1、14 统计与统计案例1.从编号为 150 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5枚来进行发射实验,若采用系统抽样方法,则所选取 5 枚导弹的编号可能是( ).A.5,10,15,20,25 B.3,13,23,33,43C.1,2,3,4,5 D.2,4,6,16,32解析 间隔距离为 10,故可能的编号是 3,13,23,33,43,故选 B.答案 B2.若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是( ).A.91.5 和 91.5 B.91.5 和 92C.91 和 91.5 D.92 和 92解析 这组数据由小到大排列为 87,89
2、,90,91,92,93,94,96,中位数是 =91.5,91+922平均数 = =91.5.87+89+90+91+92+93+94+968答案 A3.从 300 名学生(其中男生 180 人,女生 120 人)中按性别用分层抽样的方法抽取 50 人参加比赛,则应该抽取的男生人数为 .解析 因为男生与女生的比例为 180120 =32,所以应该抽取的男生人数为 50 =30.33+2答案 304.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验 .根据收集到的数据(如下表),由最小二乘法求得线性回归方程 =0.67x+54.9.零件数 x (个) 10 20 3
3、0 40 50加工时间y (min) 62 75 81 89现发现表中有一个数据看不清,请你推断出该数据的值为 .解析 由 =30,得 =0.6730+54.9=75. 设表中的模糊数字为 a,则 62+a+75+81+89=755,a= 68.答案 68能力 1 随机抽样的应用【例 1】 (1)在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示:若将运动员按成绩由好到差编号为 135,再用系统抽样方法从中抽取 7 人,则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是( ).A.3 B.4 C.5 D.6(2)我国古代数学专著九章算术中有一衰分问题:今有北乡八千一百人,西乡七
4、千四百八十八人,南乡六千九百一十二人,凡三乡,发役三百人,则北乡遣( ).A.104 人 B.108 人 C.112 人 D.120 人解析 (1)由题意知,将 135 号分成 7 组,每组 5 名运动员,成绩落在区间139,151内的运动员共有 4 组,故由系统抽样法知,共抽取 4 名 .故选 B.(2)由题意可知,这是一个分层抽样的问题,其中北乡可抽取的人数为 300 =300 =108,故选 B.81008100+7488+6912 810022500答案 (1)B (2)B1.(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较大 .(2)使用系统抽样时,若总体容量不能被样本容量整除,
5、可以先从总体中随机地剔除几个个体,从而确定分段间隔 .2.分层抽样问题类型及解题思路(1)求某层应抽的个体数量:按该层所占总体的比例计算 .(2)已知某层个体数量求总体容量或反之:根据分层抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算 .(3)确定是否应用分层抽样:分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况 .1.将参加夏令营的 600 名学生按 001,002,600 进行编号 .采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为003.这 600 名学生分别住在三个营区,从 001 到 300 在第 营区,从301 到 495 在第 营区,从 496 到 600 在第 营区,则三个营区被
6、抽中的人数依次为( ).A.26,16,8 B.25,17,8C.25,16,9 D.24,17,9解析 由题意及系统抽样的定义可知,将这 600 名学生按编号依次分成 50 组,每一组各有 12 名学生,第 k(kN *)组抽中的号码是3+12(k-1).令 3+12(k-1)300,得 k ,因此第 营区被抽中的人1034数是 25;令 3000.5.而前 4 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21=0.480,故 2011 年至 2017 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加 0.5 千元 .将 2020 年的年份代号 t=10 代入(1)中的线性回归方程
7、,得=0.510+3.3=8.3,故预测该地区 2020 年农村居民家庭人均纯收入为 8.3 千元 .能力 4 独立性检验【例 5】 微信是现代生活中人们进行信息交流的重要方式,某公司 200 名员工中 90%的人使用微信,其中每天使用微信时间在一小时以内的有 60 人,若将员工分成青年(年龄小于 40 岁)和中年(年龄不小于 40 岁)两个阶段,则使用微信的人中 75%是青年人 .若规定每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信,则经常使用微信的员工中有 是青年人 .23(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系,列出 22 列联表:青年人 中年人 合计经常使用微信不经常使用
8、微信合计(2)根据 22 列联表中的数据利用独立性检验的方法判断是否有 99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关” .附: K2= ,n=a+b+c+d.(-)2(+)(+)(+)(+)P(K2 k0) 0.010 0.001k0 6.635 10.828解析 (1)由已知可得,该公司员工中使用微信的有20090%=180(人) .经常使用微信的有 180-60=120(人),其中青年人有 120 =80(人),23使用微信的人中,青年人有 18075%=135(人),故 22 列联表如下:青年人中年人 合计经常使用微信 80 40 120不经常使用微信 55 5 60合计 135 45
9、180(2)将列联表中数据代入公式可得K2的观测值 k= 13 .333.180(805-5540)21206013545由于 13.33310.828,所以有 99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关” .1.比较两个分类变量有关联的可能性大小的方法:(1)通过计算 K2的大小判断: K2越大,两变量有关联的可能性越大 .(2)通过计算 |ad-bc|的大小判断: |ad-bc|越大,两变量有关联的可能性越大 .2.独立性检验的一般步骤:(1)根据样本数据制成 22 列联表 .(2)根据公式 K2= ,n=a+b+c+d 计算 K2的观(-)2(+)(+)(+)(+)测值 k.(3)比较
10、 k 与临界值的大小关系,做统计推断 .为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如表所示:性别 是否需要志愿者 男 女需要 40 30不需要 160 270(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例 .(2)能否有 99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”?(3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例?说明理由 .附:P(K2 k0) 0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828K2= ,n=a+b+c+d
