1、湖南省五市十校教研教改共同体 2019届高三 12月联考理科数学本试卷共 4页。全卷满分 150分，考试时间 120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知 是虚数单位，则 （ ）i21iA. B. C. D.1ii12i12i2.
2、设集合 ， ，则 （ ）02xABxlg(3)yABA. B.x32 x1C. D. 23.已知向量 ， 满足 ， ， ， （ ）ab12b()0abaA. B. C. D.65234.已知数列 满足 ， ， ，则 （ na12()nna2461a359a16a）A. B. C. D.6785.已知 ， 分别是三棱锥 的棱 ， 的中点， ， ， ，EFPABCP6ABPC3EF则异面直线 与 所成的角为（ ）ABA. B. C. D.120453006.只蚂蚁在三边长分别为 ， ， 的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任6810意一个顶点的距离不超过 的概率为（ ）A. B. C. D
3、.244812187.在直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点， 垂直xOy2:4CyxFlPCPQ于点 ， ， 分别为 ， 的中点，直线 与 轴交于点 ，若 ，则lQMNPQFMNxR60NF（ ）RA. B. C. D.232338.函数 的部分图像大致为（ ）1sinxeyA. B.C. D.9.算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.如图所示程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的 的值为 ，则输出的 的值为（
4、）a4mA. B. C. D.1935671310.已知正实数 ， ， 满足 ，则当 取得最大值时， 的最abc2290abcabc12abc大值为（ ）A. B. C. D.3941011.已知 ， ， 是双曲线 上的三个点，直线 经过原点 ，ABC2(0,)xyabABO经过右焦 ，若 ，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）FA3FCA. B. C. D.10252132312.设 是奇函数 的导函数，当 时， ，则使得()fx()fxR0xln()xffx成立的 的取值范围是（ ）280fA. B.(,)(4,)(,4)(0,2C. D.,20,)二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共
5、 20分。13.若实数 ， 满足约朿条件 ，则 的最大值为_.xy1,3270,xy2zxy14. 的展开式中 的数为_.6(1)6x15.函数 的部分图像如图所示，则 的值为sin()fxA(0,2)(2019)f_.16.将正整数 分解成两个正整数的乘积有 ， ， 三种，其中 是这三种分121263434解中两数差的绝对值最小的，我们称 为 的最佳分解.当 且 是正整34(pq*,)pqN数 的最佳分解时我们定义函数 ，例如 .则 的值为n()fnqp(12)43f8)f_，数列 的前 项的和为_.*(5)nfN208三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17
6、21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。17.已知向量 ， ， ，设函数 .(cos,in)mx(cos,3)xxR1()2fxmn（1）求函数 的解析式及单调递增区间；)f（2）设 ， ， 别为 内角 ， ， 的对边，若 ， ， 的abcABCC()2fAbcABC面积为 ，求 的值.18.为全面贯彻党的教育方针，坚持立德树人，适应经济社会发展对多样化高素质人才的需要，按照国家统一部署，湖南省高考改革方案从 2018年秋季进入高一年级的学生开始正式实施.新高考改革中，明确高考考试科目由语文、数学、英语 科，及考生在思想
7、政治、历史、3地理、物理、化学、生物 个科目中自主选择的 科组成，不分文理科.假设 个自主选择的636科目中每科被选择的可能性相等，每位学生选择每个科目互不影响，甲、乙、丙为某中学高一年级的 名学生.3（1）求这 名学生都选择了物理的概率.（2）设 为这 名学生中选择物理的人数，求 的分布列和数学期望.XX19.如图，四棱锥 中， 底面 ，底面 为直角梯形，PABCDPABCD， ， 分别为 ， 的中点.90CDAB2ADCEFPDB（1）求证： 平面 ；/CFPAD（2）若截面 与底面 所成锐二面角为 ，求 的长度.EB4PA20.对称轴为坐标轴的椭圆 的焦点为 ， ， 在 上.1(3,0)
8、F2(,)3(1,)2MC（1）求椭圆 的方程；C（2）设不过原点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，且直线 ，O:(,)lykxmPQOP， 的斜率依次成等比数列，则当 的面积为 时，求直线 的方程.PQOPQ7421.已知函数 .()ln1fxa（1）当 时，求证： 恒成立；a()0fx（2）若关于 的方程 至少有两个不相等的实数根，求实数 的最小值.x21fa（二）选考题：共 10分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 4一 4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.以原点 为极点，xOyl 2xtyO轴正半轴
