1、计算题规范练 31天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了 LMCX3 双星系统，它由可见星 A 和不可见的暗星 B 构成两星均可视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B 围绕两者连线上的 O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示引力常量为 G，由观测结果能够得到可见星 A 的速率 v 和运行周期 T.(1)可见星 A 所受暗星 B 的引力 FA可等效成位于 O 点处的质量为 m的星体( 可视为质点)对它的引力，设 A 和 B 的质量分别为m1、 m2，试求 m(用 m1、m 2 表示)(2)求暗星 B 的质量 m2 与可见星 A 的速率 v、运行周期 T 和质量 m1 之间的关系
2、式解析：(1) 设 A、B 的圆轨道半径分别为 r1、r2，角速度均为 ，由双星所受的向心力大小相等，可得 m12r1m 22r2，设 A、B 之间的距离为 L，则 Lr 1r 2，联立可得 L r1，m1 m2m2由万有引力定律得，双星间的引力F G G ，m1m2L2 m1m32m1 m22r21由题意，将此引力等效成在 O 点处的质量为 m的星体对可见星 A 的引力，则有：F Gm1mr21解得 m .m32m1 m22(2)对可 见星 A，有 G m 1 ，m1mr21 v2r1可见星 A 的轨道半径 r1 ，vT2联立解得 .m32m1 m22 v3T2G答案：(1) (2) m32
3、m1 m22 m32m1 m22 v3T2G2如图所示，直角边长为 0.4 m 的等腰直角斜面体 AOB 固定在水平地面上，C 为斜面的中点一小球从 C 点正上方与 A 等高的位置自由落下与斜面碰撞后做平抛运动，不计碰撞时的能量损失g 取 10 m/s2.(1)求小球从开始下落到落到水平地面上所用的时间(2)以 OB 为 x 轴，OA 为 y 轴，建立 xOy 坐标系小球从坐标为(x， y)处自由下落，与斜面碰撞一次后落到 B 点，写出 y 与 x 的关系式解析：(1) 自由下落至 C 点过程，则有： gt ，h2 12 21代入数据解得：t 10.2 s，平抛过程下落高度也为 ，h2故下落运
4、动的时间：t2t 10.4 s.(2)由释 放点落至斜面过程，设落至斜面时的速度为 v，则有：v2 2gy (hx)，平抛运动过程设运动时间为 t，则有：hx gt 2，hxvt，12联立消去 t解得：y x (0x0.4)54 12答案：(1)0.4 s (2)y x (0x0.4)54 123如图，一半径为 R 的圆表示一柱形区域的横截面(纸面)在柱形区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场，一质量为 m、电荷量为 q 的粒子沿图中直线从圆上的 a 点射入柱形区域，从圆上的 b 点离开该区域，离开时速度方向与直线垂直圆心 O 到直线的距离为R.现将磁场换为平行于纸面且垂直于直线的匀强电场，同一粒
5、子以35同样速度沿直线从 a 点射入柱形区域，也从 b 点离开该区域若磁感应强度大小为 B，不计重力，求电场强度的大小解析：粒子在磁场中做圆周运动设圆周的半径为 r，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得 qvBm ，v2r式中 v为粒子在 a 点的速度过 b 点和 O 点作直线的垂线，分别与直线交于 c 点和 d 点由几何关系知，线段 、 和过 a、b 两点的圆弧轨迹的两条半径(未画出)ac bc围成一正方形因此 r，ac bc设 x，由几何关系得 Rx，cd ac45 R ，bc35 R2 x2联立式得 r R.75再考虑粒子在电场中的运动设电场强度的大小为 E，粒子在电场中做类平抛运动，设其加速度大小为 a，由牛顿第二定律和带电粒子在电场中的受力公式得 qEma粒子在电场方向和直线方向运动的距离均为 r，由运动学公式得r at212rvt 式中 t 是粒子在电场中运动的时间联立式得 E.14qRB25m答案：14qRB25m
