1、2019 年艺体生文化课-百日突围讲练通专题十一 直线与圆圆的方程【背一背基础知识】1圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆2圆的标准方程(1) 若圆的圆心为 C(a,b),半径为 r，则该圆的标准方程为： (2) 方程 表示圆心为 C(a,b),半径为 r 的圆3圆的一般方程(1)任意一个圆的方程都可化为： .这个方程就叫做圆的一般方程(2) 对方程： .若 ，则方程表示以 (2D， )E为圆心, 为半径的圆；若 ，则方程只表示一个点 ， 2； 4.点 0()Axy， 与 C 的位置关系(1)|AC|r点 A 在圆外 .【讲一讲释疑解惑】1. 必备技能：1.求圆的方程，采用
2、待定系数法：若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择圆的一般方程2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质：圆心在过切点且与切线垂 直的直线上；圆心在任一弦的 垂直平分线上2.典型例题例 1.【2018 年天津卷文】在平面直角坐标系中，经 过三点（0，0）， （1，1），（2，0）的圆的方程为_【答案】【解析】设圆的方程为 ，圆经过三点（0，0） ， （1，1） ， （2，0） ，则：，解得： ，则圆的方程为 .例 2.【2016 高考浙江文数】已知 aR，方程 表示圆，则圆心坐标是_，半径是_. 【答案】 (2,4)；5直线与圆、圆与圆的位
3、置关系【背一背基础知识】1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即 dr；3.代数法： 0，方程组有一组不同的解.4.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；5.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即 dr；6.代数法： 0，方程组有两组不同的解.7. 设两圆的圆心分别为 1C、 2，圆心距为 12dC，半径分别为 R、 r( ).(1)两圆相离：无公共点； dRr，方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点； ，方程组有一组不同的解.(3)两圆相交：有两个公共点； ，方程组有两组不同的解. (4)两圆内切：有一公共点； dr，方程组有 一组不同的解.(5)
4、两圆内含：无公共点； ，方程组无解.特别地， 0d时，为两个同心圆.【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：（1）设圆的圆心为 0(,)Cxy半径分别为 r，直线的方程为 .若直线与圆相切，则圆心到直线的距离 ，直线与圆相切的问题，往往用这个结论解题. （2）如下图所示，涉及直线与圆相交及弦长的题，都在 RtAOB中，利用勾股定理，得半径弦长及弦心距之间的关系式.（3）弦长的计算：方法一、设圆的半径为 R，圆心到直线的距离为 d，则弦长 .方法二、设直线的斜率为 k，直线与圆的交点坐标为 ，则弦长.（4）两圆公共弦的直线方程即为联立两圆方程消去二次项所得的二元一次方程；（5）求两圆的公共弦长，往往在一
5、个圆中，应用勾股定理求解.2.典型例题例 1.【2018 年全国卷文理】直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A例 2.【2018 年新课标 I 卷文】直线 与圆 交于 两点，则 _【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为 ，所以圆的圆心为 ，且半径是 2，根据点到直线的距离公式可以求得 ，结合圆中的特殊三角形，可知 ，故答案为 .【练一练能力提升】一、选择题（12*5=60 分）1.【2018 年理北京卷】在平面直角坐标系中，记 d 为点 P（cos，sin）到直线 的距离，当 ，m变化时，d 的最大值为A. 1 B. 2 C
6、. 3 D. 4【答案】C【解析】P 为单位圆上一点，而直线 过点 A（2，0） ，所以 d 的最大值为OA+1=2+1=3,选 C.2以 1,P为圆心，且与直线 相切的圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】点 1,2P到直线 的距离 ，所以以 1,2P为圆 心，且与直线 相切的圆的方程为 故选 B.3 【广东省东莞市 2019 届高三上期末】过点 且倾斜角为 的直线 交圆 于 ， 两点，则弦 的长为（ ）A B C D【答案】D4 【北京市海淀区 2019 届高三上期末】直线 被圆 截得的弦长为 ，则 的值为( )A B C D【答案】A【解析】圆心为 ，半径为 ；圆心到
