1、唐山市 20112012 学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一、选择题：A 卷：BADBA ACCDD ACB 卷：CAADD ADBCB AC二、填空题：（13）15 （14）4 （15）3 （16）n2 n三、解答题：（17）解：（）由 cosAsin C，得 cosAcos ( C )，2因为 A (0， )， C ( ， )，2 2 2 2所以 A C，或 AC ，2 2若 A C，则 AC ，B ，这与 cosB 矛盾2 2 2 223所以 AC ( AB) ，2 2即 2A B，5 分2所以 cos2Asin B ，1 cos2B13即 12sin 2A ，13因为 sinA0
2、，所以 sinA 8 分33（）由正弦定理，有 ，ACsinB BCsinA所以 AC 12 分BCsinBsiA 33（18）解：（）由抽样方法知，被抽取的男生人数为 250 25，45450被抽取的女生人数为 200 202 分45450（）男生甲和女生乙被抽到的概率均为 0.1，所以男生甲与女生乙至少有 1 人被抽到的概率P1(1 0.1) 20.197 分（）由（）知，m25(386)8，n20(2 55)8，据此估计男生平均分为 81.8，653 758 858 95625女生平均分为 83；652 755 858 95520这 450 名学生的平均分数为82.3312 分81.82
3、5 832045（19）解：（）连结 AC 交 BD 于 F，连结 EF，由 ABCD 是平行四边形，知 F 为 AC 的中点，又 E 为 SC 的中点，所以 SAEF，SA 平面 BDE，EF 平面 BDE，SA平面 BDE3 分（）由 AB2，AD ，BAD30 ，及余弦定理得3取 BD2AB 2AD 22ABADcos BAD 1，AD 2BD 2AB 2，ADBDSD平面 ABCD，AD 平面 ABCD，ADSD，AD平面 SBD，又 SB平面 SBD，ADSB 6 分ACBDESFx yz（）分别以 DA、DB、DS 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，则B(0
4、，1，0) ，C ( ，1，0)，S (0，0，2)，E ( ，1 )332 12m(0，0，1) 是面 BCD 的一个法向量，设 n(x，y，z )是面 BDE 的一个法向量，则即nDB 0，nDE 0， ) y 0， 32x 12y z 0， )因此可取 n(2，0， )10 分3cosm，n ，mn|m|n| 37 217所以二面角 E-BD-C 的余弦值为 12 分217（20）解：（）由题设，得 1， 4a2 1b2且 ， a2 b2a 22由、解得 a26，b 23，椭圆 C 的方程为 1 3 分x26 y23（）设直线 MP 的斜率为 k，则直线 MQ 的斜率为k，假设PMQ 为
5、直角，则 k(k) 1，k 1若 k1，则直线 MQ 方程 y1(x2)，与椭圆 C 方程联立，得 x24x40，该方程有两个相等的实数根2，不合题意；同理，若 k1 也不合题意故PMQ 不可能为直角 6 分（）记 P(x1，y 1)、Q (x2，y 2)设直线 MP 的方程为 y1k( x2) ，与椭圆 C 的方程联立，得(12k 2)x2(8 k24k)x 8k 28k40，2，x 1 是该方程的两根，则2x 1 ，x 1 8k2 8k 41 2k2 4k2 4k 21 2k2设直线 MQ 的方程为 y1k(x2)，同理得 x2 9 分 4k2 4k 21 2k2因 y11k(x 1 2)
6、，y 21k(x 22)，故 kPQ 1，y1 y2x1 x2 k(x1 2) k(x2 2)x1 x2 k(x1 x2 4)x1 x28k1 2k28k1 2k2因此直线 PQ 的斜率为定值 12 分（21）解：（）f (x)2(x a)e x(xa) 2ex(xa)x(a2)e x2 分令 f(x)0，得 x1a2，x 2a当 x 变化时，f (x)、f (x)的变化如下：x (，a2) a2 (a2，a) a (a，)f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以f(x)的单调递增区间是(，a2) ，(a，) ，单调递减区间是(a2，a) 6 分（）由（）得f (x)极大 f (a2)
7、 4e a2 （1）当 a1 时，f (x)在(，1 上的最大值为 f(a2)或 f(1)，由 解得1a1；a1，f(a 2) 4ea 24e，(1) (a 1)2e4e， )（2）当 a21a，即 1a3 时，f (x)在(，1 上的最大值为 f(a2)，此时 f(a2) 4ea2 4e 32 4e；（3）当 a21，即 a3 时，f (1)(a1) 2e4e，f (x) 4e 不恒成立综上，a 的取值范围是1， 3 12 分（22）证明：由切割线定理，有 BP2BMBA ，CP 2CNCA 2 分因为 P 是 BC 的中点，所以 BMBACNCA ，又点 N 平分 AC，所以 BM(BMA
8、M)2CN 2，6 分因为 CN2BM，所以 BM(BMAM) 8BM 2，所以 AM7BM10 分（23）解：在 10cos 的两边同乘以 ，得 210cos ，则曲线 C2 的直角坐标方程为 x2y 210x，3 分将曲线 C1 的参数方程代入上式，得 (6 t)2 t210 (6 t)，32 14 32整理，得 t2 t240，3设这个方程的两根为 t1，t 2，则 t1t 2 ，t 1t224，3所以|AB|t 2t 1| 3 10(t1 t2)2 4t1t2 11分（24）解：不等式 f(x)ax 即 af (x)xf(x)x 3 分3 x，x 0，x 3 0 x 3，3x 3，x 3 )当 x0 时，f (x)x 的取值范围是 (3，)；当 0x3 时，f (x)x 的取值范围是 3，6)；当 x3 时，f (x)x 的取值范围是 6，)所以 f(x)x 的取值范围是3，) ，因此，使不等式 f(x)ax 恒成立的 a 的取值范围是(，3)10 分
