1、第 2 讲 直线与圆锥曲线的位置关系(限时:45 分钟)【选题明细表】知识点、方法 题号直线与圆锥曲线位置关系的判断 1,4圆锥曲线的弦长问题 2,5,6中点弦问题 6轨迹方程 7综合问题 3一、选择题1.(2018广东珠海九月摸底)已知抛物线 C:y2=4x,过点 P(-2,0)作直线 l 与 C 交于 A,B 两点,直线 l 的斜率为 k,则 k 的取值范围是( A )(A)(- ,0)(0, )(B)- , 22 22 22 22(C)(- , ) (D)- ,0)(0, 22 22 22 22解析:设直线 l 的方程为 y=k(x+2),由 =(+2),2=4, 得 k2x2+4(k2
2、-1)x+4k2=0,当 k=0 时,不合题意,当 k0 时,=16(k 2-1)2-16k40,所以 00)的焦点 F 到其准线 l 的距离为 2,过焦点且倾斜角为 60的直线与抛物线交于 M,N两点,若 MMl,NNl,垂足分别为 M,N,则MNF 的面积为( B )(A) (B) (C) (D)433 833 1633 3233解析:由题意得 p=2,所以抛物线 C 的方程为 y2=4x,F(1,0),直线 MN:x= y+1,33由 得 y2- y-4=0,2=4,=33+1, 433则 y1+y2= ,y1y2=-4,433所以|y 1-y2|= = ,(1+2)2412833所以
3、SMNF = 2= .故选 B.12 833 833二、填空题3.(2018吉林百校联盟联考)已知双曲线 C: - =1(ab0)的左、2222右焦点分别为 F1,F2,过点 F1且与双曲线 C 的一条渐近线垂直的直线l 与 C 的两条渐近线分别交于 M,N 两点,若|NF 1|=2|MF1|,则双曲线 C的渐近线方程为 . 解析:不妨设 C 与渐近线 y= x 垂直,则直线 l:y=- (x+c),由 得 M(- ,- ),=(+),=, 2 由 得 N(- , ),=(+),=, 222 22因为|NF 1|=2|MF1|,所以 M 为 NF1的中点,所以 =- ,22 2即 c2=-2(
4、a2-b2),所以 a2+b2=-2a2+2b2,所以 = ,2213故双曲线的渐近线方程为 y= x.33答案:y= x33三、解答题4.(2018石家庄重点高中摸底考试)已知椭圆 C: + =1(ab0)的2222右焦点为 F(1,0),且点 P(1, )在椭圆 C 上,O 为坐标原点.32(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)设过定点 T(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且AOB为锐角,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.解:(1)由题意,得 c=1,所以 a2=b2+1.因为点 P(1, )在椭圆 C 上,32所以 + =1,12 942所以 a2=4,b2=3.
5、则椭圆 C 的标准方程为 + =1.24 23(2)由题意知 l 的斜率存在.设直线 l 的方程为 y=kx+2,点 A(x1,y1),B(x2,y2),由 得(4k 2+3)x2+16kx+4=0.24+23=1,=+2因为 =48(4k 2-1)0,所以 k2 ,14由根与系数的关系,得 x1+x2= ,x1x2= .1642+3 442+3因为AOB 为锐角,所以 0,即 x1x2+y1y20. 所以 x1x2+(kx1+2)(kx2+2)0,即(1+k 2)x1x2+2k(x1+x2)+40,所以(1+k 2) +2k +40,442+3 1642+3即 0,122+1642+3所以
6、k2b0)的下顶点为 A,右顶点为 B,离心率 e= .抛2222 32物线 E:y= 的焦点为 F,P 是抛物线 E 上一点,抛物线 E 在点 P 处的切28线为 l,且 lAB.(1)求直线 l 的方程;(2)若 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,且 SFMN = ,求椭圆 C 的标准方5314程.解:(1)因为 e2=1- = ,2234所以 = ,所以 kAB= ,12 12又 lAB,所以直线 l 的斜率为 .12设 P(t, ),28由 y= 得 y= ,28 4因为过点 P 的直线 l 与抛物线 E 相切,所以 = ,解得 t=2,所以 P(2, ),412 12所以直线 l
7、 的方程为 x-2y-1=0.(2)法一 设 M(x1,y1),N(x2,y2),由 242+22=1,21=0,得 2x2-2x+1-4b2=0,则 x1+x2=1,x1x2= ,1422易知 =4-8(1-4b 2)0,解得 b2 ,18所以|x 1-x2|= = .(1+2)2412 821l:x-2y-1=0 中,令 x=0 得 y=- ,12则 l 交 y 轴于点 D(0,- ),12又抛物线焦点为 F(0,2),所以|FD|=2+ = ,1252所以 SFMN = |FD|x1-x2|= = ,12 12 528215314解得 b2=4,所以椭圆 C 的标准方程为 + =1.21
8、624法二 设 M(x1,y1),N(x2,y2),由 242+22=1,21=0,得 2x2-2x+1-4b2=0,则 x1+x2=1,x1x2= ,1422易知 =4-8(1-4b 2)0,解得 b2 ,18所以|x 1-x2|= = .(1+2)2412 821|MN|= |x1-x2|= ,1+14 52 821l:x-2y-1=0,抛物线焦点为 F(0,2),则点 F 到直线 l 的距离 d= = ,|041|5 5所以 SFMN = |MN|d= = ,12 12 52 821 55314解得 b2=4,所以椭圆 C 的标准方程为 + =1.216246.在平面直角坐标系 xOy
9、中,过椭圆 M: + =1(ab0)右焦点的直线2222x+y- =0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点, 且 OP 的斜率为 .312(1)求 M 的方程;(2)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CDAB,求四边形ACBD 面积的最大值.解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则 + =1, + =1, =-1,2122122222222121由此可得 =- =1.2(2+1)2(2+1) 2121因为 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, = ,0012所以 = ,2212所以 a2=2b2.又由题意知,M 的右焦点的坐标为( ,0),故 a2-b2=3,3因此 a2=6,b2=3,所以 M 的方程为 + =1.26 23(2)由 + 3=0,26+23=1, 解得 或=433,= 33, =0,=3.因此|AB|= .463由题意可设直线 CD 的方程为y=x+n(- 0,得 b2 .33 33要使 k1,k2,k 有意义,则 x10,x 20,所以 0 不是方程(*)的根,所以 b2-20,即 k1 且 k-1.由,得 k 的取值范围为- ,-1)(-1,- )( ,1)(1, .333 33 3
