1、2019 高三二轮精品【新课标文科】热点七 几何体与球切、接的问题1.练高考1.【2017 课标 3，文理】已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A B 4C 2D 4【答 案】B【解析】2. 【2016 高考新课标 3 理数】在封闭的直三棱柱 内有一个体积为 V的球，若 ABC，6AB， 8C， 1A，则 V的最大值是（ ）（A）4 （B） 92 （C）6 （D） 32 【答案】B【解析】要使球的体积 V最大，必须球的半径 R最大由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值 32，此时球的体积为 ，故选 B3.【2017
2、 课标 II，文 15】长方体的长、宽、高分别为 3,21，其顶点都在球 O的球面上，则球 的表面积为 .【答案】 14.【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以 4.【2018 年全国卷文理】设 是同一个半径为 4 的球 的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为A B C D 【答案】B【解析】如图所 示，点 M 为三角形 ABC 的重心，E 为 AC 中点 ，当 平面 时，三棱锥 体积最大此时，,点 M 为三角形 ABC 的重心中，有故选 B.5.【2017 课标 1，文 16】已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径若平面S
3、CA平面 SCB，SA=AC，SB =BC，三棱锥 S-ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为_【答案】 366.【2017 天津，文理】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 . 【答案】 92 【解析】设正方体边长为 a ，则 ， 外接球直径为 .2.练模拟1. 【河南省实验中学 2019 届高三模拟三】如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A B C D【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体为直三棱柱，并且为棱长是 4 的正方体的一半可得：该几何体的外接球的半径 r2 该几何体的外接球的表面积4 48故选：C2
4、.【2018 届河南省南阳市第一中学校高三第七次】已知三棱锥 PABC的两个顶点均在某球面上， P为该球的直径， ABC是边长为 4 的等边三角形，三棱锥 的体积为 163 ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. 163 B. 40 C. 63 D. 80【答案】D【解析】设 D为 ABC外接圆圆心，则三棱锥的外 接球球心 O 满足 D垂直平面 ABC，所以,选 D. 3.【四川省南充市 2019 届高三第一次适应】将边长 为 2 的正 沿高 折成直二面角 ，则三棱锥 的外接球的表面积是（ ）A B C D【答案】D【解析】根据题意可知三棱锥 B-ACD 的三条侧棱 BD、DC、DA 两两互
5、相垂直，所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，所以求出长方体的对角线的长为： ，所以球的直径是 ，半径为 ，所以球的表面积为： 故选 D4.【2018 届河北省张家口市高三上学期期末】体积为 8的正方体 内有一个体积为 V的球，则 V的最大值为（ ）A. 8 B. 4 C. 823 D. 4【答案】D【解析】要使球的体积 V最大，则球为正方体的内切球， 正方体的体积为 8， 正方体的棱长为 2， 内切球的半径为 1，体积为 ，故选 D. 5面积为 32的正六边形的六个顶点都在球 O的球面上，球心 到正六边形所在平面的距离为 2，记球 O的体积为 V，球 的表面积为 S，则 V的值是（ ）A
6、 2 B 1 C 3 D 2【答案】B【解析】设正六边形的边长为 a，则 ，球 O的半径 ， ，故选 B6.【2018 届江西省赣州市高三上学期期末】中国古代数学经典九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥为鳖臑，若三棱锥 PAC为鳖臑，且 PA平面 BC， ，又该鳖臑的外接球的表面积为 34，则该鳖臑的体积为_【答案】 6【解析】因为外接球的表面积为 34，所以 ,将鳖臑补成长方体,长宽高为3,3,h，则鳖臑的外接球直径为长方体对角线,即3.练原创1. 某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )A. 3 B. 4 C. 2
7、D. 5俯视图正视图 侧视图【答案】A【解析】原几何体是一个棱长为 2的正四面体，可以看做是一个棱长为 1 的正方体截去四个角后余下的几何体，其外接球与正方体的外接球相同，故其直径为 2R 3，表面积为 S4R 2(2 R)23 .选 A2.已知四面体 PABC中, 4， 7A， , PA平面 PBC,则四面体的内切球半径与外接球半径的比（ ） A. 216B. 328C. 3216D. 28 【答案】 C【解析】如图 1，由已知及勾股定理得， PBC 为等边三角形， ABC 为等腰三角形.所以， ，表面积 163，设内切球半径为 r， ，所以， ， 34r；如图 2， PBC 所在的小圆的直
8、径 因此大圆直径 故内切球半径与外接球半径的比为 3216，选 C.3.如图，正方体 的棱长为 3，以顶点 A为球心，2 为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面积相交所得到的两段弧之和等于（ ）A 56 B 23 C D 76【答案】A【解析】由球的性质知，圆弧 GF是以 B圆心， 1为半径的圆上的一段弧，圆弧 EF是以 A圆心， 2为半径的圆上的一段弧因为 GBF，所以圆弧 长等于在 RtA中， ，所以同理得所以所以圆弧 EF长等于所以两段圆弧 之和为故答案选 A4.三棱锥 SBC的所有顶点都在球 O的表面上， SA平面 BC， A，又 ，则球 O的表面积为 .【答案】 3【解析】由题意得：三棱锥 SABC为棱长为 1 的正方体内一个三棱锥，所以球 O为正方体的外接球，直径为正方体对角线长 3，因此球 O的表面积为5.已知三棱锥 D中， ， 直线 AD与底面 BC所成角为 3，则此时三棱锥外接球的表面积为 【答案】 8.
