1、3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程1理解直线的方向向量，了解直线的向量方程2会用向量的方法证明线线、线面、面面平行(重点)3会用向量证明两条直线垂直，会利用向量求两条直线所成的角(重点、难点)基础初探教材整理 1 用向量表示直线或点在直线上的位置阅读教材 P95P 96“例 1”，完成下列问题1.给定一个定点 A 和一个向量 a，再任给一个实数 t，以 A 为起点作向量t a ，这时点 P 的位置被 t 的值完全确定当 t 在实数集 R 中取遍所有AP 值时，点 P 的轨迹是通过点 A 且平行于向量 a 的一条直线 l.反之，在直线 l 上任取一点 P
2、，一定存在一个实数 t，使 ta.向量方程 通常称作直线 l 以 t 为AP 参数的参数方程向量 a 称为该直线的方向向量图 3212对空间任一个确定的点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在唯一的实数 t，满足等式 ta. OP OA 如果在 l 上取 a，则式可化为AB (1t) t . OP OA OB 或或都叫做空间直线的向量参数方程，它们都与平面的直线向量参数方程相同判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)直线 l 的方向向量的基线与 l 一定重合( )(2)直线 l 的方向向量 a 一定是单位向量 ( )(3)已知 A，B，P 三点共线，O 为空间中任一点，若 x y ，则
3、OP OA OB xy1.( )(4)若点 A(1,0,1)，B (1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的向量参数方程可以为t .( )AP AB 【答案】 (1) (2) (3) (4)教材整理 2 用向量证明直线、平面间的平行关系阅读教材 P97P 98内容，完成下列问题1设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2，则由向量共线的条件，得l1l 2 或 l1 与 l2 重合v 1 v2.2已知两个不共线向量 v1，v 2 与平面 共面，一条直线 l 的一个方向向量为 v，则由共面向量定理，可得l 或 l 在 内存在两个实数 x，y，使 vxv 1 yv2.3已知两个不共线
4、的向量 v1，v 2 与平面 共面，则由两平面平行的判定与性质，得 或 与 重合v 1 且 v2.1直线 l 的方向向量为 a，平面 内两共点向量 ， ，下列关系中能表OA OB 示 l 的是( )Aa BakOA OB Ca p D以上均不能OA OB 【答案】 D2若 a(4 2m，m1，m1)，b(4,2 2m,2 2m)分别为直线 l1，l 2 的方向向量，且 l1l 2，则实数 m_.【解析】 l 1l2，ab， ，解得 m3.4 2m4 m 12 2m当 m1 时，也适合题意，故 m1 或 3.【答案】 1 或 3教材整理 3 利用向量证明两直线垂直及求夹角阅读教材 P99P 10
5、1内容，完成下列问题1设直线 l1 和 l2 所成的角为 ，方向向量分别为 v1 和 v2，则l1l 2v 1v 2，cos |cos v 1，v 2|.2求两直线所成的角应注意的问题在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量 v1，v 2，所以cosv 1，v 2 .但要注意，两直线的夹角与v 1，v 2并不完全相同，v1v2|v1|v2|当v 1，v 2为钝角时，应取其 补角作为两直线的夹角1设 l1 的方向向量 a(1,3，2)，l 2 的方向向量 b(4，3，m )，若l1l 2，则 m 等于_【解析】 l 1l2，1(4)33( 2)m0，m .52【答案】 522若直线
6、l1 的方向向量与 l2 的方向向量的夹角是 150，则 l1 与 l2 这两条异面直线所成的角等于_【解析】 由异面直线所成角的定义可知，l 1与 l2所成的角为 18015030.【答案】 30质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_小组合作型确定直线上点的位置已知 O 是坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别为 A(3,4,0)，B (2,5,5)，C(0,3,5)(1)若 ( )，求 P 点的坐标；OP 12AB AC (2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 APPB12，求 P 点的坐标【精彩点拨】
7、(1)由条件先求出 ， 的坐标，再利用向量的运算求 PAB AC 点的坐标(2)先把条件 APPB12 转化为向量关系，再运算【自主解答】 (1) (1,1,5)， (3，1,5)AB AC ( ) (2,2,0)(1,1,0)OP 12AB AC 12P 点的坐标为(1,1,0)(2)由 P 是线段 AB 上的一点，且 APPB12，知 .AP 12PB 设点 P 的坐标为( x，y，z)，则 (x3 ，y4，z)， (2x, 5y,5z)，AP PB 故(x3，y 4，z) (2x,5y,5z)，12即Error!得Error!因此 P 点的坐标为 .(83，133，53)此类问题常转化为
