1、第三节 导数与函数的极值、最值课时作业练1.函数 y=2x- 的极大值是 . 12答案 -3解析 因为 y=2x- ,所以 y=2+ .令 y=0,得 x=-1,且 x0,函数递增,-10 时,y0,函数递增,所以当 x=-1 时,y 取得极大值-3.2.已知函数 f(x)=ex-eln x,则 f(x)的最小值为 . 答案 e解析 易知 f (x)=ex- = (x0).-令 f (x)=0,解得 x=1.当 x(0,1)时, f (x)0, f(x)单调递增,所以 f(x)min=f(1)=e.3.(2018 江苏泰兴中学期中)已知函数 f(x)=2x3-6x2+m(m 为常数)在-2,2
2、上有最大值 3,则此函数在-2,2上的最小值是 . 答案 -37解析 由题意得 f (x)=6x2-12x=6x(x-2),则 f(x)在-2,0上单调递增,在(0,2上单调递减,所以 x=0 为 f(x)的极大值点,也为最大值点,则 f(0)=m=3,所以 f(-2)=-37, f(2)=-5,故最小值是-37.4.(2018 江苏苏州调研测试)已知 x=0 是函数 f(x)=(x-2a)(x2+a2x+2a3)的极小值点,则实数 a 的取值范围是 . 答案 (-,0)(2,+)解析 易知 f (x)=3x2+(2a2-4a)x=3x .由 x=0 是函数 f(x)的极小值点得 2 或 a0
3、,则关于 x 的不等式 f(x)0 可得 f(x)在 x=1 处取得极小值,f (x)=ln x+ ,则 f (1)=1+m=0,m=+-1, f(x)2 1,0,函数 f(x)递增,x 时, f(x)0,则 a=ln k-m,b= .令 f(k)=a-b=ln k-m- ,k0,则 f (k)= - = ,令 f (k)=0,得 k=1,且 k(0,1)时, f (k) 1-0, f(k)递增,k(1,+)时, f (k)ln 时, f (x)0, f(x)递增,则 f(x)12 12 12min=f = - ln = 0,故线段 AB 长度的最小值为 .( 12)3212 123+22 3
4、+229.(2018 江苏,11,5 分)若函数 f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零点,则 f(x)在-1,1上的最大值与最小值的和为 . 答案 -3解析 f(x)=2x 3-ax2+1,f (x)=6x 2-2ax=2x(3x-a).若 a0,则 x0 时, f (x)0,f(x)在(0,+)上为增函数,又 f(0)=1,f(x)在(0,+)上没有零点,a0.当 0 时, f (x)0, f(x)为增函数,x0 时, f(x)有3 3极小值,为 f =- +1.(3) 327f(x)在(0,+)内有且只有一个零点,f =0,a=3.(3)f(x)=2x 3-3x
5、2+1,则 f (x)=6x(x-1).x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1f (x) + -f(x) -4 增 1 减 0f(x)在-1,1上的最大值为 1,最小值为-4.最大值与最小值的和为-3.10.(2019 江苏五校高三模拟)已知函数 f(x)=ln x,g(x)=x-1.(1)求函数 y=f(x)的图象在 x=1 处的切线方程;(2)证明: f(x)g(x);(3)若不等式 f(x)ag(x)对任意的 x(1,+)均成立,求实数 a 的取值范围.解析 (1)f (x)= ,f (1)=1.1又 f(1)=0,切线的方程为 y-f(1)=f (1)(x-1),即所求切线的方程为
6、 y=x-1.(2)证明:设 h(x)=f(x)-g(x)=ln x-x+1,则 h(x)= -1,1令 h(x)=0,得 x=1,当 x 变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表:x (0,1) 1 (1,+)h(x) + 0 -h(x) 单调递增 极大值 单调递减h(x)h(x) max=h(1)=0,即 f(x)g(x).(3)易知对任意的 x(1,+), f(x)0,g(x)0.(i)当 a1 时, f(x)g(x)ag(x);(ii)当 a0 时, f(x)0,ag(x)0,不满足不等式 f(x)ag(x);(iii)当 0(1)=0,不满足不等式.(1)综上,实数 a 的取值范围
