1、第 5 讲 万有引力与天体运动选择题(每小题 6 分,共 84 分)1.(2018 北京密云一模)GPS 导航系统可以为陆、海、空三大领域提供实时、全天候和全球性的导航服务,它由周期约为 12 小时的卫星群组成。则 GPS 导航卫星与地球同步卫星相比( )A.地球同步卫星的角速度大B.地球同步卫星的轨道半径小C.GPS 导航卫星的线速度大D.GPS 导航卫星的向心加速度小2.(2018 北京理综,17,6 分)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律,在已知月地距离约为地球半径 60 倍的情况下,需要验证( )A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 1/602B.
2、月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 1/602C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 1/6D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 1/603.(2018 宁夏银川一模,3)过去几千年来,人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内,行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动,周期约为 4 天,轨道半径约为地球绕太阳运动半径的 。该中心恒星的质量与太120阳的质量的比值约为( )A. B.1 C.5 D.101104.登上火星是人类的梦想,“嫦娥之父”欧阳自远透露:中国计划于 2020 年登陆火星。地球和火星公转视为匀速
3、圆周运动,忽略行星自转影响。根据表,火星和地球相比( )行星 半径/m 质量/kg 轨道半径/m地球 6.4106 6.01024 1.51011火星 3.4106 6.41023 2.31011A.火星的公转周期较小B.火星做圆周运动的加速度较小C.火星表面的重力加速度较大D.火星的第一宇宙速度较大5.双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力的作用下,分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现,双星系统演化过程中,两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为 T,经过一段时间演化后,两星总质量变为原来的 k 倍,两星之间的距离变为原来的 n 倍
4、,则此时两星做圆周运动的周期为 ( )A. T B. T C. T D. T32 3 2 6.近年来,火星探索计划不断推进。如图所示,载人飞行器从地面发射升空,经过一系列的加速和变轨,在到达“近火星点”Q 时,需要及时制动,使其成为火星的卫星。之后,又在绕火星轨道上的“近火星点”Q 经过多次制动,进入绕火星的圆形工作轨道,最后制动,实现飞行器的软着陆,到达火星表面。下列说法正确的是( )A.飞行器在轨道和轨道上均绕火星运行,所以具有相同的机械能B.由于轨道与轨道都是绕火星运行,故飞行器在两轨道上运行具有相同的周期C.飞行器在轨道上从“远火星点”P 到 Q 的过程中,火星对飞行器的万有引力做正功
5、D.飞行器经过轨道和轨道上的 Q 时速率相同7.(2018 山西太原一模)我国即将展开深空探测,计划在 2020 年通过一次发射,实现火星环绕探测和软着陆巡视探测,已知太阳的质量为 M,地球、火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径分别为 R1和 R2,速率分别为 v1和 v2,地球绕太阳运行的周期为 T。当质量为 m 的探测器被发射到以地球轨道上的 A 点为近日点,火星轨道上的 B 点为远日点的轨道上围绕太阳运行时(如图),只考虑太阳对探测器的作用,则( )A.探测器在 A 点的加速度为211B.探测器在 B 点的加速度为4(1+2)2C.探测器在 B 点的动能为 m1222D.探测器沿椭圆轨道从
6、 A 飞行到 B 的时间为 T12(1+21)328.(2018 江西上饶六校一联)(多选)2017 年 11 月 8 日,“雪龙号”极地考察船驶离码头,开始了第 34 次南极考察之旅。“雪龙号”极地考察船在由我国驶向南极的过程中,经过赤道时测得某物体的重力是 G1;在南极附近测得该物体的重力为 G2。已知地球自转的周期为 T,引力常量为 G。假设地球可视为质量分布均匀的球体,且海水的密度和船的总质量均不变,由此可知( )A.“雪龙号”考察船在南极时的吃水深度与在赤道时相同B.“雪龙号”考察船在南极时的吃水深度比在赤道时大C.地球的密度为322(21)D.当地球的自转周期为 T 时,放在地球赤
7、道地面上的物体不再对地面有压力2129.(多选)假设地球可视为质量分布均匀的球体。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0,地球的半径为 R,地球的自转周期为 T,引力常量为 G,由此可知( )A.地球的质量为0B.地球表面赤道处的重力加速度大小为 g0-422C.近地卫星在轨运行的加速度大小为 g0D.地球同步卫星在轨道上运行的加速度大小为316402410.(2018 山东菏泽一模)(多选)某天文爱好者想计算地球表面到月球表面的距离,他通过查阅,知道了地球质量 M、半径 R、表面重力加速度 g1,月球半径 r、表面重力加速度 g2,月球绕地球运动的线速度 v、月球绕地球运动的周期 T,光的