8、向量的共线、向量的相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点的坐标的方程或方程组求解即可再练一题1如图 322，已知点 A(2,4,0)，B(1,3,3)，以 的方向为正向，在直线 ABAB 上建立一条数轴，P，Q 为轴上的两点，且分别满足条件：图 322(1)APPB12；(2)AQQB2.求点 P 和点 Q 的坐标【解】 (1)由已知，得 2 ，PB AP 即 2( )，OB OP OP OA .OP 23OA 13OB 设点 P 坐标为( x，y，z )，则上式换用坐标表示，得(x， y， z) (2,4,0) (1,3,3)，23 13即 x ，y ，43 13 53 83
9、33 113z011.因此，P 点的坐标是 .(53，113，1)(2)因为 AQQB2，所以 2 ，AQ QB 2( )，OQ OA OB OQ 2 ，OQ OA OB 设点 Q 的坐标为(x ，y ，z )，则上式换用坐标表示，得(x，y，z) (2,4,0)2(1,3,3)(0,2,6) ，即 x0，y2，z6.因此，Q 点的坐标是(0,2,6)利用空间向量证明垂直问题在棱长为 a 的正方体 OABCO1A1B1C1 中， E，F 分别是 AB，BC 上的动点，且 AEBF ，求证：A 1FC 1E. 【导学号：15460071】【精彩点拨】 分析题意 建立空间直角坐标系 表示出 A1，
10、F，C 1，E 的坐标 表示出向量 与A1F 0A 1FC1EC1E A1F C1E 【自主解答】 以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a) ，C 1(0，a，a)设 AEBFx ，则 E(a，x,0) ， F(ax，a,0) ( x， a，a)，A1F ( a，x a，a)C1E (x ，a，a)( a，xa，a)A1F C1E axaxa 2a 20， ，即 A1FC1E.A1F C1E 利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为 0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标，进而求直线的方向向量再练
11、一题2正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为 AC 的中点，证明：图 323(1)BD1AC；(2)BD1EB 1.【证明】 以 D 为原点，DA，DC，DD 1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，设正方体的棱长为 1，则 B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0) ，C(0,1,0)，E ，B 1(1,1,1)(12，12，0)(1) ( 1，1,1)，BD1 (1,1,0) ，AC (1)( 1) (1)1100，BD1 AC ，BD 1AC.BD1 AC (2) ( 1，1,1)，BD1 ，EB1 (12，12，1) ( 1)
12、( 1) 110，BD1 EB1 12 12 ，BD 1EB1.BD1 EB1 求异面直线所成的角如图 324，在三棱锥 VABC 中，顶点 C 在空间直角坐标系的原点处，顶点 A，B，V 分别在 x 轴、y 轴、z 轴上， D 是线段 AB 的中点，且ACBC2，VDC .当 时，求异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值3图 324【精彩点拨】 确定 A，C，V，D 的坐标 求向量 与 AC VD 计算 cos ， 的大小，并转化为 AC 与 VD 夹角的余弦值AC VD 【自主解答】 由于 ACBC2，D 是 AB 的中点，所以 C(0,0,0)，A (2,0,0)，B(0,2,0)，D
13、(1,1,0)当 时，在 RtVCD 中，CD ，V(0,0, )，3 2 6 (2,0,0)， (1,1， )，AC VD 6cos ， .AC VD AC VD |AC |VD | 2222 24异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值为 .241几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可2由于两异面直线夹角 的范围是 ，而两向量夹角 的范围是0， ，(0，2故应有 cos |cos |，求解时要特别注意再练一题3在长方体 ABCDA1B1C1
14、D1 中，已知 DADC 4，DD 13，求异面直线A1B 与 B1C 所成角的余弦值【解】 以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD 1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则 A1(4,0,3)，B(4,4,0)，B 1(4,4,3)，C (0,4,0)，得 (0,4，3)， (4,0，3)A1B B1C 设 与 的夹角为 ，则 cos ，A1B B1C A1B B1C |A1B |B1C | 925故 与 的夹角的余弦值为 ，A1B B1C 925即异面直线 A1B 与 B1C 所成角的余弦值为 .925探究共研型利用空间向量证明线面、面面平行探究 1 利用待定
