1、06 三角恒等变换与解三角形1.已知 = ,则 tan + =( ).22(-4) 52 1A.- B.-818C. D.818解析 因为 = =-(cos + sin )= ,22(-4)2-2- 52所以 sin cos = ,18而 tan + = + = =8,故选 D.1 1答案 D2.在 ABC中,角 A,B,C所对的边长分别为 a,b,c,其中 ba且2asin(A+B)= c,则角 A等于( ).3A. B. 或3 3 23C. D. 或6 6 56解析 由诱导公式可得 sin(A+B)=sin( -C)=sin C,利用正弦定理可得 2sin Asin C= sin C,解得
2、 sin A= ,332即 A= 或 A= ,3 23又 ba,所以 A= ,故选 A.3答案 A3.在 ABC中, a,b,c分别是角 A,B,C的对边,若 a,b,c成等比数列,且 a2-ab=c2-ac,则 cos C的值为( ).A. B.-12 12C. D.-32 32解析 由 a,b,c成等比数列得 b2=ac,代入 a2-ab=c2-ac,得 a2+b2-c2=ab,则 cos C= = = ,故选 A.2+2-22 212答案 A4.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的 A处测得水柱顶端的仰角为 45,沿 A向北偏东 30方
3、向前进 100 m后到达 B处,在 B处测得水柱顶端的仰角为 30,则水柱的高度为 . 解析 如图所示, DC平面 ABC,AB=100 m, DBC=30, DAC=45, CAB=60.设 CD=h m,则 AC=h m,同理可得 BC= h m.3在 ABC中, BC2=AC2+AB2-2ACABcos 60,则( h)2=h2+1002-2h100 ,312化为 h2+50h-5000=0,解得 h=50,因此水柱的高度是 50 m.答案 50 m能力 1 能熟练进行三角恒等变换和求值【例 1】 (1)设 , ,且 tan = ,则( ).(0,2) (0,2) 1+A.3-= B.3
4、+=2 2C.2-= D.2+=2 2(2)已知 cos = , ,cos = , (0,),则(+4) 210 (0,2) 13cos(- 2 )的值为 . 解析 (1)由 tan = ,得 = ,即 sin cos 1+ 1+= cos + sin cos ,所以 sin(- )=cos .又 cos = sin ,(2-)所以 sin(- )=sin .(2-)因为 , ,(0,2) (0,2)所以 - 0, 0,0 . 2+9-223 2+9-426 9-326 3b+ca ,即 b+32b,b 3. 由 得 b的取值范围是( ,3). 313.在 ABC中,角 A,B,C的对边分别为
5、 a,b,c,且满足 = .2- (1)求角 A的正弦值;(2)若 a=2 ,求 ABC面积的最大值 .5解析 (1) = ,2- cos A=acos B.(2-)由正弦定理得 cos A=sin Acos B,(2-)整理得 2sin Ccos A-sin Bcos A=sin Acos B, 2sin Ccos A=sin Acos B+sin Bcos A=sin C.在 ABC中,sin C0, cos A= , sin A= .12 32(2)由余弦定理得 cos A= = ,2+2-22 12a= 2 .5b 2+c2-20=bc2 bc-20,bc 20,当且仅当 b=c时,取等号 . ABC的面积 S= bcsin A5 ,12 3 ABC面积的最大值为 5 .3