8、传播速度 c,引力常量 G。用激光器向位于头顶正上方的月球表面发射出激光光束,经过 t 时间接收到从月球表面反射回来的激光信号,该天文爱好者利用以上数据得出了多个计算地球表面与月球表面之间的距离 s的表达式,其中正确的是( )A.s= ctB.s= -r-R12 2C.s= -r-R D.s= -r-R3242 32224211.(2018 江西上饶模拟)太空中进行开采矿产资源项目,必须建立“太空加油站”。假设“太空加油站”正在地球赤道平面内的圆周轨道上运行,其离地球表面的高度为同步卫星离地球表面高度的十分之一,且运行方向与地球自转方向一致。下列说法中正确的是( )A.“太空加油站”运行的加速
9、度等于其所在高度处的重力加速度B.“太空加油站”运行的速度大小等于同步卫星运行速度大小的 倍10C.站在地球赤道上的人观察到“太空加油站”向西运动D.在“太空加油站”工作的宇航员因不受重力而在舱中悬浮或静止12.(多选)假设宇航员登陆火星后,测得火星半径是地球半径的 ,火星质量是地球质量的 。12 19已知地球表面的重力加速度为 g,地球的半径为 R,宇航员在地面上能向上竖直跳起的最大高度为 h,忽略自转的影响,下列说法中正确的是( )A.火星的密度为23B.火星表面的重力加速度为29C.火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度的比值为23D.宇航员在火星上以在地面上竖直起跳的速度起跳后,能达到
10、的最大高度为 h9413.(2018 安徽 A10 联盟联考)2018 年 1 月 12 日,我国成功发射北斗三号组网卫星。如图为发射卫星的示意图,先将卫星发射到半径为 r 的圆轨道上做圆周运动,到 A 点时使卫星加速进入椭圆轨道,到椭圆轨道的远地点 B 点时,再次改变卫星的速度,使卫星进入半径为 2r 的圆轨道。已知卫星在椭圆轨道时距地球的距离与速度的乘积为定值,卫星在椭圆轨道上 A点时的速度为 v,卫星的质量为 m,地球的质量为 M,引力常量为 G,则发动机在 A 点对卫星做的功与在 B 点对卫星做的功之差为(忽略卫星的质量变化)( )A. mv2- B. mv2-34 34 58 34C
11、. mv2+ D. mv2+34 34 58 3414.(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用,三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星做圆周运动,如图甲所示;另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行,如图乙所示。设这三个星体的质量均为 m,且两种系统中各星间的距离已在图甲、乙中标出,引力常量为 G,则下列说法中正确的是( )A.直线三星系统中环绕星体做圆周运动的线速度大小为B.直线三星系统中环绕星体做圆周运动的周期为 435C. 三角形三星系统中
12、每颗星做圆周运动的角速度为 233D.三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为32答案精解精析选择题1.C GPS 导航卫星周期小于地球同步卫星的周期,根据 =k 可知,地球同步卫星的轨道半径r3T2较大,由 = 知地球同步卫星的角速度较小,A、B 错误;根据 v= ,可知 GPS 导航卫星的2T GMr线速度较大,C 正确;根据 a= 可知,GPS 导航卫星的向心加速度较大,D 错误。GMr22.B 本题考查万有引力定律的应用。设地球半径为 R,质量为 M,月球绕地球公转轨道半径为 r。地球对地面附近的苹果的引力 G =mg,所以 g=G ;地球对月球的引力提供月球公转MmR2 MR2
13、的向心力,即 G =m 月 a,所以 a=G ;比较可知 a= g= g,故选项 B 正确。Mm月r2 Mr2 (Rr)2 16023.B 对行星“51 peg b”有 =m1 r1GM1m1r21 (2T1)2对地球有 =m2 r2GM2m2r22 (2T2)2联立解得 = M1M2(T2T1)2 (r1r2)3代入数据得 = 1M1M2(3654)2 (120)3因此 B 正确。4.B 设太阳质量为 M,行星质量为 m,太阳对行星的引力提供行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力, =m r,解得 T=2 ,由于 r 火 r 地 ,所以 T 火 T 地 ,A 错误;由 =ma 得行星GMmr2 (
14、2T)2 r3GM GMmr2绕太阳做匀速圆周运动的加速度 a= ,a 火 g 火 ,第一宇宙速度 v= ,代入数据,可知 v 地 v 火 ,C、D 错误。GmR5.B 设双星质量各为 m1、m 2,相距 L,做圆周运动的半径分别为 r1、r 2,则G =m1m1m2L2 4 2r1T2G =m2m1m2L2 4 2r2T2r1+r2=L可得 =G(m1+m2)L2 4 2LT2T=4 2L3G(m1+m2)所以 T= Tn3k故 B 正确,A、C、D 错误。6.C 飞行器由轨道在 Q 处必须制动才能进入轨道,所以飞行器在轨道上的机械能小于轨道上的机械能,故 A、D 错误。根据开普勒第三定律知
