1、3.2.2 空间线面关系的判定1能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系，能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)(重点)2向量法证明空间平行与垂直(重点、难点)3向量法证明线面平行(易错点)基础初探教材整理 向量法判定线面关系阅读教材 P101 例 1 以上的部分，完成下列问题设空间两条直线 l1，l 2 的方向向量分别为 e1，e 2，两个平面 1， 2 的法向量分别为 n1，n 2，则有下表：平行 垂直l1 与 l2 e1e 2 e1e 2l1 与 1 e1n 1 e1n 11 与 2 n1n 2 n1n 21判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)若
2、向量 n1，n 2为平面 的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行( )(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行( )(3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为 0.( )(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直( )【答案】 (1) (2) (3) (4)2设直线 l1 的方向向量为 a(3,1，2)，l 2 的方向向量为 b(1,3,0)，则直线 l1 与 l2 的位置关系是_【解析】 ab(3,1 ，2)(1,3,0)3300，a b，l 1l2.【答案】
3、 垂直3若直线 l 的方向向量为 a(1,2,3)，平面 的法向量为n(2， 4，6)，则直线 l 与平面 的位置关系是 _【解析】 n 2a，n a，又 n 是平面 的法向量，所以 l.【答案】 垂直4已知不重合的平面 ， 的法向量分别为 n1 ，n 2(12，3， 1)，则平面 与 的位置关系是_. 【导学号：09390083】( 16， 1，13)【解析】 n 13n 2，n 1 n2，故 .【答案】 平行质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 小组合作型向量法证明平行问题在正方体 ABCDA1B1C1D
4、1 中(如图 327)，设 O，O 1 分别为AC，A 1C1 的中点，求证：图 327(1)BO1OD 1；(2)BO1平面 ACD1；(3)平面 A1BC1平面 ACD1.【精彩点拨】 画 图 建 系 求 相 关 点 坐 标 求 相 关 向 量 坐 标判 断 向 量 关 系 确 定 线 面 关 系【自主解答】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 2，则有：D(0,0,0)，A(2,0,0) ， B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B 1(2，2,2) ，C 1(0,2,2)，D 1(0,0,2)，O 1(1,1,2)，O(1,1,0)(1)由上可知 (1，
5、1,2)， (1，1,2)，BO1 OD1 ， ，BO1 OD1 BO1 OD1 又直线 BO1 与 OD1 无公共点，BO 1OD1.(2)法一：由上可知， (2,2,0) ， (2,0,2)，AC AD1 ，BO1 12AC AD1 ， ， 共面，BO1 AC AD1 平面 ACD1，又 BO1平面 ACD1，BO1 BO1平面 ACD1.法二：设平面 ACD1 的一个法向量为 n(x，y,1) ，由Error!得Error!Error!n(1,1,1) n( 1，1,2)(1,1,1) 0，BO1 n.又 BO1平面 ACD1，BO1 BO1平面 ACD1.(3)法一： (2,0,2)，
6、 (2,0,2) ，BC1 AD1 ，又 BC1 与 AD1 不重合，BC1 AD1 BC1AD1，又 BC1平面 ACD1，BC1平面 ACD1.又由(1)知，BO 1平面 ACD1.BC1，BO 1平面 A1BC1，且 BC1BO 1B，平面 A1BC1平面 ACD1.法二：设平面 A1BC1 的一个法向量为 n (x，y, 1)，由Error!可求得n(1,1,1)， nn，平面 ACD1平面 A1BC1.1证明线面平行常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面(2)证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直2证明面面平行常用
7、的方法(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面(2)证明两个平面的法向量平行(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量再练一题1如图 328 所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是C1C，B 1C1 的中点，求证：MN平面 A1BD.图 328【证明】 法一：如图所示，以 D 为坐标原点，DA，DC，DD 1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 M ，N ，D(0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，(0，1，12) (12，1，1) ， (1,0,1)， (1,1,0)MN (
