1、考点规范练 50 双曲线考点规范练 B 册第 35 页 基础巩固1.(2018 湖南湘潭模拟)若双曲线 =1(a0)的一条渐近线与直线 y= x 垂直,则此双曲线的实轴长2229 13为( )A.2 B.4 C.18 D.36答案 C解析 双曲线的一条渐近线的方程为 y=- x,所以- =-1,解得 a=9,所以双曲线的实轴长为 2a=18,故3 313选 C.2.设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26,若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距513离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( )A. =1 B. =1242232 2132252C. =1
2、 D. =1232242 21322122答案 A解析 由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F1(-5,0),F2(5,0),设曲线 C2 上的一点 P,则|PF 1|-|PF2|=8.由双曲线的定义知 a=4,b=3.故曲线 C2 的标准方程为 =1.2422323.当双曲线 M: =1(-2m0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 作 x 轴的垂线交双曲线于 A,B 两点,若2222AF 2B1.220,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,以 F1F2 为直径的圆与双曲线渐近线的一2222个交点为(3,4),则此双曲线的方程为( )A. =1 B. =121629 2324C.
3、 =1 D. =129216 2423答案 C解析 点(3,4)在以|F 1F2|为直径的圆上, c=5,可得 a2+b2=25. 又 点(3,4)在双曲线的渐近线 y= x 上, . =43 联立解得 a=3,b=4,可得双曲线的方程为 =1.292166.设 F1 和 F2 为双曲线 =1(a0,b0)的两个焦点,若 F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲2222线的渐近线方程是 ( )A.y= x B.y= x33 3C.y= x D.y= x217 213答案 B解析 F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,设 F1(-c,0),F2(c,0),则|F 1P|=
4、 ,2+42 =2c.2+42 c2+4b2=4c2, c2+4(c2-a2)=4c2. c2=4a2,即 c=2a,b= a.2-2=3 双曲线的渐近线方程为 y= x,即为 y= x.故选 B. 37.(2018 江苏,8)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 =1(a0,b0)的右焦点 F(c,0)到一条渐近线2222的距离为 c,则其离心率的值是 . 32答案 2解析 双曲线的渐近线方程为 y= x,即 bxay=0.所以双曲线的焦点 F(c,0)到渐近线的距离为 =b,解得 b= c,|0|2+2= 32因此 a2=c2-b2=c2- c2= c2,a= c,e=2.34 14 1
5、28.(2018 江西省六校联考)双曲线 C: -y2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线交双曲线左支于24A,B 两点,则|AF 2|+|BF2|的最小值为 . 答案 9解析 由双曲线的定义,得|AF 2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a2 +4a=2 +8=9.2 129.设 A,B 分别为双曲线 =1(a0,b0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为 4 ,焦点到渐近线的距2222 3离为 .3(1)求双曲线的方程;(2)已知直线 y= x-2 与双曲线的右支交于 M,N 两点,且在双曲线的右支上存在点 D,使 =t33 +,求 t 的值及点
6、D 的坐标.解 (1)由题意知 a=2 ,故可得一条渐近线方程为 y= x,即 bx-2 y=0,所以 .所以 b2=3,323 3 |2+12=3所以双曲线的方程为 =1.21223(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入双曲线方程得 x2-16 x+84=0,3则 x1+x2=16 ,y1+y2=12.3故 解得00=433,2012-203=1, 0=43,0=3. 由 =t ,得(16 ,12)=(4 t,3t),故 t=4,点 D 的坐标为(4 ,3).+ 3 3 310.已知点 M(-2,0),N(2
7、,0),动点 P 满足条件|PM|-|PN|=2 ,记动点 P 的轨迹为 W.2(1)求 W 的方程 ;(2)若 A 和 B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 的最小值 .解 (1)由|PM|-|PN|= 2 知动点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支 ,实半轴长 a= .2 2又焦距 2c=4,所以虚半轴长 b= .2-2=2所以 W 的方程为 =1(x ).2222 2(2)设 A,B 的坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2).当 ABx 轴时,x 1=x2,y1=-y2,从而 =x1x2+y1y2= =2. 2121当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程