11、.(-)2(+)(+)(+)(+)解析 (1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,所以该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为100%=14%.70500(2)K2的观测值 k= 9 .967.500(40270-30160)220030070430因为 9.9676.635,所以有 99%的把握认为“该地区的老年人是否需要帮助与性别有关” .(3)由(2)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再采用分层抽样方法进行抽样调查
12、,比采用简单随机抽样方法更好 .一、选择题1.某工厂平均每天生产某种机器零件 10000 件,要求产品检验员每天抽取 50 件零件,检查其质量状况,采用系统抽样方法抽取,将零件编号为 0000,0001,0002,9999,若抽取的第一组中的号码为 0010,则在第三组中抽取的号码为( ).A.0210 B.0410C.0610 D.0810解析 将零件分成 50 段,分段间隔为 200,因此,在第三组中抽取的号码为 0010+2200=0410,故选 B.答案 B2.某市 2017 年各月的平均气温()数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是( ).A.19 B.20C.21.5 D.23解析
13、 由茎叶图知所有的数据为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32,中间两个数为 20,20,故中位数为 20,故选 B.答案 B3.某中学有高中生 3500 人,初中生 1500 人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从高中生中抽取 70 人,则 n 的值为( ).A.100 B.150 C.200 D.250解析 (法一)由题意可得 = ,解得 n=100.70-7035001500(法二)由题意得抽样比为 = ,总体容量为 3500+1500=5000,703500150故 n=5000 =100,故选 A.150答
14、案 A4.下列说法错误的是( ).A.回归直线过样本点的中心( , ) B.线性回归方程对应的直线 = x+ 至少经过其样本数据点( x1,y1), (x2,y2),(xn,yn)中的一个点C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高D.在回归分析中, R2为 0.98 的模型比 R2为 0.80 的模型拟合的效果好解析 回归直线必过样本点的中心,A 正确;由残差分析可知残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高,C 正确;在回归分析中, R2越接近于 1,拟合效果越好,D 正确;线性回归方程对应的直线 = x+ 一定经过样本点的中心( , ),但不一定经
15、过样本 的数据点,所以 B 错误,故选 B.答案 B5.在“青春校园歌手大赛”比赛现场上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶图如图所示,则去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( ).A.85 和 6.8 B.85 和 1.6C.86 和 6.8 D.86 和 1.6解析 剩余的数据为 83,83,84,85,90,平均分 = =85,83+83+84+85+905所以方差 s2= (83-85)2+(83-85)2+(84-85)2+(85-85)2+(90-1585)2=6.8,故选 A.答案 A6.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表:x 1 2 3 4 5 6y 0
16、 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得的线性回归方程为 = x+ .若某同学根据上 表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为 y=bx+a,则以下结论正确的是( ).A. b, a B. b, a D. a,故选 C. 答案 C二、填空题7.已知样本数据 x1,x2,xn的平均数 =5,则样本数据2x1+1,2x2+1,2xn+1 的平均数为 . 解析 由 x1,x2,xn的平均数 =5,得 2x1+1,2x2+1,2xn+1的平均数为 2 +1=25+1=11.答案 118.某单位为了了解用电量 y(kWh)与气温 x()之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天气温,并
17、制作了对照表:气温() 18 12 10 0用电量(kWh) 27 34 37 62由表中数据得线性回归方程 = x+ 中的 =-2,预测当气温为 -4 时,用电量约为 kWh. 解析 根据题意知 = =10, = =40.因18+12+10+04 27+34+37+624为回归直线过样本点的中心,所以 =40-(-2)10=60,所以当 x=-4时, =(-2)(-4)+60=68,所以用电量约为 68 kWh.答案 689.某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中,上学所需时间的范围是0,100,样本数据分组为0,20),20,
18、40),40,60),60,80),80,100,则(1)图中的 x= ; (2)若上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿,则该校600 名新生中估计有 名学生可以申请住宿 . 解析 (1)由频率分布直方图知 20x=1-20(0.025+0.0065+0.003+0.003),解得 x=0.0125.(2)上学时间不少于 1 小时的学生的频率为(0 .003+0.003)20=0.12,因此估计有 0.12600=72(人)可以申请住宿 .答案 (1)0.0125 (2)72三、解答题10.某省会城市地铁将于 2019 年 6 月开始运营,为此召开了一个价格听证会,拟定价格后又进
19、行了一次调查,随机抽查了 50 人,他们的月收入与态度如下表:月收入 (单位 :百元 )15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75赞成定价者人数1 2 3 5 3 4认为价格偏高者人数4 8 12 5 2 1(1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入,求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留 2 位小数);(2)由以上统计数据填写下面 22 列联表,分析是否有 99%的把握认为“月收入以 5500 元为分界点对地铁定价的态度有差异” .月收入不低于5500 元的人数月收入低于5500 元的人数合计认为价格偏高者赞成定价
20、者合计附: K2= ,n=a+b+c+d.(-)2(+)(+)(+)(+)P(K2 k0) 0.05 0.01k0 3.841 6.635解析 (1)“赞成定价者”的月平均收入为x1=201+302+403+505+603+7041+2+3+5+3+450 .56.“认为价格偏高者”的月平均收入为x2=204+308+4012+505+602+7014+8+12+5+2+1=38.75, “赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是 x1-x2=50.56-38.75=11.81(百元) .(2)根据条件可得 22 列联表如下:月收入不低于5500 元的人数月收入低于5500 元的人数合计认为价格偏高者 3 29 32赞成定价者 7 11 18合计 10 40 50K2的观测值 k= 6 .2726.635,50(311-729)210401832 没有 99%的把握认为“月收入以 5500 元为分界点对地铁定价的态度有差异” .
