1、江苏省扬州中学 2019 届高三开学数学 I 试题注意事项：1本试卷共 160 分，考试时间 120 分钟；2答题前，请务必将自己的姓名学校、考试号写在答卷纸的规定区域内；3答题时必须使用 0.5 毫米黑色签字笔书写，作图可用 2B 铅笔一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上 ）1全集 U1，2，3，4，5，集合 A1，3，4 ，B 3，5，则 (AB)UI2.己知复数 ，则 z 的虚部为 iz13如图是样本容量为 200 的频率分布直方图，根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在6，10) 内的频数为 4现有三张识字卡片，分别写有
2、“中” “国” “梦”这三个字将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是_5 函数 的定义域为 22log(3)yx6.己知 ，且 b,(2ayx直线 B0 与双曲线 C 的右支交于点 M。若直线 AB 的斜率为 3,直线 AM 的斜率为 1，则双曲线 C 的离心率为 10.已知 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，数列 满足 ，且na nb1a12nbL（ ） ，若 ，则121na,nN (27)09m的值为 m11.在ABC 中，已知 AB3，BC2，D 在 AB 上， .若 3，则 AC 的长是AD 13AB DB DC _ 12.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 AB 是圆
3、O： 直径，若直线 l：2xy310kxy上存在点 P，连接 AP 与圆 O 交于点 Q，满足 ，则实数 k 的取值范围是 BP13已知一个等腰三角形的底边长为 4，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是 14.设函数 g(x)e x3x a(aR ，e 为自然对数的底数)，定义在 R 上的连续函数 f(x)满足：f(x)f(x) x 2，且当 x0 时， f(x)x，若x 0 x|f(x)2f(2x) 2x，使得g(g(x0)x 0，则实数 a 的取值范围为 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）15 （本小题满
4、分 14 分）如图，在四棱柱 中，已知平面 平面 且1DCBACA1,BD, .3CBA(1)求证： ;1D(2)若 为棱 的中点，求证： 平面E/AE.1C 1ECDBA1B1C第 15题图DCBAEF16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 A(1，0) 和点 B(1，0)， 1，且OCAOCx，其中 O 为坐标原点（1）若 ，设点 D 为线段 OA 上的动点，求 的最小值；34 D（2）若 0， ，向量 ， ( ， )，2BCmn1cosxin2cosx求 的最小值及对应的 x 值mn17. 如图，一楼房高 为 米，某广告公司在楼顶安装一块宽 为 米的广告牌，AB193 B4为拉杆，广
5、告牌 BC 边与水平方向的夹角为 ，安装过程中，一身高为 米的监理CD60 3人员 站在楼前观察该广告牌的安装效果；为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的EF正下方；设 米，该监理人员观察广告牌的视角 ；x F（1）试将 表示为 的函数；tanx（2）求点 的位置，使 取得最大值18. 已知椭圆 C 的两焦点分别为 F1( ,0)，F 2( ，0)，点 E 在椭圆 C 上，且33F 1EF2= 60， .124EFuv（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过 轴正半轴上一点 M 作直线 ，交椭圆 C 于 A B 两点。问：是否存在定点 M，使当xl直线 绕点 M 任意转动时， 为定值？若存在，求
6、出定点 M 的坐标；若不l 221+|A存在，说明理由。19. 设 )(xf是定义在区间 ),1(上的函数，其导函数为 )(xf。如果存在实数 a和函数h，其中 对任意的 x都有 )(xh0，使得 )1(2xh，则称函数 具有性质 aP。(1)设函数 )(xf2ln()1b，其中 b为实数。(i)求证：函数 具有性质 ； (ii)求函数 )(xf的单调区间。(2)已知函数 g具有性质 ，给定 1212,设 m为实数，21)(xm， )(mx，且 ，若| )|0，故 h(x)e x2x 在(，1 上单调递增，则 h(x)h(1) e2，即 ae 2。15 证明：在四边形 中，因为 ， ，所以 ，
7、 ABCDABCDBAC又平面 平面 ，且平面 平面 ，1ACBD1ACBDAC平面 ，所以 平面 ，BD又因为 平面 ，所以 111在三角形 中，因为 ，且 为 中点，所以 ，ACBACEBBCAE又因为在四边形 中， ， ，D31D所以 ， ，所以 ，所以 ，60B30因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 C1AE1AE1D16. 解：（） 设 （ ） ，又(,0)Dtt2(,)C所以2,O所以 3 分2211| 1Ctt2()(0)tt所以当 时， 最小值为6 分t|OD2（）由题意得 ,(cos,in)Cx(cos1,in)mBCx则 221 2mn x9 分si()4因为 ,所以10
