1、19 直线与椭圆的综合1.直线 x+4y+m=0 交椭圆 +y2=1 于 A,B 两点,若线段 AB 中点的横坐216标为 1,则 m=( ).A.-2 B.-1 C.1 D.2解析 因为 x+4y+m=0,所以 y=- x- .14 4设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 两式相减 ,2116+21=1,2216+22=1,得 =- =- .1-21-2 1+216(1+2) 14因为 AB 中点的横坐标为 1,所以纵坐标为 ,将 代入直线 y=-14 (1,14)x- ,解得 m=-2,故选 A.14 4答案 A2.已知 F 是椭圆 + =1(ab0)的左焦点,经过原点的直线 l 与
2、椭圆2222E 交于 P,Q 两点,若 |PF|=2|QF|,且 PFQ=120,则椭圆的离心率为( ).A. B. C. D.13 12 33 22解析 在 PQF 中,设 |PF|=2|QF|=2t,P(x1,y1),Q(-x1,-y1),右焦点为 E,由椭圆的对称性,知四边形 PFQE 是平行四边形,所以在PEF 中,由余弦定理得 EF2=5t2-2t2=3t2=4c2.因为 PF+QF=2a=3t,所以t= ,所以 e= ,故选 C.23 33答案 C3.如图,在平面直角坐标系 xOy 中, F 是椭圆 + =1(ab0)的右焦点,2222直线 y= 与椭圆交于 B,C 两点,且 BF
3、C=90,则该椭圆的离心率是 .2解析 将 y= 代入椭圆的标准方程,2得 + =1,所以 x= a,22242 32故 B ,C .(-32,2) (32,2)又因为 F(c,0),所以 = , = .(+32,-2)(- 32,-2)因为 BFC=90,所以 =0,所以 + =0,(+32)(- 32)(-2)2即 c2- a2+ =0.34 24将 b2=a2-c2代入并化简,得 a2= c2,32所以 e2= = ,2223所以 e= (负值舍去) .63答案 634.直线 + =1 与椭圆 + =1 相交于 A,B 两点 ,该椭圆上有点 P,使得43 21629PAB 的面积等于 3
4、,则这样的点 P 共有 个 . 解析 设 P1(4cos ,3sin ) ,即点 P1在第一象(0b0)的一条弦所在的直线方程是 x-y+5=0,弦2222的中点坐标是 M(-4,1),则椭圆的离心率是( ).A. B. C. D.12 22 32 55解析 设直线与椭圆的交点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程,由点差法可知 yM=- xM,代入点 M(-4,1),解得 = ,e=22 2214= ,故选 C.1-22 32答案 C能力 2 会用“设而不解”的思想解直线与椭圆中的弦长、面积问题【例 2】 在平面直角坐标系 xOy 中,动点 M(x,y)总满足关系式2
5、=|x-4|.(-1)2+2(1)点 M 的轨迹是什么曲线?并写出它的标准方程 .(2)坐标原点 O 到直线 l:y=kx+m 的距离为 1,直线 l 与 M 的轨迹交于不同的两点 A,B,若 =- ,求 AOB 的面积 .32解析 (1)由 2 =|x-4|,(-1)2+2得 + =1,2423所以点 M 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆,它的标准方程为 + =1.2423(2)由点 O 到直线 l:y=kx+m 的距离为 1,得 d= =1,即|1+21+k2=m2.设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 消去 y,得(3 +4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,24+23=1,=
6、+,= (8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(3+4k2-m2)0,得 m2b0),2222由椭圆的定义可得 2a= +(3+2)2+1 (3-2)2+1= +8+43 8-43= +(6+2)2 (6- 2)2=2 ,6a= .6c= 2,b 2=2. 椭圆 C 的标准方程为 + =1.2622(2)设直线 l 的方程为 x=ky+2,代入椭圆 C 的方程并化简得( k2+3)y2+4ky-2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=- ,y1y2=- .42+3 22+3 OAB 的面积 S= |OF|y1-y2|=|y1-y2|12= = .162+8
7、(2+3)2+3 262+12+3令 t= (t1),则 S= = ,当且仅当 t= ,即2+1262+2 2622 3 2k=1 时取等号,此时直线 l 的方程为 x=y+2. 圆心 O 到直线 l 的距离 d= ,又圆 O 的半径为 ,故 |DE|=22 6=4.6-2能力 3 会用“设而不解”的思想求直线与椭圆中的有关几何量【例 3】 已知点 M(-4,0),椭圆 + =1(0b0)的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率2222 32为 k(k0)的直线与 相交于 A,B 两点 .若 =3 ,则 k=( ).A.1 B.2 C. D.3 2解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2), =3