8、为 y=kx+m(k1),与 W 的方程联立,消去 y 得(1-k 2)x2-2kmx-m2-2=0,则 x1+x2= ,x1x2= ,21-2 2+22-1所以 =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2= +m2(1+2)(2+2)2-1 +2221-2= =2+ .22+22-1 42-1又因为 x1x20,所以 k2-10.所以 2.综上所述,当 ABx 轴时, 取得最小值 2.能力提升11.已知点 F1,F2 是双曲线 C: =1(a0,b0)的左、右焦点,O 为坐标原点,点 P 在双曲线 C 的右支2222上,且满足
9、|F 1F2|=2|OP|,|PF1|3|PF 2|,则双曲线 C 的离心率的取值范围为 ( )A.(1,+) B.102,+)C. D.(1,102 (1,52答案 C解析 由|F 1F2|=2|OP|,可得|OP|=c ,则PF 1F2 为直角三角形,且 PF1PF 2,可得|PF 1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由双曲线定义可得|PF 1|-|PF2|=2a.又|PF 1|3|PF 2|,所以|PF 2|a,所以(|PF 2|+2a)2+|PF2|2=4c2,化为(|PF 2|+a)2=2c2-a2,即有 2c2-a24a 2,可得 c a,102由 e= 1 可得 10,b0)的
10、左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线的右支上,且|PF 1|=4|PF2|,2222则此双曲线的离心率 e 的最大值为 . 答案53解析 由定义,知|PF 1|-|PF2|=2a.又|PF 1|=4|PF2|, |PF1|= a,|PF2|= a.83 23在PF 1F2 中,由余弦定理,得 cos F 1PF2=6492+492-4228323= e2.17898要求 e 的最大值,即求 cos F 1PF2 的最小值, 当 cos F 1PF2=-1 时,得 e= ,即 e 的最大值为 .53 5314.已知双曲线 C:x2-y2=1 及直线 l:y=kx-1.(1)若 l 与
11、C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围;(2)若 l 与 C 交于 A,B 两点,O 是坐标原点,且 AOB 的面积为 ,求实数 k 的值.2解 (1)双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点,则方程组 有两个不同的实数根,整理得(1-k 2)2-2=1,=-1x2+2kx-2=0.故 1-20,=42+8(1-2)0,解得- |x2|时,S OAB=SOAD-SOBD= (|x1|-|x2|)= |x1-x2|;12 12当 A,B 在双曲线的两支上且 x1x2 时,SOAB=SODA+SOBD= (|x1|+|x2|)= |x1-x2|.12 12故 SOAB= |x1-x2|= ,
12、12 2即(x 1-x2)2=(2 )2,即 =8,2 (-21-2)2+ 81-2解得 k=0 或 k= .62又- 0,b10)和椭圆 C2: =1(a2b20)均过点 P ,且221221 222+222 (233,1)以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形.(1)求 C1,C2 的方程;(2)是否存在直线 l,使得 l 与 C1 交于 A,B 两点,与 C2 只有一个公共点,且| |=| |?证明你的结+论.解 (1)设 C2 的焦距为 2c2,由题意知,2c 2=2,2a1=2.从而 a1=1,c2=1.因为点 P 在双曲线 x2- =1 上,(
13、233,1) 221所以 =1.故 =3.(233)2121 21由椭圆的定义知2a2= =2 .(233)2+(1-1)2+(233)2+(1+1)2 3于是 a2= =2.3,22=2222故 C1,C2 的方程分别为 x2- =1, =1.23 23+22(2)不存在符合题设条件的直线. 若直线 l 垂直于 x 轴,因为 l 与 C2 只有一个公共点,所以直线 l 的方程为 x= 或 x=- .2 2当 x= 时,易知 A( ),B( ,- ),所以| |=2 ,| |=2 .2 2, 3 2 3 + 2 3此时,| | |.+当 x=- 时,2同理可知,| | |.+ 若直线 l 不垂
14、直于 x 轴,设 l 的方程为 y=kx+m.由 =+,2-23=1得(3-k 2)x2-2kmx-m2-3=0.当 l 与 C1 相交于 A,B 两点时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是上述方程的两个实根,从而 x1+x2= ,x1x2= .23-2 2+32-3于是 y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2= .32-322-3由 得(2 k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.=+,23+22=1因为直线 l 与 C2 只有一个公共点,所以上述方程的判别式 =16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得 2k2=m2-3,因此 =x1x2+
15、y1y2= 0,2+32-3+32-322-3=-2-32-3于是 +2 -2 ,2+2 2+2即| |2| |2,+B故| | |.+综合 可知,不存在符合题设条件的直线.高考预测16.已知双曲线 =1 的左焦点为 F,右顶点为 A,虚轴的一个端点为 B,若 ABF 为等腰三角形,则该2222双曲线的离心率为( )A.1+ B. C. D.3 5 3 2答案 A解析 由题意得 F(-c,0),A(a,0),不妨设 B(0,b),则|BF|= c,|AF|=a+cc,|AB|= =c,2+2 2+2 ABF 为等腰三角形 , 只能是|AF|=|BF|, a+c= .2+2 a2+c2+2ac=c2+c2-a2. c2-2a2-2ac=0,即 e2-2e-2=0,e=1+ (舍去负值),选 A.3