8、12，0，12) DA1 DB 设平面 A1BD 的一个法向量为 n(x，y ，z)，则Error!从而可得 Error!令 x1，得 y1，z 1，平面 A1BD 的一个法向量为 n(1，1，1)， n0， n.MN MN MN平面 A1BD，MN平面 A1BD.法二： ( ) ， MN C1N C1M 12C1B1 12C1C 12D1A1 D1D 12DA1 MN .MN平面 A1BD，A 1D平面 A1BD，MN 平面 A1BD.DA1 法三： ( ) ( )MN C1N C1M 12D1A1 12D1D 12DB BA 12D1A1 A1D ( ) 12DB 12BA 12D1A1
9、12A1D 12DB 12DA1 12BA DA 12DB 12DA1 12BD 12 0 ， 可用 与 线性表示，故 与 和 是共面向量，DA1 DB MN DA1 DB MN DA1 DB MN平面 A1BD，MN平面 A1BD.向量法证明垂直问题如图 329 所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD， AB AD，ACCD ，ABC60，PA图 329ABBC，E 是 PC 的中点证明：(1)AECD；(2)PD平面 ABE.【精彩点拨】 建 系求 相 关 点的 坐 标 求 相 关 向量 的 坐 标 判 断 向 量的 关 系 确 定 线 线 、线 面 关 系【自主解答】 AB，A
10、D ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设 PAABBC1，则 P(0,0,1)(1)ABC60，ABC 为正三角形，C ，(12，32，0)E .(14，34，12)设 D(0，y,0)，由 ACCD，得 0，AC CD 即 y ，则 D ，233 (0，233，0) .CD ( 12，36，0)又 ， 0，AE (14，34，12) AE CD 12 14 36 34 ，即 AECD.AE CD (2)法一：P(0,0,1) ， .PD (0，233， 1)又 (1) 0，AE PD 34 233 12 ，即 PDAE.PD AE (1,0,0)， 0.AB PD AB PDA
11、B，又 ABAE A， PD平面 ABE.法二： (1,0,0)， ，设平面 ABE 的一个法向量为AB AE (14，34，12)n( x， y，z )，则Error! 令 y2，则 z ， n (0,2， )3 3 ，显然 n.PD (0，233， 1) PD 33 n， 平面 ABE，即 PD平面 ABE.PD PD 1证明线线垂直常用的方法证明这两条直线的方向向量互相垂直2证明线面垂直常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；(2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直3证明面面垂直常用的方法(1)转化为线线垂直、线面垂直处理；(2)证明两个平面的法向量互相垂直再
12、练一题2在例 2 中，平面 ABE 与平面 PDC 是否垂直，若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由【解】 由例 2，可知 ， ，设平面 PDCCD ( 12，36，0) PD (0，233， 1)的法向量为 m(x ，y ，z) ，则Error!令 y ，则 x1，z2，即 m(1， ，2)，3 3由例 2 知，平面 ABE 的法向量为 n(0,2， )，3mn 02 2 0，m n.3 3所以平面 ABE平面 PDC.探究共研型利用向量法证明平行、垂直关系探究 1 向量法判定线面关系与传统法比较，向量法有何优点？【提示】 向量法判定线面关系与传统法比较起来，优点在于：以算代证，用定量计算代替
13、了定性分析，避免了繁琐的逻辑论证过程，对视图能力、空间想象能力要求稍低，降低了解决问题的难度探究 2 用向量方法证明平行、垂直问题的一般步骤是什么？【提示】 (1)建立空间图形与空间向量的联系；(2)通过向量运算研究平行、垂直问题；(3)根据运算结果解释相关问题探究 3 向量方法如何解决与平行、垂直有关的探究问题？【提示】 在立体几何中，经常会遇到点、线、面处在什么位置时结论成立，或某一结论成立时需要具备什么条件，或某一结论在某一条件下，某个元素在某个位置时是否成立等类似的问题这些问题都属探索性问题，解决这些问题仅凭几何手段有时会十分困难，我们借助向量将“形”转化为“数” ，把点、线、面的位置
14、数量化，通过对代数式的运算就可得出相应的结论这样可以把许多几何问题进行类化，公式化，使问题的解决变得有“法”可依，有路可寻如图 3210 所示，四棱锥 SABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P 为侧棱 SD 上的点2图 3210(1)求证：AC SD.(2)若 SD平面 PAC，则侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE平面 PAC.若存在，求 SEEC 的值；若不存在，试说明理由【精彩点拨】 根据条件建立空间直角坐标系，把空间线面的位置关系问题转化为向量间的关系问题，通过向量的计算得出结论【自主解答】 (1)证明：连结 BD，设 AC 交 BD 于 O，则 ACBD.