15、,轨道的半长轴比轨道的半径大,则飞行器在轨道上运行的周期小,故 B 错误。飞行器在轨道上从 P 到 Q 的过程中,火星对飞行器的万有引力与速度方向的夹角小于 90,则万有引力做正功,故 C 正确。7.A 根据 G =m =ma1,得探测器在 A 点的加速度 a1= ,故 A 正确。根据 G =ma2,得探测器MmR21 v21R1 v21R1 MmR22在 B 点的加速度 a2= ,故 B 项错误。探测器由椭圆轨道进入火星轨道需要在 B 点加速,则探GMR22测器在椭圆轨道上经 B 点的速率小于 v2,动能小于 m ,故 C 错误。设探测器在椭圆轨道上12v22的周期为 T,由开普勒第三定律可
16、得 = ,得 T= T,探测器沿椭圆轨道从 A 飞T2T2 R31(R1+R22)3 (R1+R22R1)32行到 B 的时间 t= T= T,故 D 项错误。12 12(R1+R22R1)328.ACD “雪龙号”考察船排开水的体积 V 排 = ,因为海水的密度和船的总质量均不变,m 海水则船排开海水的体积不变,故吃水深度不变,所以 A 项正确,B 项错误。设地球质量为 M,半径为 R,被测物体质量为 m,在赤道处有 G =G1+m R,在南极附近有 G2=G ,地球的体积MmR2 4 2T2 MmR2V= R 3,地球的密度 = ,解得 = ,故 C 项正确;当放在赤道上的物体不再对地面4
17、3 MV 3 G2GT2(G2-G1)有压力时有 G2=m R,可得 T= T,故 D 项正确。4 2T2 G2-G1G29.BCD 在地球表面两极处万有引力等于重力,则有 G =mg0,解得 M= ,故 A 错误;根据向MmR2 g0R2G心加速度表达式,则知赤道上物体向心加速度 a= 2R= ,所以地球表面赤道处的重力加4 2RT2速度为 g0- ,故 B 正确;近地卫星在轨道运行的加速度 a0= =g0,故 C 正确;同步卫星所受4 2RT2 GMR2万有引力提供向心力,有 G =m(R+h) =ma,解得 a= ,故 D 正确。Mm(R+h)2 (2T)2 316 4g0R2T410.
18、ABC 根据激光测距原理,由运动学公式可知 s= ct,A 项正确;由月球绕地球运动的线速12度、周期的关系有 v= ,解得 s= -r-R,B 项正确;由万有引力提供月球绕地球做2 (s+R+r)T vT2圆周运动的向心力,有 G =m (s+R+r),又 GM=g1R2,解得 s= -r-R= -mM(s+R+r)2 (2T)2 3GMT24 2 3g1R2T24 2r-R,C 项正确,D 项错误。11.A 根据 =mg=ma,知“太空加油站”运行的加速度等于其所在高度处的重力加速度,GMmr2选项 A 正确;“太空加油站”绕地球做匀速圆周运动,由地球的万有引力提供向心力,则有= ,得 v
19、= = ,“太空加油站”距地球表面的高度为同步卫星离地球表面高度的GMmr2mv2r GMr GMR+h十分之一,但“太空加油站”距地球球心的距离不等于同步卫星距地球球心距离的十分之一,选项 B 错误;角速度 = ,轨道半径越大,角速度越小,同步卫星和地球自转的角速度GMr3相同,所以“太空加油站”的角速度大于地球自转的角速度,所以站在地球赤道上的人观察到“太空加油站”向东运动,选项 C 错误;在“太空加油站”工作的宇航员只受重力作用,处于完全失重状态,靠万有引力提供向心力做圆周运动,选项 D 错误。12.AD 根据 = ,V= r 3,可得 = ,故 火 = 地 ,根据 GM 地 =gR2,
20、M 地 = R 3 地 ,可MV 43 3M4 r3 89 43得 地 = ,故 火 = ,选项 A 正确;星球表面的重力加速度为 g=G ,故火星表面的重3g4 GR 2g3 GR Mr2力加速度为 g,选项 B 错误;根据 mg=m 可得 v= ,火星的第一宇宙速度与地球的第一49 v2r gr宇宙速度的比值为 ,选项 C 错误;根据 2gh=v2可得 h= ,宇航员在火星上起跳后,能达到23 v22g的最大高度为 h,选项 D 正确。9413.B 由 G =m 可知,卫星在轨道半径为 r 的圆轨道上运动的线速度大小 v1= ,在半径MmR2 v2R GMr为 2r 的圆轨道上运动的线速度
21、大小 v2= ,设卫星在椭圆轨道上 B 点的速度为 vB,已知卫GM2r星在椭圆轨道时距地球的距离与速度的乘积为定值,则有 vr=vB2r,得卫星在椭圆轨道上B 点时的速度 vB= ,可知在 A 点时发动机对卫星做的功 W1= mv2- m ,在 B 点时发动机对卫星v2 12 12v21做的功 W2= m - m ,可得 W1-W2= mv2- ,B 正确。12v2212(v2)2 58 3GMm4r14.BD 在直线三星系统中,环绕星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供,根据万有引力定律和牛顿第二定律,有 G +G =m ,解得 v= ,A 项错误;由周m2L2 m2(2L)2 v2L 12 5GmL期 T= 知直线三星系统中环绕星体做圆周运动的周期为 T=4 ,B 项正确。同理,对2 rv L35Gm三角形三星系统中做圆周运动的星体,有 2G cos 30=m 2 ,解得 = ,C 项m2L2 L2cos30 3GmL3错误;由 2G cos 30=ma 得 a= ,D 项正确。m2L2 3GmL2
