1、大题分层练(八)解析几何、函数与导数(D 组)1.过椭圆 C: + =1(ab0)右焦点 F(1,0)的直线与 椭圆 C交于 A,B两点,自 A,B向直线2222x=5作垂线,垂足分别为 A1,B1,且 = .|1| 5(1)求椭圆 C的方程.(2)记AFA 1,FA 1B1,BFB 1的面积分别为 S1,S2,S3,证明: 是定值,并求出该定值.【解析】(1)设 A(x,y),则|AA 1|=|5-x|,|AF|= ,由 = ,得(-1)2+2 |1| 5+ =1,而 A是椭圆 C上的任一点,所以椭圆 C的 方程为 + =1.2524 24(2)由 题意知,直线 AB的斜率不可以为 0,而可
2、以不存在,所以可设直线 AB的方程为 x=my+1.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由得(4m 2+5)y2+8my-16=0,所以 y1+y2=- ,y1y2=- . 842+5 1642+5由题意得 ,S1= |AA1|y1|= |5-x1|y1|,12S3= |BB1|y2|= |5-x2|y2|,S2= |A1B1|4=2|y1-y2|,12所以 = (5-1)(5-2)(-12)(1-2)2= =- ,将代入,化简并计算可得 = ,14所以 是定值,且该定值为 .142.已知函数 f(x)=ln x-a2x2+ax(aR).(1)求 f(x)的单 调区间与极值.(2)若函数在
3、区间(1,+)上单调递减,求实数 a的取 值范围.【解析】(1)函数 f(x)=ln x-a2x2+ax的定义域为(0,+) ,f(x )= -2a2x+a=-222+1= .-(2+1)(-1)当 a=0时,f(x)= 0,所以 f(x)的单调递增区间为(0,+ ),此时 f(x)无极值.1当 a0时,令 f (x)=0,得 x= 或 x=- (舍去) .12f(x)的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ,所以 f(x)有极大值为 f =-ln a,无极小 值.(1)当 a0时,f(x)的单调递减区间为 ,依题意,得 得 a1.11,0,当 a0时,f(x)的单调递减区间为 ,依题意,得 即(- 12,+ ) -121,0, a- .综上,实数 a的取值范围 是 1,+).