7、直线的距离为 ，因为弦长为 2，所以 ，解得 ，故选 A.5 【广东省清远市 2019 届高三上期末】平行于直线 ，且与圆 相切的直线的方程是（ ）A B C D【答案】C【解析】圆 的圆心为原点 ，半径为 2，到 的距离为 ，直线 与圆 不相切，排除选项 ；到 的距离为 ，与圆 相切，且 与 平行，排除选项 , 选项 符合题意，故选 C.6 【广东省惠州市 2019 届高三第三次调研】已知直线 过点 ，当直线 与圆 有两个交点时，其斜率 的取值范围为（ ）A BC D【答案】B【解析】直线 为 ，又直线 与圆 有两个交点，故 ， ，故选 B7 【山东省济南外国语学校 2019 届高三 1 月
8、份阶段模拟】若直线 l:x+my+2-3m=0 被圆 C:截得的线段最短，则 m 的值为（ ）A-3 B C-1 D1【答案】C【解析】动直线 l: x+my+2-3m=0 即 x+2+(y-3)m=0 过定点 M（-2，3） ，圆 C 的圆心为 C（1，0） ，半径 r=5，M 在圆 C 内部，当直线 l 与线段 MC 垂直时，弦长最短，k MC=-1，最短弦 AB 所在直线的斜率为 1， ，即 m=-1故选：C8已知直线 ，圆 ： ，若对任意 ，存在 被 截得弦长为 2，则实数 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得，圆心 到 的距离 ，即 ， ， ，解得 或 ，
9、故实数 的取 值范围是 ，故选 C.9.已知圆 C： （ 0a） ， 有直线 l： ，当直线 l被圆 C 截得弦长为32时， a等于（ ）A. 1 B.2- 2 C. 2 D. 12来源: 【答案】A【解析】由题意得：圆心到直线的距离 .又由点到直线的距离公式得.又因为 0a，所以 21选 A.10.【黑龙江省哈尔滨市第六中学 2019 届高三上期末】若直线 与圆相切，且 为锐角，则该直 线的斜率是（ ）A B C D【答案】A 【解析】由题意知，圆心（1，1）到直线 的距离为 1，则 ，所以 或者 ，当 时， ， =1，当 时，不可能成立，故舍去.故答案为 A.11.【山东省济宁市 2019
10、 届高三上期末】已知圆 ，过点 M(1，1)的直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点，弦长 最短时直线 l 的方程为A BC D【答案】D 【解析】 由题可知圆 ，所以圆心为 ，半径为 ，设圆心到直线 的距离为 ，直线 得斜率为则 ， ，当直线 与 MC 连线垂直时， 最大为 ，此时 最短，且 .所以直线 得斜率为： ，又 ，所以 ，所以直线 的方程为： ，即： 故选：D12.【2016 高考山东文数】已知圆 M： 截直线 0xy+=所得线段的长度是 2，则圆 M 与圆 N： 的位置关系是（ ）学科网（A）内切（B）相交（C） 外切（D ）相离【答案】B【解析】由 （ 0a）得 （ 0a） ，
11、所以圆 的圆心为 0,a，半径为 1ra，因为圆 截直线 xy所得线段的长度是 2，所以 ，解得2，圆 的圆心为 1,，半径为 21r，所以 ， 123r，12r，因为 ，所以 圆 与圆 相交，故选 B二、填空题（4*5=20 分）13.【2016 高考新课标 1 文数】设直线 y=x+2a 与圆 C：x 2+y2-2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若 ,则圆 C的面积为 .【答案】 4【解析】由题意直线即为 ,圆的标准方程为 ,所以圆心到直线的距离 2ad,所以 ,故 ,所以 故填 414.【2016 高考新课标 3】已知直线 l： 与圆 21xy交于 ,AB两点，过,AB分别做 l的垂线与 x轴交于 ,CD两点，若 23AB，则 |CD_.【答案】415 【2018 届天津市部分区高三上学期期末】以点 0,b为圆心的圆与直线 21yx相切于点 ,3，则该圆的方程为_【答案】【解析】由题意设圆的方程为 ，根据条件得 ， 解得72 5br该圆的方程为 答案： 16设点 是函数 的图象上的任意一点，点 ，则 的最小值为_【答案】【解析】函数 ，即对应的曲线为圆心在 ，半径为 2 的圆的下部分点点 在直线 上过圆心 作直线 的垂线，垂足为 ，如图所示：故答案为 .