8、 ,y 1=-3y2.e= ,设 a=2t,c= t,b=t,32 3x 2+4y2-4t2=0. 设直线 AB 的方程为 x=sy+ t,3代入 中消去 x,可得( s2+4)y2+2 sty-t2=0,3y 1+y2= ,y1y2=- .-232+4 22+4由 y1=-3y2可得 -2y2= ,-3 =- ,-232+4 22 22+4解得 s2= ,k= .故选 D.12 2答案 D能力 4 会用“设而不解”的思想求直线与椭圆中的最值【例 4】 已知椭圆 E: + =1(ab0)经过点 P ,椭圆2222 (- 3,12)的一个焦点为( ,0).3(1)求椭圆 E 的方程;(2)若直线
9、 l 过点(0, )且与椭圆 E 交于 A,B 两点,求 |AB|的最2大值 .解析 (1)设椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1(- ,0)、 F2( ,0),3 3则 |PF1|= ,|PF2|= .12 72|PF 1|+|PF2|=4=2a,a= 2.又 c= ,b 2=1,3 椭圆 E 的方程为 +y2=1.24(2)当直线 l 的斜率存在时,设 y=kx+ ,A(x1,y1),B(x2,y2),2由 得(1 +4k2)x2+8 kx+4=0,24+2=1,=+2 2由 0 得 4k21.x 1+x2= ,x1x2= ,-821+42 41+42|AB|= 1+2 (1+2)2-412
10、=2 .-6(11+42)2+ 11+42+1设 t= ,则 00,得 m20,0(3+42)-整理得 0),20 44+32164+242+90,b0)与直线 y=1-x 交于 A,B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 ,则 的值为( ).32 A. B.32 233C. D.932 2327解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 a +b =1,a +b =1,21 21 22 22即 a -a =-(b -b ),21 22 21 22则 =-1,21-2221-22 =-1,(1-2)(1+2)(1-2)(1+2) (-1) =-1, 32 = ,故选 B.233
11、答案 B2.已知经过点(0, )且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 +y2=1 有两个不同222的交点 P 和 Q,则 k 的取值范围是( ).A. (-22,22)B. (-, -22) (22,+ )C.(- , ) 2 2D.(- ,- )( ,+ )2 2解析 由题意得,直线 l 的方程为 y=kx+ ,代入椭圆方程得2+(kx+ )2=1,整理得 x2+2 kx+1=0.直线 l 与椭圆有两个不22 2 (12+2) 2同的交点 P 和 Q 等价于 = 8k2-4 =4k2-20,解得 k ,即(12+2) 22 22k 的取值范围为 .故选 B.(-, -22) (22,+ )答案
12、B3.经过椭圆 +y2=1 的一个焦点作倾斜角为 45的直线 l,交椭圆于 A,B22两点 .设 O 为坐标原点,则 等于( ).A.-3 B.-13C.- 或 -3 D.13 13解析 由题意知,当直线 l 经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为 y-0=tan 45(x-1),即 y=x-1,代入椭圆方程 +y2=1 并整理得223x2-4x=0,解得 x=0 或 x= ,所以两个交点的坐标分别为(0, -1), ,43 (43,13)所以 =- ,同理 ,当直线 l 经过椭圆的左焦点时 ,也可得 13 =- ,故选 B.13答案 B4.若椭圆 + =1 的焦点在 x 轴上,过点 作圆 x
13、2+y2=1 的切线,切2222 (1,12)点分别为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是( ).A. + =1 B. + =12423 2322C. + =1 D. + =12524 2825解析 可设斜率存在的切线的方程为 y- =k(x-1)(k 为切线的12斜率),即 2kx-2y-2k+1=0,由 =1,解得 k=- ,所以圆 x2+y2=1|-2+1|42+4 34的一条切线的方程为 3x+4y-5=0,可求得切点的坐标为 ,易知另(35,45)一切点的坐标为(1,0),则直线 AB 的方程为 y=-2x+2.令 y=0 得右焦点为(1,0),令 x=