8、分02x54x所以当 ，即 时， 取得最大值 48sin(2)x1所以 时， 取得最小值 8x14mn 2所以 的最小值为 ，此时 14 分28xNMHGDCBAEF17. 解析：（1）作 于 ，作 于 ，交 于 ，CGAEFHABCGM作 于 ，则 ；BNCM在直角 中， ， ，4B60N则 ， ；23在直角 中，CF有 ；203tanMAEBx在直角 中，BH有 ；183taFx tantatant()nCFBHC；22031836108xx再由题意可知：监理人员只能在 点右侧，即 7 分G(2, )x（2）由（1）得： ；2 23618tan31080x令 ，则 ；8tx(0, )t 2
9、 2 13tan332340(18)()10881402198t tt t，当且仅当 即 时，等号成立；此时， ；40t120t 120x又易知： 是锐角，即 ，而 在 是增函数；(, )tany(, )当 时， 取最大值 14 分1208x18. 19. 解析 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分。（1）(i) ()fx2211(1)()bxb 时， 0h恒成立，函数 )(xf具有性质 )(bP；(ii)（方法一）设222()1()14bxx， ()x与 f的符号相同。当210,4b时
10、， )0， f，故此时 在区间 ),1(上递增；当 时，对于 ，有 (f，所以此时 )(f在区间 ,上递增；当 时， ()x图像开口向上，对称轴 12bx，而 0，对于 1，总有 0， )(f，故此时 )(xf在区间 ),1(上递增；（方法二）当 2b时，对于 1， 220x所以 )(xf，故此时 x在区间 ,上递增；当 时， 图像开口向上，对称轴 1b，方程 ()的两根为：224,bb，而22244, (0,1)4b当2(1,)x时， ()x0， )(xf，故此时 )(xf在区间4,b上递减；同理得： 在区间2,上递增。综上所述，当 2时， )(xf在区间 ),1(上递增；当 时， 在 24
11、b上递减； )(xf在 24,)b上递增。(2)（方法一）由题意，得： ()(1ghxh又 )(xh对任意的 ,1(都有 0，所以对任意的 都有 0， )g在 (,)上递增。又 1212,)(m。当 ,m时， ，且11212()(),()()xxxm，综合以上讨论，得：所求 m的取值范围是（0，1） 。（方法二）由题设知， ()gx的导函数 2()(1)gxhx，其中函数 ()0hx对于任意的 ),1(x都成立。所以，当 时， 2 ，从而 g在区间 ,上单调递增。当 0,m时，有 1211()()m，12()xx，得 2,x，同理可得 12(,)x，所以由 gx的单调性知 )g、 ,g，从而有
12、| | )(21|，符合题设。当 0时， 2(1)m，12()(x，于是由 ,1及 ()gx的单调性知)gxg，所以| g| )(2|，与题设不符。当 m时，同理可得 12,，进而得| | 21|，与题设不符。因此综合、得所求的 的取值范围是（0，1） 。20 2）在数列a n中，若 am=a2k，则由 am+am+2=2am+1，得 23k-1+23k=2（2k+1）化简得43k-1=2k+1，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立若 am=a2k-1，则由 am+am+2=2am+1，得（2k-1）+（2k+1）=223 k-1化简得 k=3k-1，令 Tk （kN *），则 Tk+1Tk
13、13 12033kk因此，1=T 1T 2T 3，故只有 T1=1，此时 K=1，m=21-1=1正整数 m 的值为 1，因此2221() 303mmmT2341T所以只有 满足，此时2 2,La综上，存在正整数 和 ，使得 恰好分别是a n的 和121mS3a2数学 II 试题（附加题）1.解：设点 为曲线 上的任意一点，在矩阵 对应的变换作用0(,)xy1xy103M下得到的点为 ，则 ，所以 5 分(,)xy03x03xy所以曲线 在矩阵 对应的变换作用下得到的曲线为 ，110M 31xy8分 所围成的图形为菱形，其面积为 .10分232.（1） :0lxy，曲线 2:40Cxy；（2）
14、将21 xty（ 为参数）代入曲线 C 的方程，得 23=0t，212114ttt， 1243tPAB3解：设 Ai表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市” （i =1，2，13） 根据题意， ，且 2 分()1iP()ijjI（）设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染” ，则 58BA 4 分）58582()()13APA（）由题意可知，X 的所有可能取值为 0，1，2，且，3673671(1)()()()3PPAP1213121242 (A5(0)()()XPXX 的分布列为：X 0 1 2P 51343故 X 的 数学期望 105412013EX4. 解：（1） , ， 是 R 上的
15、的43()fxf 2()()0xx()fx单调增函数。,可设33(0),()20ffQ30()f在 递减，在 递增， ，4fx0,0,x0243()4!xfxf4,()0xRf（2）证明：用数学归纳法证明 有唯一解 且严格单调递增，)(12fn12n8 分无实数解。0)(2xfn当 n=1 时，此时 有唯一解 ，且严格单调递增，而xf1)(1无实数解，21)(2xf现在假设 有唯一解 且严格单调递增， 无实数解，0)(1fn12nx0)(2xfn无实数解，所以 恒成立，所以 单调增212(),=nfx 2()nfx21()nfx因为 ，当， ，21(0)nf1,x30, 0!()!)!所以所以有唯一解，21()nfx21n212121()()0)!nnnxfxf综上所述，对任意正整数 n,当为偶数时 无解，当为奇数 有唯0fn )(xfn一解 。nx
