1、中档题专练(二)1.(2017 镇江高三期末) 在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos A+acos B=-2ccos C.(1)求 C 的大小;(2)若 b=2a,且ABC 的面积为 2 ,求 c.32.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,O,E 分别为 B1D,AB 的中点.(1)求证:OE平面 BCC1B1;(2)求证:平面 B1DC平面 B1DE.3.在数列a n中,a 1=1,且对任意的 kN *,a2k-1,a2k,a2k+1成等比数列,其公比为 qk.(1)若 qk=2(kN *),求 a1+a3+a5+a2k-1;(2)若对任意的 kN
2、 *,a2k,a2k+1,a2k+2成等差数列,其公差为 dk,设 bk= .11求证b k成等差数列,并指出其公差 ;若 d1=2,试求数列 dk的前 k 项的和 Dk.答案精解精析1.解析 (1)由正弦定理 = = ,且 bcos A+acos B=-2ccos C 得: sin Bcos A+sin Acos B=-2sin Ccos C,所以 sin(B+A)=-2sin CcosC.又 A,B,C 为三角形内角 ,所以 B+A=-C,所以 sin C=-2sin Ccos C.因为 C(0,),所以 sin C0.所以 cos C=- ,12所以 C= .23(2)因为ABC 的面积
3、为 2 ,3所以 absin C=2 ,所以 ab= .12 3 43由(1)知 C= ,所以 sin C= ,23 32所以 ab=8.又 b=2a,解得 a=2,b=4,所以 c2=a2+b2-2abcos C=22+42-224 =28,(12)所以 c=2 .72.证明 (1)连接 BC1,设 BC1B1C=F,连接 OF,因为 O,F 分别是 B1D 与 B1C 的中点,所以 OFDC,且 OF= DC,又 E 为 AB 的中点,所以12EBDC,且 EB= DC,12从而 OFEB,OF=EB,即四边形 OEBF 是平行四边形,所以 OEBF,又 OE平面BCC1B1,BF平面 B
4、CC1B1,所以 OE平面 BCC1B1.(2)因为 DC平面 BCC1B1,BC1平面 BCC1B1,所以 BC1DC,又 BC1B 1C,且 DC,B1C面B1DC,DCB1C=C,所以 BC1面 B1DC,而 BC1OE,所以 OE面 B1DC,又 OE面 B1DE,所以面 B1DC 面 B1DE.3.解析 (1)因为 qk=2,所以 =4,故 a1,a3,a5,a2k-1是首项 a1=1,公比为 4 的等比数列,所以2+121a1+a3+a5+a2k-1= = (4n-1).141413(2)因为 a2k,a2k+1,a2k+2成等差数列 ,所以 2a2k+1=a2k+a2k+2,而
5、a2k= ,a2k+2=a2k+1qk+1,所以 +qk+1=2,2+1 1所以 bk+1= = =bk+1,即 bk+1-bk=1,1+11 1所以b k成等差数列 ,其公差为 1.因为 d1=2,所以 a3=a2+2,即 =a1a3=a2+2,22所以 a2=2 或 a2=-1.(i)当 a2=2 时,q 1= =2,所以 b1= =1,所以 bk=1+(k-1)1=k,即 =k,得 qk= .所以 = =21 111 11 +1 2+1212,(+1)2a2k+1= a1=(k+1)2,a2k= =k(k+1),(+1)2(1)2 (21)2 2+1所以 dk=a2k+1-a2k=k+1,Dk= = .(2+1)2 (+3)2(ii)当 a2=-1 时,q 1= =-1,所以 b1= =- ,bk=- +(k-1)1=k- ,21 111 12 12 32即 =k- ,得 qk= .所以 = = ,11 32 1232 2+1212(1232)2a2k+1= a1=(2k-1)2,a2k= =(2k-1)(2k-3),(1232)2(3252)2 (112132)2 2+1所以 dk=a2k+1-a2k=4k-2,Dk= =2k2.(2+42)2综合得 Dk= 或 Dk=2k2.(+3)2
