 3x 比较系数，3得Err
7、or!即Error!所以伸缩变换为Error!确定一个伸缩变换，实际上就是求其变换方法，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数即可再练一题2(1)圆 x2y 2a 2 经过什么样的伸缩变换，可以使方程变为 1(0 ba)?x2a2 y2b2(2)分析圆 x2y 2a 2 的一条弦所在直线和经过该弦中点的直径所在直线经过上述伸缩变换后的位置关系【解】 (1)椭圆 1 可以化为 x2 a 2，x2a2 y2b2 a2y2b2设Error!即Error!所以圆 x2y 2a 2 经过向着 x 轴方向上的伸缩变换，伸缩系数 k ，可以ba使方程变为 1.x2a2 y2b2(2)若圆 x2y
8、2a 2 的一条弦所在直线的斜率存在且不为 0，设其方程为ykxm，根据垂径定理，经过该弦中点的直径所在直线的方程为 y x.1k由 ykxm，得 y x m.所以直线 ykx m 经过变换，方ab bka ba程可变为 y x m.bka ba由 y x，得 y x，所以直线 y x 经过变换，方程可ab 1k bka 1k变为 y x.bka此时，两条直线的斜率乘积是定值 .b2a2若圆 x2y 2a 2 的弦所在直线的方程为 xn，则经过其中点的直径所在直线的方程为 y0，伸缩变换后其方程分别变为 x n，y0.此时两直线依然垂直若圆 x2y 2a 2 的弦所在直线的方程为 yn，则经过
9、其中点的直径所在直线的方程为 x0，伸缩变换后其方程分别变为 y n，x0.此时两直线依然垂ba直真题链接赏析(教材第 41 页习题 4.3 第 8 题)对下列曲线向着 x 轴进行伸缩变换，伸缩系数 k 2：(1)x24y 216；(2) x2y 24x2y10.求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线 x2y 21 变成曲线 1.x 29 y 24【命题意图】 本题主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换【解】 设变换为Error!代入方程 1，得 1.与x 29 y 24 2x29 2y24x2y 21 比较，将其变形为 x2 y21，比较系数得 3， 2.29 24Error!即将圆 x2y 21
10、 上所有点横坐标变为原来的 3 倍，纵坐标变为原来的 2 倍，可得椭圆 1.x 29 y 241直线 x4 y60 按伸缩系数 向着 x 轴的伸缩变换后，直线的方程是12_【答案】 x 8y 602直线 2x 3y0 按伸缩系数 3 向着 y 轴的伸缩变换后，直线的方程是_【答案】 2x 9y 03曲线 x2 y24 按伸缩系数 2 向着 y 轴的伸缩变换后，曲线的方程是_【导学号：98990022】【答案】 1x216 y244ycos x 经过伸缩变换Error!后，曲线方程变为_【解析】 由Error! ，得Error! ，代入 ycos x，得 ycos x，13 12即 y3cos x.12【答案】 y 3cos x2我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_