9、为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 .x C26(cosin)14（1）写出圆 的直角坐标方程；C（2）设直线 与圆 交于 ， 两点，求弦长 .lABAB23.选修 4一 5：不等式选讲已知函数 ，其中 .()2fxxaR（1）当 时，求不等式 的解集；a()6f（2）若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围.0xR0218fxa理科数学参考答案一、选择题1-5:BDABD 6-10:BABCC 11、12:AC二、填空题13. 14. 15. 16. ，25131095三、解答题17.解：（1） 2()cos3incosfxxin(2)6x令 ， ，解得； ， ；26x,kkZ,3kkZ所以
10、函数 的单调递増区间为 ， .()f ,36kZ（2） ， .sin2)126fxAsin()A， ， ，即 .0626由 得 ，1sin2Sbc2bc又 由余弦定理得 ，2abc2os()(1cos)AbcA解得 .31a18.解：（1）设“这 名学生都选择了物理”为事件 ，依题意得每位学生选择了物理的概率都为 ，2故 ，即这 名学生都选择了物理的概率为 .31()8PA318（2） 的所有可能取值为 ，由题意X0,12(3,)2XB:， ，031()()28C1213()8PC，2123()()8PXC3031()()28PXC所以 的分布列为 0123P18383818所以 的数学期望
11、.X()0EX2219.解：（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ，PAQFD是 的中点， 且 ，FPB/FB12A底面 为直角梯形， ， ，ACD90CD2BAC， ，/12且 ， 四边形 是平行四边形， ，QFQF/FQD又 平面 ， 平面 ， 平面 .CPADPAD/CPA（2）如图，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，设 。则，Bxyz PAa， ， ， ， ， ，(0,)A(,20)B(2,0)C(2,0)(2,0)aE(,2)F取平面 的法向量为 .D1,n， ，设平面 的法向量为(2,)aCE(2,0)aFCF，则有 ，即 ，2(,)nxyz20CEn20axyz不妨
12、取 ，则 ， ，即4zxay.2(,)na，解得 即 .12cos,12|n4aPA20.解：（1）设椭圆 的方程为 ，C21xyab(0)由题意可得 ，又由 ，得 ，故 ，3c12|MF2a221bac椭圆 的方程为 ；24xy（2）设 ， .1(,)P2(,)Q由题意直线 的方程为： ，l:lykxm(0,1)联立 得 ，214ykxm22(4)84，化简，得 226()kk()0241mk， 12284mx214xk直线 ， ， 的斜率依次成等比数列， ，OPQ212ykx，化简，得2121()kxkx12()0mx， ，又 ， ，804m40k且由知 .22211| ()4PQxx22
13、()4km原点 到直线 的距离 .O2|mdk，解得 （负舍）或1|2PQS2|1427|412m（负舍）.72m直线 的方程为： 或 .PQ12yx172yx21.解：（1）证明：当 时， ， ，a()lnf1()xfx令 ，所以当 时， ， 单调递增；()01fx0,1x()0ff当 时， ， 单调递减.,()f()f故 ，所以 .max()10ff0fx（2） 至少有两个根，2lnln2ax记 ，所以 ，()(0)x221lln1()x 记 ，所以 ，2ln1h21hx令 舍）2()0(xx所以当 ， ， 单调递减， 时， ，2,()0h()x2,x()0hx单调递增，所以 的最小值为(
14、)hxx，2ln11ln2(ln2)0又 ，所以 时， ，(1)0h(,)x()0hx又当 时， ，因此必存在唯一的xe21ln1he2210e，使得 .02,0()x因此 时， ， 单调递増， ， ， 单调递减，0(,)x()h()0(,1)x(0hx()时， ， 单调递増，画出 的大致图象，如图所示1xy因此当 时， 与 至少有两个交点，0(1)()axya()x所以 的最小值为 .322.解：（1）由 ，得圆 的直角坐标方程为26(cosin)14C，即214xy223(xy（2）将直线 的参数方程代入圆 的直角坐标方程，得l 22134tt即 ，设两交点 ， 所对应的参数分别为 ， ，从而2460ttAB1t2，12t12t则 21|()4ABttt23.解：（1）当 时， ，a21,()|3,xfx所以 或 或 ，1()626xf2316x解得 或 ，5x7因此不等式 的解集的 或()6f5|2x7x（2） ，易知 ，由题意，|2|fxa()()|a2|min()|2|fxa知， ，解得 ，|018a2017所以实数 的取值范围是a2,017