14、0 得上顶点为(0,2),故 a2=b2+c2=5,所以所求椭圆的方程为 + =1,故选 C.2524答案 C5.已知椭圆 C 的方程为 + =1(m0),若直线 y= x 与椭圆的一个交21622 22点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F,则 m 的值为( ).A.2 B.2 C.8 D.22 3解析 根据已知条件得 c= ,则点16-2在椭圆 + =1(m0)上,( 16-2,2(16-2)2 ) 21622 + =1,可得 m=2 ,故选 B.16-21616-222 2答案 B6.已知直线 l:y=kx+2 过椭圆 + =1(ab0)的上顶点 B 和左焦点 F,2222且被
15、圆 x2+y2=4 截得的弦长为 L,若 L ,则椭圆离心率 e 的取值范455围是( ).A. B.(0,55) (0,255C. D.(0,355 (0,455解析 依题意,知 b=2,|kc|=2.设圆心到直线 l 的距离为 d,则L=2 ,解得 d2 .4-2455 165又因为 d= ,所以 ,解得 k2 .因为 e2= = = ,21+2 11+2 45 14 22 22+2 11+2所以 00,b0),若以 C1的211 2222长轴为直径的圆与 C2的一条渐近线交于 A,B 两点,且 C1与 C2的渐近线的两个交点将线段 AB 三等分,则 C2的离心率为( ).A. B.55C
16、. D.172147解析 设直线 AB 与椭圆在第一象限内的交点为 P,A( cos 11 , sin ),其中 ,11 (0,2)则 P .(113,113)因为点 P 在椭圆上,所以 + sin2= 1,解得 sin2= ,cos2= ,所以 tan = 2,29 119 45 15即 =2,所以 e= = ,故选 A. 1+()2 5答案 A8.已知椭圆 + =1(03,但当直线 AB 的斜率不存在时 ,|AB|=3,故33+42|AB|存在最小值 3,故 D 选项不对 .答案 D二、填空题11.已知椭圆 C: + =1(ab0),F( ,0)为其右焦点,过 F 且垂直于2222 2x
17、轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2,则椭圆 C 的方程为 .解析 由题意得 解得=2,22=2,2=2+2, =2,=2, 椭圆 C 的方程为 + =1.2422答案 + =1242212.已知直线 MN 过椭圆 +y2=1 的左焦点 F,与椭圆交于 M,N 两点,直22线 PQ 过原点 O 与 MN 平行,且 PQ 与椭圆交于 P,Q 两点,则 = .|2|解析 由题意知 F(-1,0),当直线 MN 斜率不存在时, |MN|= =22,|PQ|=2b=2,则 =2 .2|2| 2当直线 MN 斜率存在时,设直线 MN 的斜率为 k,则直线 MN 的方程为 y=k(x+1),设 M(x1,y
18、1),N(x2,y2),联立 整理得(2 k2+1)22+2=1,=(+1),x2+4k2x+2k2-2=0,由韦达定理得 x1+x2= ,x1x2= ,-4222+1 22-222+1所以 |MN|= |x1-x2|= =1+2 1+2 (1+2)2-412.22(2+1)22+1易知直线 PQ 的方程为 y=kx,设 P(x3,y3),Q(x4,y4),联立解得 x2= ,y2= ,22+2=1,=, 222+1 2222+1则 |OP|2=x2+y2= ,所以 |PQ|=2|OP|,则2(2+1)22+1|PQ|2=4|OP|2= , =2 .8(2+1)22+1|2| 2答案 2 2三
19、、解答题13.点 A 为椭圆 + =1(ab0)上的一个动点 ,弦 AB、 AC 分别过椭圆2222的左、右焦点 F1、 F2.当 AC x 轴时,恰好 |AF1|=2|AF2|.(1)求该椭圆的离心率 .(2)设 = 1 , = 2 , 1+ 2是否为定值?若是,则求出该1 12 2定值;若不是,请说明理由 .解析 (1)因为当 AC x 轴时,恰好 |AF1|=2|AF2|,由椭圆的定义知,2 a-|AF2|=2|AF2|,|AF2|= ,所以 2a- =2 ,2 2 2即 = ,2223故椭圆的离心率 e= = . 33(2)设椭圆的半焦距为 c,则 F1(-c,0),F2(c,0),椭
20、圆方程设为 +232=1,整理得 2x2+3y2-6c2=0.222设 A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),若直线 AC 的斜率存在,则直线 AC 的方程为 y= (x-c),00-联立 消去 x,=00-(-),22+32-62=0,得2( x0-c)2+3 y2+4cy0(x0-c)y-4c2 =0.20 20由韦达定理得 y0y2= ,-42202(0-)2+320y2= ,-4202(0-)2+320同理 y0y1= ,y1= .-42202(0+)2+320 -4202(0+)2+320由 = 1 得 y0=- 1y1,1 1则 1=- = .012(0+)2+32042由 = 2 得 2=- = ,2 2022(0-)2+32042所以 1+ 2= = =2(0-)2+320+2(0+)2+32042 2(220+320)+4242=4,262+4242故 1+ 2=4.若直线 AC x 轴,则 2=1, 1=3,所以 1+ 2=4.综上所述, 1+ 2=4 是定值 .