15、系数法求平面法向量的解题步骤是什么？【提示】 探究 2 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，DA2 ，DC3，DD 14，M，N，E，F 分别为棱 A1D1，A 1B1，D 1C1，B 1C1 的中点求证：平面 AMN平面 EFBD.【提示】 法一 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2,0,0)，B (2,3,0)，M(1,0,4) ，N ，E ，F(1,3,4)(2，32，4) (0，32，4) ，MN (1，32，0) ，EF (1，32，0)(1,0,4)，AM (1,0,4)BF ， .MN EF AM BF MNEF，AMBF.MN平面 EFBD，AM 平面 EFBD.又MN
16、 平面 AMN，AM平面 AMN，且 MNAM M，平面 AMN平面 EFBD.法二 由法一可知，A(2,0,0)，M (1,0,4)，N ，D (0,0,0)，(2，32，4)E ，F(1,3,4)，则 (1,0,4) ，(0，32，4) AM ， ， (1,3,4) AN (0，32，4) DE (0，32，4) DF 设平面 AMN，平面 EFBD 的法向量分别为 n1(x 1，y 1，z 1)，n2( x2，y 2，z 2)，则Error!即Error!令 x11，得 z1 ，y 1 .14 23又Error!即Error!令 y21，得 z2 ，x 2 .38 32n1 ，n 2 ，
17、(1， 23，14) (32， 1，38)n1 n2，即 n1n2，23平面 AMN平面 EFBD.如图 325，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，O 是 B1D1 的中点，求证：B 1C平面 OC1D.图 325【精彩点拨】 证明线面平行，可用平面内的一组基底表示直线，然后证明直线不在平面内【自主解答】 设 a， b， c，DA DC DD1 则 ac， bc， c (ab)CB1 DC1 DO DD1 D1O 12设存在实数 x，y ，使得 x y 成立，CB1 DC1 DO 则 acx(b c)y c 12a b a b(xy) c.y2 (x y2)a，b， c 不共线，Er
18、ror!解得Error! 2 ，CB1 DC1 DO 即向量 ， ， 共面CB1 DC1 DO 向量 不在 ， 所确定的平面 OC1D 内，CB1 DC1 DO B1C平面 OC1D.1利用空间向量证明线面平行一般有三种方法方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直2利用空间向量证明面面平行，求出两平面的法向量，若两法向量是共线向量，则可判定两平面平行再练一题4.在如图 326所示的多面
19、体中，EF 平面AEB， AEEB ，ADEF，EFBC，BC2AD 4，EF3，AE BE2，G是 BC 的中点，求证：AB平面 DEG.图 326【证明】 EF平面 AEB，AE平面 AEB，BE平面 AEB，EFAE，EF BE.又AE EB，EB，EF，EA 两两垂直以点 E 为坐标原点，EB ， EF，EA 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，A(0,0,2) ，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)，(0,2,2)， (2,2,0)， (2,0，2)ED EG AB 设平面 DEG 的法向量为 n(x
20、，y ，z )，则Error!即Error!令 y1，得 z1，x 1，则 n(1,1，1)， n2020，即 n.AB AB AB平面 DEG，AB平面 DEG.构建体系1给定下列命题：若 n1，n 2 分别是平面 ， 的法向量，则n1n 2；若 n1， n2 分别是平面 ， 的法向量，则 n 1n20；若 n 是平面 的法向量，且向量 a，则 an0 ；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直其中正确命题的个数是( )A1 B2 C3 D4【解析】 正确，中由 ，得 n1n2.【答案】 C2.如图 327，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA 12AB ，则异面直线A1B
21、 与 AD1 所成角的余弦值为( )图 327A. B15 25C. D35 45【解析】 以 D 为坐标原点，DA，DC，DD 1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz(图略)，设 AB1.则 B(1,1,0)，A 1(1,0,2)，A(1,0,0)，D 1(0,0,2)， (0,1，2)，A1B (1,0,2)，AD1 cos ， A1B AD1 A1B AD1 |A1B |AD1 | ， 455 45异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为 .45【答案】 D3在直角坐标系 Oxyz 中，已知点 P(2cos x1,2cos 2x 2,0)和点 Q(cos x
