1、考查角度 2 最值和取值范围问题分类透析一 利用函数的性质求最值例 1 如图,已知抛物线 x2=y,点 A ,B ,抛物线上的点(-12,14) (32,94)P(x,y) .过点 B 作直线 AP 的垂线 ,垂足为 Q.(-12b0)的一个焦点是 F(1,0),且离心2222率为 .12(1)求椭圆 C 的方程;(2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0,y0),求 y0的取值范围 .分析 (1)由焦点坐标知 c=1,由离心率知 a=2,进而可求得 b2,得到椭圆方程;(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为 Q
2、(x3,y3),讨论直线 MN 的斜率 k,当斜率存在时,设出直线 MN 的方程,代入椭圆方程,由根与系数的关系,得到 x3,y3与 k 的关系,再求出线段 MN 的垂直平分线,从而求出 y0及其取值范围 .解析 (1)依题意,得 c=1.因为椭圆 C 的离心率为 e= ,12所以 a=2c=2,b2=a2-c2=3.故椭圆 C 的方程为 + =1.2423(2)当 MN x 轴时,显然 y0=0.当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y=k(x-1)(k0) .由 消去 y 并整理得(3 +4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.=(-1),24+23=1, 设 M(x
3、1,y1),N(x2,y2),线段 MN 的中点为 Q(x3,y3),则 x1+x2= .823+42所以 x3= = ,y3=k(x3-1)= .1+22 423+42 -33+42故线段 MN 的垂直平分线的方程为 y+ =- x- .33+42 1 423+42在上述方程中,令 x=0,得 y0= = .3+42 13+4当 k0 时, +4k4 ,当且仅当 =4k,k= 时,等号成立 .3 3 3 32所以 - y0 0,即 |b|0 时的最小值即可 .当 t0 时, f(t)= (4+t2) = ,18 (4+)18(3+8+16)f(t)= = (3t4+8t2-16)= (3t2
4、-4)(t2+4).18(32+8-162) 182 182当 0 时, f(t)0,f(t)为增函数 .233所以当 t0 时,函数 f(t)在 t= 时取得最小值 f = .233 (233)1639因为 f(t)为偶函数,所以当 t 0,即 m2m2,解得 0 0,解得 m .2-13 12 所求 m 的取值范围是 .(12,2)2.(2018 届安徽省黄山市一模)设 F1、 F2分别是椭圆 +y2=1 的左、右24焦点 .(1)若 P 是第一象限内该椭圆上的一点,且 =- ,求点 P 的坐1 254标;(2)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B,且 AOB为锐
5、角(其中 O 为坐标原点),求直线 l 的斜率 k 的取值范围 .解析 (1)易知 a=2,b=1,c= , 3F 1(- ,0),F2( ,0).设 P(x,y)(x0,y0),3 3则 =(- -x,-y)( -x,-y)=x2+y2-3=- .又 +y2=1,1 2 3 354 24联立 由 x0,y0,得2+2=74,24+2=1, =1,=32,故点 P 的坐标为 . (1,32)(2)显然 k=0 不满足题意,故设直线 l 的方程为 y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),联立 消去 y,整理得(1 +4k2)x2+16kx+12=0.24+2=1,=+2,x 1x2=
6、,x1+x2=- .121+4+2 161+42由 = (16k)2-4(1+4k2)120,得 k2 . 34又 AOB 为锐角, cos AOB0, 0, =x1x2+y1y20.y 1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,x 1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2) +2k121+42+4= 0, 0b0)2222过点 ,且两个焦点的坐标为( -1,0),(1,0).(1,22)(1)求椭圆 E 的方程;(2)若 A,B,P(点 P 不与椭圆顶点重合)为 E 上的三个不同的点, O 为坐标原点,且 = + ,求 AB
7、 所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值 .解析 (1)由已知得 c=1,2a= + =2 ,4+12 12 2a= ,b=1,故椭圆 E 的方程为 +y2=1.222(2)设直线 AB 的方程为 x=my+t(m0),代入 +y2=1,得( m2+2)22y2+2mty+t2-2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=- ,y1y2= ,= 8(m2-t2+2).22+2 2-22+2设 P(x0,y0),由 = + ,得 y0=y1+y2=-,x0=x1+x2=my1+t+my2+t=m(y1+y2)+2t= .22+2 42+2 点 P 在椭圆 E 上, + =1
8、,即1622(2+2)2 422(2+2)2=1, 4t2=m2+2.42(2+2)(2+2)2在 x=my+t 中,令 y=0,则 x=t;令 x=0,则 y=- . 所求三角形的面积S= |xy|= = = |m|+ 2 = ,12 12 2|18 2+2| 18 2| 18 2 24当且仅当 m2=2,t2=1 时取等号,此时 = 240, 所求三角形面积的最小值为 .244.(安徽省马鞍山市 2018 届高三第二次教学质量监测)在直角坐标系中,已知点 A(-2,0),B(2,0),两动点 C(0,m),D(0,n),且 mn=3,直线 AC与直线 BD 的交点为 P.(1)求动点 P
9、的轨迹方程;(2)过点 F(1,0)作直线 l 交动点 P 的轨迹于 M,N 两点,试求 的取值范围 .解析 (1)直线 AC 的方程: y= (x+2), 2直线 BD 的方程: y=- (x-2), 2上述两式相乘得 y2=- (x2-4).4又 mn=3,整理得 + =1.2423由 mn=3 得 m0, n0,故 x 2.所以动点 P 的轨迹方程为 + =1(x 2).2423(2)当直线 MN 的斜率不存在时, M ,N 1,- ,有 = ,(1,32) 32 (0,32)= ,(0,-32)得 =- .94当直线 MN 的斜率存在时,设其方程为 y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),联立 整理得(4 k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,24+23=1,=(-1),则 x1+x2= ,x1x2= .8242+3 42-1242+3故 =x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=(1+k2)x1x2-(x1+x2)+1=(1+k2)=- =- - .(42-1242+3- 8242+3+1) 9(2+1)42+3 94 94(42+3)由 k20,可得 -3- - - ,94 94(42+3) 94综上可得 的取值范围为 . (-3,-94