7、是1,+).11.(2019 江苏南京高三模拟)已知函数 f(x)=(2x-4)ex+a(x+2)2(x0,aR,e 是自然对数的底数).(1)若 f(x)是(0,+)上的单调递增函数,求实数 a 的取值范围;(2)当 a 时,证明函数 f(x)有最小值,并求函数 f(x)的最小值的取值范围.(0,12)解析 (1)f (x)=2e x+(2x-4)ex+2a(x+2)=(2x-2)ex+2a(x+2),依题意得,当 x0 时, f (x)0 恒成立,即 -2a 恒成立,(2-2)+2记 g(x)= (x0),(2-2)+2则 g(x)= = 0,2(+2)-(2-2)(+2)2 (22+2+
8、2)(+2)2所以 g(x)在(0,+)上单调递增,所以 g(x)g(0)=-1,所以-2a-1,即 a .12(2)当 a 时,f (x)=2xe x+2a0,所以 y=f (x)是(0,+)上的增函数,(0,12)又 f (0)=4a-20,所以存在 t(0,1)使得 f (t)=0,则 a= ,(1-)+2又当 x(0,t)时, f (x)0, f(x)单调递增,所以当 x=t 时, f(x)取得最小值,即 f(x) min=f(t)=(2t-4)et+a(t+2)2.因为 a= ,(1-)+2所以 f(x)min=f(t)=(2t-4)et-(1-t)(t+2)et=et(-t2+t-
9、2).记 h(t)=et(-t2+t-2),则 h(t)=et(-t2+t-2)+et(-2t+1)=et(-t2-t-1)f(a+3),则实数 a 的取值范围是 .答案 (-3,-1)(3,+)解析 由已知可得 2-0,+30,2-+3,解得-33.所以实数 a 的取值范围是(-3,-1)(3,+).3.“a1”是“(a+1)x2 对任意 x(1,+)恒成立”的 条件(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”). 答案 充分不必要解析 若(a+1)x2 对任意 x(1,+)恒成立,则 a1,所以“a1”是“(a+1)x2 对任意x(1,+)恒成立”的充分不必要条件.4.(2019 苏州模拟)
10、设 f(x)=-ln(-x+1),g(x)= 则函数 y=g(x)+1 的零点是 . 2, 0,(),log2(3x)的解集为 . 答案 (0,1)解析 由题意得 解得 03,4-20,30, 7.(2019 南京模拟)如图,定义在-1,+)上的函数 f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为 . 答案 f(x)= +1, -1,014(-2)2-1, (0,+) 解析 当 x-1,0时,设 y=kx+b,k0,由图象得 解得-+=0,0+=1, =1,=1,所以 y=x+1;当 x(0,+)时,设 y=a(x-2)2-1,a0,由图象得 0=a(4-2)2-1,解得
11、a= ,14所以 y= (x-2)2-1.14综上可知, f(x)= +1, -1,0,14(-2)2-1, (0,+).8.(2018 江苏无锡普通高中期中)若函数 f(x)= sin(x)与函数 g(x)=x3+bx+c 的定义域均为0,2,14且它们在同一点有相同的最小值,则 b+c= . 答案 - 14解析 因为函数 f(x)= sin(x)在0,2上的最小值为 f = sin =- ,14 (32)14 (32) 14又 g(x)=3x2+b,所以 解得 所以 b+c=- .(32)=274+=0,(32)=278+32+=-14. =-274,=132, 149.已知函数 f(x)= (k 为常数,e 是自然对数的底数),曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线与+x 轴平行.(1)求 k 的值;(2)求 y=f(x)的单调区间.解析 (1)由 f(x)= 得 f (x)= ,+ 1-由题意得 f (1)= =0,故 k=1.1-(2)由(1)知, f (x)= .1-1设 h(x)= -ln x-1(x0),则 h(x)=- - 0,从而 f (x)0, f(x)单调递增;当 x1 时,h(x)0,从而f (x)0, f(x)单调递减.综上可知, f(x)的单调增区间是(0,1),单调减区间是(1,+).
