1、五 解析几何(B)1.(2018上饶三模)已知椭圆 C1: +y2=1(a1)的离心率 e= ,左、22 22右焦点分别为 F1,F2,直线 l1过点 F1且垂直于椭圆的长轴,动直线 l2垂直 l1于点 P,线段 PF2的垂直平分线交 l2于点 M.(1)求点 M 的轨迹 C2的方程;(2)当直线 AB 与椭圆 C1相切,交 C2于点 A,B,当AOB=90时,求 AB的直线方程.2.(2018烟台模拟)已知动圆 C 与圆 E:x2+(y-1)2= 外切,并与直线14y=- 相切.12(1)求动圆圆心 C 的轨迹 ;(2)若从点 P(m,-4)作曲线 的两条切线,切点分别为 A,B,求证:直线
2、 AB 恒过定点.1.解:(1)由 e2= = = ,22212 12得 a= ,c=1,故 F1(-1,0),F2(1,0),2依条件可知|MP|=|MF 2|,所以 M 的轨迹是以 l1为准线,F 2为焦点的抛物线,所以 C2的方程为 y2=4x.(2)显然当 AB 斜率不存在时,不符合条件.当 AB 斜率存在时,设 AB:y=kx+m,由 消 y 得(1+2k 2)x2+4kmx+2m2-2=0,=+,22+2=1因为 AB 与 C1相切,所以 =16k 2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,得 m2=2k2+11,又由 消 y 得 k2x2+(2km-4)x+m2=0,=+,2=
3、4 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= ,422 22且有 得 k0,km0,因为 OAOB,所以 =x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=( )2+4 =0,得 m=- 4k,联立,得 k= ,1414故直线 AB 的方程为 y= (x-4).14142.(1)解:由题意知,圆 E 的圆心 E(0,1),半径为 .12设动圆圆心 C(x,y),半径为 r.因为圆 C 与直线 y=- 相切,所以 d=r,12即 y+ =r.12因为圆 C 与圆 E 外切,所以|CE|= +r,12即 = +r.2+(1)212联立,消去 r,可
4、得 x2=4y.所以 C 点的轨迹 是以 E(0,1)为焦点,y=-1 为准线的抛物线.(2)证明:由已知直线 AB 的斜率一定存在.不妨设直线 AB 的方程为y=kx+b.联立 整理得 x2-4kx-4b=0,其中 =16(k 2+b)0,2=4,=+,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4b.由抛物线的方程可得 y= x2,所以 y= x.14 12所以过 A(x1,y1)的抛物线的切线方程为y-y1= x1(x-x1),12又 y1= ,代入整理得 y= x1x- .1421 12 1421因为切线过 P(m,-4),代入整理得 -2mx1-16=0
5、,21同理可得 -2mx2-16=0.22所以 x1,x2为方程 x2-2mx-16=0 的两个根,所以 x1+x2=2m,x1x2=-16.由可得 x1x2=-4b=-16,x1+x2=4k=2m.所以 b=4,k= ,AB 的方程为 y= x+4.2 2当 x=0 时,y=4,所以直线 AB 恒过定点(0,4).3.解:(1)依题意 F( ,0),2当直线 AB 的斜率不存在时,y 1y2=-p2=-4,p=2,当直线 AB 的斜率存在时,设 AB:y=k(x- ),2由 化简得 y2- y-p2=0,2=2,=(2), 2由 y1y2=-4 得 p2=4,p=2,所以抛物线方程 y2=4
6、x.(2)设 D(x0,y0),B( ,t),则 E(-1,t),24又由 y1y2=-4,可得 A( ,- ),42 4因为 kEF=- ,ADEF,所以 kAD= ,2 2故直线 AD:y+ = (x- ),4 2 42即 2x-ty-4- =0,82由 2=4,2482=0,化简得 y2-2ty-8- =0,162所以 y1+y0=2t,y1y0=-8- .162所以|AD|= |y1-y0|1+24=1+24(1+0)2410= ,4+22+162+8设点 B 到直线 AD 的距离为 d,则d= = ,|222482|4+2|2+162+8|24+2所以 SABD = |AD|d= 1
7、6,12 14(2+162+8) 3当且仅当 t4=16,即 t=2 时取等号,当 t=2 时,AD:x-y-3=0,当 t=-2 时,AD:x+y-3=0.4.解:(1)因为椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为 ,点 M(2,1)在椭圆 2222 32C 上.所以 解得 a=2 ,b= ,c= ,=32,42+12=1,2=2+2, 2 2 6所以椭圆 C 的方程为 + =1.28 22(2)由直线 l 平行于 OM,得直线 l 的斜率 k=kOM= ,12又 l 在 y 轴上的截距为 m,所以 l 的方程为 y= x+m.12由 得 x2+2mx+2m2-4=0.=12+,28+22=
8、1,又直线 l 与椭圆交于 A,B 两个不同点,=(2m) 2-4(2m2-4)0,于是-20)的焦点为 F,准线为 l,过焦点 F 的直线交 C 于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,y 1y2=-4.(1)求抛物线方程;(2)点 B 在准线 l 上的投影为 E,D 是 C 上一点,且 ADEF,求ABD 面积的最小值及此时直线 AD 的方程.4.(2018南充模拟)已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为 ,点2222 32M(2,1)在椭圆 C 上.(1)求椭圆 C 的方程;(2)直线 l 平行于 OM,且与椭圆 C 交于 A,B 两个不同的点,若AOB 为钝角,求直线 l 在 y 轴上的截距 m 的取值范围.