15、由题意知 SO平面 ABCD.以 O 为坐标原点， ， ， 分别为 x 轴、y 轴、OB OC OS z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，设底面边长为 a，则高 SO a，62于是 S ，D ，B ，C ， (0，0，62a) ( 22a，0，0) ( 22a，0，0) (0，22a，0) OC ， ，则 0，故 OCSD，从而 ACSD.(0，22a，0) SD ( 22a，0， 62a) OC SD (2)棱 SC 上存在一点 E 使 BE平面 PAC.理由如下：由已知条件知 是平面 PAC 的一个法向量，且 ， DS DS ( 22a，0，62a) CS ， ，设 t ，则 t(0，
16、 22a，62a) BC ( 22a，22a，0) CE CS BE BC CE BC ，CS ( 22a，22a1 t，62at)而 0，BE DS a2 a2t0， t .即当 SEEC21 时， .12 32 13 BE DS 而 BE 不在平面 PAC 内，故 BE平面 PAC.再练一题3在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACBC，D，E 分别是线段 BC，CC 1 的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M，使直线 DE 平面 A1MC？请证明你的结论图 3211【解】 假设在线段 AB 上存在一点 M，使直线 DE平面 A1MC，建立如图所示的空间直角坐标系设 ACa，BCb，AA
17、 1c ，则D ，E ，A(a,0,0) ，A 1(a,0，c)，B(0，b,0)(0，b2，0) (0，0，c2)设 M(x0，y 0,0)，且 0x 0a,0y 0b，则 ， (a,0，c)， (x 0，y 0,0)，DE (0， b2，c2) CA1 CM 设平面 A1MC 的法向量为 n(x，y ，z )，则Error!令 x1，则 z ，y ，ac x0y0n .(1， x0y0， ac)若 DE平面 A1MC，则 n 0，即 bx0ay 00.DE bx02y0 a2又 ，即(x 0a， y0,0)(x 0，by 0,0)，AM MB Error!解得 bx0ay 0ab0.由解得
18、 x0 ，y 0 ，即 M ，a2 b2 (a2，b2，0)所以存在点 M 为线段 AB 的中点时，使 DE平面 A1MC.构建体系1若平面 ， 垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是_(填序号 )n 1(1,2,1)，n 2(3,1,1)；n 1(1,1,2)，n 2(2,1,1)；n 1(1,1,1) ，n2( 1,2,1)；n 1(1,2,1)，n 2(0，2，2)【解析】 两个平面垂直时，其法向量也垂直，只有中的两个向量垂直【答案】 2已知 a(x, 2，4)，b(1，y,3)，c(1 ，2，z )，且 a，b，c 两两垂直，则( x，y ，z)_.【解析】 由题意，知Error!
19、解得 x64 ，y 26， z17.【答案】 (64，26，17)3两不重合直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1(1,0 ，1)，v 2(2,0,2)，则 l1 与 l2 的位置关系是_【解析】 v 22v 1，v 1 v2，又 l1 与 l2 不重合，l 1l2.【答案】 平行4下列命题中，正确的是_(填序号)若 n1，n 2 分别是平面 ， 的一个法向量，则 n1n 2；若 n1，n 2 分别是平面 ， 的一个法向量，则 n 1n20；若 n 是平面 的一个法向量， a 与平面 共面，则 na0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直【解析】 一定正确，中两平面有可能重合
20、【答案】 5如图 3212, 在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面 ABCD，PD DC ，E 为 PC 的中点，EFBP 于点 F.求证：(1)PA平面 EDB；(2)PB平面 EFD.图 3212【证明】 以 D 为坐标原点，DA，DC，DP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设 DCPD 1，则 P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0) ，E .(0，12，12) (1,1，1)， ， ，设 F(x，y，z)，则PB DE (0，12，12) EB (1，12， 12)(x ，y，z1)，
21、PF .EF (x，y 12，z 12) ，EF PB x 0，即 xyz0.(y 12) (z 12)又 ，可设 ，PF PB PF PB x ， y，z1. 由可知，x ，y ，z ，13 13 23 .EF (13， 16，16)(1)设 n1(x 1，y 1，z 1)为平面 EDB 的一个法向量，则有Error!Error!取 z11，则 n1( 1,1，1) (1,0，1)， n10.PA PA 又PA平面 EDB， PA平面 EDB.(2)设 n2(x 2，y 2，z 2)为平面 EFD 的一个法向量，则有Error!Error!取 z21，则 n2( 1，1,1)， n 2.PB n2，PB平面 EFD.PB 我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)