22、，1,3) ，其中 x0 ， ，若直线 OP 与直线 OQ 垂直，则 x 的值为_. 【导学号：15460072】【解析】 由 OPOQ，所以 0.OP OQ 即(2cos x1)cos x(2cos 2x2)(1)030.cos x0 或 cos x .12x0，x 或 x .2 3【答案】 或2 34直线 l1 的方向向量为 v1(1,0，1)，直线 l2 的方向向量为v2( 2,0，2)，则直线 l1 与 l2 的位置关系是_ 【解析】 v 1v2(1,0， 1)(2,0，2)0，v1v2，l 1l2.【答案】 垂直5在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，求证：平面 A1BD平面 CB
23、1D1.图 328【证明】 如图，分别以 AB，AD，AA 1为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 A1(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，B 1(1,0,1)，C(1,1,0)，D 1(0,1,1)，(1,0，1)，A1B (1,0，1)，D1C (1,1,0)，B1D1 (1,1,0)，BD ， ，A1B D1C B1D1 BD A1BD1C，B 1D1BD.又D 1C平面 CB1D1，A 1B平面 CB1D1，A1B平面 CB1D1，同理 BD平面 CB1D1.又A 1BBDB，平面 A1BD平面 CB1D1.我还有这些不足：(1)_(2
24、)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1l 1 的方向向量为 v1(1,2,3)，l 2 的方向向量 v2(，4,6)，若 l1l 2，则( )A1 B2 C3 D4【解析】 l 1l2，v 1v2，则 ， 2.1 24【答案】 B2若 ，则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是( )AB CD CE A相交 B平行C在平面内 D平行或在平面内【解析】 ， ， ， 共面，则 AB 与平面 CDE 的位AB CD CE AB CD CE 置关系是平行或在平面内【答案】 D3已知 A(0,1,1)，B(2， 1,0)，C(3,5,7)，D(1
25、,2,4)，则直线 AB 与直线 CD所成角的余弦值为( )A. B52266 52266C. D52222 52222【解析】 (2 ，2，1) ， ( 2，3，3)，AB CD cos ， ，AB CD AB CD |AB |CD | 5322 52266直线 AB，CD 所成角的余弦值为 .52266【答案】 A4在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，若 E 为 A1C1 的中点，则直线 CE 垂直于( )AAC BBDCA 1D DA 1A【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为 1.则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C (0,1,0)，D(0,0,0)，A 1(
26、1,0,1)，C 1(0,1,1)，E ，(12，12，1) ，CE (12， 12，1)(1,1,0) ， (1，1,0)，AC BD (1,0 ，1)， (0,0，1)A1D A1A ( 1) (1) 010，CE BD.CE BD (12) ( 12)【答案】 B5如图 329，空间正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M ，N 分别是 CD，CC 1 的中点，则异面直线 A1M 与 DN 所成角的大小是( )图 329A. B6 4C. D3 2【解析】 以 D 为原点，DA，DC，DD 1所在直线为坐标轴建系，则 ， ，A1M ( 1，12， 1) DN (0，1，12)cos ，
27、0.A1M DN A1M DN |A1M |DN | ， .A1M DN 2【答案】 D二、填空题6已知 O 为坐标原点，四面体 OABC 中，A(0,3,5)，B (1,2,0)，C(0,5,0) ，直线 ADBC ，并且 AD 交坐标平面 xOz 于点 D，则点 D 的坐标为_【解析】 D平面 xOz， 设 D(x,0，z)，则 (x，3，z5)， (1,3,0)AD BC ， ，AD BC AD BC (x，3，z5)(1,3,0)，Error!即Error!点 D 的坐标为 (1,0,5)【答案】 (1,0,5)7在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M ， N 分别为
