1、考点规范练 16 导数的综合应用考点规范练 B 册第 9 页 一、基础巩固1.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=-与 x=1 处都取得极值.(1)求 a,b 的值及函数 f(x)的单调区间;(2)若对于 x-1,2, 不等式 f(x)f(2)=2+c,解得 c2. c 的取值范围为( -,-1)(2,+).2.设函数 f(x)=ax2-a-ln x,g(x)= ,其中 aR ,e=2.718为自然对数的底数.1(1)讨论 f(x)的单调性 ;(2)证明:当 x1 时,g(x) 0;(3)确定 a 的所有可能取值,使得 f(x)g(x)在区间(1, +)内恒成立 .(1)解 f
2、(x)=2ax- (x0).1=22-1当 a0 时,f (x)0 时,由 f(x)=0 有 x= .12当 x 时,f (x)0,f(x)单调递增.(12,+)(2)证明 令 s(x)=ex-1-x,则 s(x)=ex-1-1.当 x1 时,s(x) 0,所以 ex-1x,从而 g(x)= 0.1 1-1(3)解 由(2),当 x1 时,g( x)0.当 a0,x 1 时,f(x )=a(x2-1)-ln xg(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有 a0.当 01.12 12由(1)有 f 0,(12) ( 12)所以此时 f(x)g(x)在区间(1,+)内不恒成立.当 a 时,令 h(x)
3、=f(x)-g(x)(x1).12当 x1 时,h (x)=2ax- -e1-xx-1+12 1+121= 0.3-2+12 2-2+12因此,h(x) 在区间(1,+)内单调递增.又因为 h(1)=0,所以当 x1 时,h(x)=f(x)-g (x)0,即 f(x)g(x)恒成立.综上,a .12,+)3.已知函数 f(x)=(x-k)ex+k,kZ.(1)当 k=0 时,求函数 f(x)的单调区间;(2)若当 x(0,+)时,不等式 f(x)+50 恒成立,求 k 的最大值 .解 (1)当 k=0 时,f(x) =xex, f(x)=ex+xex=ex(x+1), 当 x(-,-1)时,f
4、 (x)0; f(x)在(- ,-1)内是减函数,在(-1,+) 内是增函数.(2)不等式 f(x)+50 恒成立( x-k)ex+k+50 在 x(0,+) 时恒成立 ,令 F(x)=(x-k)ex+k+5,F(x)=ex(x-k+1)(xR),当 x(-,k- 1)时,f(x )0; f(x)在(- ,k-1)内是减函数,在 (k-1,+)内是增函数. 若 k-10,即 k1,当 x(0,+) 时,F (x)F(0)0.而 F(0)=50 恒成立 , k1 符合题意. 若 k-10,即 k1,当 x(0, +)时,只需 F(x)min=F(k-1)=-ek-1+5+k0 即可.令 h(k)
5、=-ek-1+5+k,h(k)=1-ek-10,h(3)=-e2+80,h(4)=-e3+90,故 f(x)在(0,+)单调递增.若 a0;(0,- 12)当 x 时,f(x )0;当 x(1, +)时,g(x)0 时,g( x)0.从而当 a0;2 2当 x(-1+ ,+)时,f( x)0),因此 h(x)在0,+)内单调递减,而 h(0)=1,故 h(x)1,所以 f(x)=(x+1)h(x)x+ 1ax+ 1.当 00(x0),所以 g(x)在0,+) 内单调递增,而 g(0)=0,故exx+1.当 0(1-x)(1+x )2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取
6、 x0= ,5-4-12则 x0(0,1),(1-x 0)(1+x0)2-ax0-1=0,故 f(x0)ax0+1.当 a0 时,取 x0= ,5-12则 x0(0,1),f(x 0)(1-x0)(1+x0)2=1ax 0+1.综上,a 的取值范围是1,+).6.(2018 全国 ,文 21)已知函数 f(x)= x3-a(x2+x+1).(1)若 a=3,求 f(x)的单调区间;(2)证明:f(x) 只有一个零点.(1)解 当 a=3 时,f( x)= x3-3x2-3x-3,f(x)=x2-6x-3.令 f(x)=0,解得 x=3-2 或 x=3+2 .3 3当 x(-,3-2 )(3+2
7、 ,+)时,f (x)0;3 3当 x(3 -2 ,3+2 )时,f(x) 0,所以 f(x)=0 等价于 -3a=0.32+1设 g(x)= -3a,则 g(x)= 0,仅当 x=0 时 g(x)=0,所以 g(x)在(-,+ )32+1 2(2+2+3)(2+1)2单调递增,故 g(x)至多有一个零点,从而 f(x)至多有一个零点.又 f(3a-1)=-6a2+2a- =-6 0,故 f(x)有一个零点.13 (-16)216 13综上,f(x )只有一个零点.7.(2018 广东茂名二模)已知函数 f(x)=ln x+ (x-1)2.(1)判断 f(x)的零点个数 ;(2)若函数 g(x
8、)=ax-a,当 x1 时 ,g(x)的图象总在 f(x)的图象的下方,求 a 的取值范围.解 (1)f(x)=ln x+ (x-1)2 的定义域为(0, +),f(x)= +x-1, +x2, f(x)10,1 1 f(x)在(0,+)上为增函数,又 f(1)=0, f(x)在(0,+)上只有一个零点.(2)由题意,当 x1 时, (x-1)2+ln x-ax+a0 恒成立.12令 h(x)= (x-1)2+ln x-ax+a,12则 h(x)=x+ -1-a.1当 a1 时, h(x)=x+ -1-a1-a0,1 h(x)在(1,+)上为增函数.又 h(1)=0, h(x)0 恒成立.当
9、a1 时,h (x)= ,2-(1+)+1令 (x)=x2-(1+a)x+1,则 =(1+a)2-4=(a+3)(a-1)0.令 (x)=0 的两根分别为 x1,x2 且 x10,x1x2=10, 0-.(1)解 由已知,f(x)=x (ln x-x),当 x=1 时,f(x)=-1,f(x)=ln x+1-2x,当 x=1 时,f (x)=-1,所以所求切线方程为 x+y=0.(2)证明 由已知可得 f(x)=ln x+1-2ax=0 有两个相异实根 x1,x2,令 h(x)=f(x),则 h(x)= -2a, 若 a0,则 h(x)0,h(x)单调递增,f(x)=0 不可能有两根; 若 a0,令 h(x)=0 得 x= ,可知 h(x)在 上单调递增,在 上单调递减,令12 (0,12) (12,+)f 0,解得 012 (12) 2从而当 00,所以 x1f(1)=-a- .12