28、 A1B1，BB 1 的中点，则异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是_. 【导学号：15460073】【解析】 依题意，建立如图所示的坐标系，则 A(1,0,0)，M ，C(0,1,0)，N ，(1，12，1) (1，1，12) ， ，AM (0，12，1) CN (1，0，12)cos ， ，AM CN 1252 52 25故异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 .25【答案】 258设点 C(2a1，a1,2)在点 P(2,0,0)，A(1，3,2) ，B(8，1,4)确定的平面上，则 a_.【解析】 ( 1，3,2) ， (6，1,4)， (2a1，a1,2)，PA PB P
29、C A，B，C ， P 四点共面设 x y ，则(2a1，a1,2)(x 6y， 3xy,2x 4y)，PC PA PB Error!解得 a16.【答案】 16三、解答题9已知 O，A，B ，C ，D，E，F，G，H 为空间的 9 个点(如图 3210所示) ，并且 k ， k ， k ， m ， m .求证：OE OA OF OB OH OD AC AD AB EG EH EF 图 3210(1)A，B，C，D 四点共面， E，F，G，H 四点共面；(2) ；AC EG (3) k .OG OC 【证明】 (1)由 m ， m ，知 A，B ，C，D 四点共AC AD AB EG EH E
30、F 面，E， F，G ，H 四点共面(2) m m( )EG EH EF OH OE OF OE k( )km( )k kmOD OA OB OA AD AB k( m )k ，AD AB AC .AC EG (3)由(2)知 k kOG EG EO AC AO k( )k .AC AO OC k .OG OC 10如图 3211所示，直三棱柱 ABCA1B1C1，底面 ABC 中，CACB1，BCA90，棱 AA12，N 是 A1A 的中点图 3211(1)求 BN 的长；(2)求异面直线 BA1 与 CB1 所成角的余弦值【解】 如图所示，以 C 为原点建立空间直角坐标系(1)依题意得 B
31、(0,1,0)，N(1,0,1)| | ，BN 1 02 0 12 1 02 3BN 的长为 .3(2)依题意得 A1(1,0,2)，B (0,1,0)，C(0,0,0)，B 1(0,1,2)， (1，1,2)， (0,1,2)，BA1 CB1 3.BA1 CB1 又| | ，| | ，BA1 6 CB1 5cos ， BA1 CB1 BA1 CB1 |BA1 |CB1 | .3010异面直线 BA1与 CB1所成角的余弦值为 .3010能力提升1已知直线 l1 的方向向量 a(2,4，x) ，直线 l2 的方向向量 b(2，y, 2)，若|a|6，且 ab，则 xy 的值是( )A3 或 1
32、 B3 或1C 3 D1【解析】 依题意，得Error!解得Error!或Error! xy1 或3.【答案】 A2如图 3212，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 AB BB1，则 AB1 与2C1B 所成角的大小为( )图 3212A60 B90C105 D75【解析】 取 AC 的中点 D，建立如图所示的坐标系，设 ABa，则 B，C 1 ，A ，B 1 ，(32a，0，0) (0，a2，22a) (0， a2，0) ( 32a，0，22a)cos ， AB1 C1B AB1 C1B |AB1 |C1B | .( 32a，a2，22a)( 32a)2 (a2)2 ( 22a)2(
33、32a， a2， 22a)( 32a)2 ( a2)2 ( 22a)20.AB1与 C1B 所成角为 90.【答案】 B3已知 A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，5)，点 P(x，1,3)在平面 ABC 内，则 x_. 【导学号：15460074】【解析】 ( 2,2，2) ， (1,6，8)，AB AC (x 4， 2,0)，由题意知 A，B，C，P 四点共面，AP ( 2 ， 2，2 )(，6 ， 8)AP AB AC (2 ， 26 ， 28 )Error!Error!而 x42 ，x 11.【答案】 114.如图 3213，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AC3，BC
34、4，AB5，AA 14.图 3213(1)求证：AC BC 1；(2)在 AB 上是否存在点 D，使得 AC1CD?【解】 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AC，BC，CC 1两两垂直，以 C 为坐标原点，直线CA，CB，CC 1分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，C 1(0,0,4)，B(0,4,0)，B 1(0,4,4)(1)证明： (3,0,0)， (0，4,4)，AC BC1 0. .AC BC1 AC BC1 ACBC1.(2)假设在 AB 上存在点 D，使得 AC1CD，设 (3，4，0)，其中 0,1，AD AB 则 D(33 ，4，0)，于是 (33，4，0)，CD (3,0,4)，且 AC1CD，AC1 9 90，得 1.在 AB 上存在点 D，使得 AC1CD，且这时点 D 与点 B 重合.
