1、考点规范练 40 空间点、直线、平面之间的位置关系考点规范练 B 册第 25 页 基础巩固1. 是一个平面,m,n 是两条直线,A 是一个点,若 m,n,且 Am,A,则 m,n 的位置关系不可能是( )A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行答案 D解析 是一个平面,m,n 是两条直线,A 是一个点,m,n, n 在平面 内. Am,A , A 是 m 和平面 相交的点, m 和 n 异面或相交,一定不平行 .2.在空间中,四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1l 2,l2l 3,l3l 4,则下列结论一定正确的是( )A.l1l 4B.l1l 4C.l1 与 l4 既不垂直也
2、不平行D.l1 与 l4 的位置关系不确定答案 D解析 如图,在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,取 l1 为 BC,l2 为 CC1,l3 为 C1D1.满足 l1l 2,l2l 3.若取 l4 为A1D1,则有 l1l 4;若取 l4 为 DD1,则有 l1l 4.因此 l1 与 l4 的位置关系不确定,故选 D.3.如图,=l ,A,B,C,且 Cl,直线 ABl=M,过 A,B,C 三点的平面记作 ,则 与 的交线必通过( )A.点 AB.点 BC.点 C 但不过点 MD.点 C 和点 M答案 D解析 AB,MAB, M. 又 =l,Ml , M.根据公理 3 可知,M 在 与
3、 的交线上,同理可知,点 C 也在 与 的交线上.4.如图,ABCD-A 1B1C1D1 是长方体,O 是 B1D1 的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M,则下列结论正确的是( )A.A,M,O 三点共线B.A,M,O,A1 不共面C.A,M,C,O 不共面D.B,B1,O,M 共面答案 A解析 连接 A1C1,AC,则 A1C1AC,所以 A1,C1,A,C 四点共面.所以 A1C平面 ACC1A1.因为 MA 1C,所以 M平面 ACC1A1.又 M平面 AB1D1,所以 M 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上.同理 A,O 在平面 ACC1A1 与平面 AB
4、1D1 的交线上,所以 A,M,O 三点共线.5.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 和 a,且长为 a 的棱与长为 的棱异面,则 a 的取值范围是( )2 2A.(0, ) B.(0, ) C.(1, ) D.(1, )2 3 2 3答案 A解析 此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为 a 的棱长一定大于 0 且小于 .26.l1,l2 表示空间中的两条直线,若 p:l1,l2 是异面直线,q: l1,l2 不相交,则( )A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件C.p 是 q 的充分必要条件D.p 既不是 q
5、 的充分条件,也不是 q 的必要条件答案 A解析 l1,l2 是异面直线 l1,l2 不相交,即 pq;而 l1,l2 不相交 l1,l2 是异面直线,即 q p.故 p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件.7.b 是平面 外一条直线,下列条件可得出 b 的是( )A.b 与 内一条直线不相交B.b 与 内两条直线不相交C.b 与 内无数条直线不相交D.b 与 内任意一条直线不相交答案 D解析 只有在 b 与 内所有直线都不相交,即 b 与 无公共点时,b.8.在四面体 ABCD 中,E,F 分别是 AC,BD 的中点.若 AB=2,CD=4,EFAB,则 EF 与 CD 所成角的度数
6、为( )A.90 B.45 C.60 D.30答案 D解析 如图,设 G 为 AD 的中点,连接 GF,GE,则 GF,GE 分别为ABD, ACD 的中位线.由此可得,GFAB ,且 GF= AB=1,GECD,且 GE= CD=2,12 12 FEG 或其补角即为 EF 与 CD 所成的角.又 EFAB,GFAB, EFGF.在 RtEFG 中,GF=1,GE=2,sin GEF= ,可得GEF=30,=12 EF 与 CD 所成角的度数为 30.9.过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A 作平面 ,使得正方体的各棱与平面 所成的角均相等,则满足条件的平面 的个数是( )A.1
7、B.4 C.6 D.8答案 B解析 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与 AA1,AD,AB 平行的直线各有 3 条,AA 1=AD=AB,A1-BDC1 是正三棱锥,AA 1,AD,AB 与平面 A1DB 所成角相等,则满足条件的平面有 4 个,故选 B.10.用 a,b,c 表示三条不同的直线, 表示平面,给出下列命题: 若 ab,bc,则 ac ; 若 ab,bc,则 ac ; 若 a,b,则 ab; 若 a,b,则 ab; 若 ab,bc,则 ac ; 若 abc,则 a,b,c 共面.其中真命题的序号是 . 答案 解析 由平行线的传递性(公理 4)知 正确; 举反例: 在同一
8、平面 内,ab,bc ,有 ac; 举反例: 如图的长方体中,a,b ,但 a 与 b 相交; 垂直于同一平面的两直线互相平行,知 正确; 显然正确; 由三棱柱的三条侧棱知 错.11.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E,F ,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1 的中点,求证:(1)B,C,H,G 四点共面 ;(2)几何体 A1GH-ABC 是三棱台;(3)平面 EFA1平面 BCHG.证明 (1) GH 是 A1B1C1 的中位线, GHB 1C1.又 B1C1BC, GHBC, B,C,H,G 四点共面.(2) A1G AB,12 AA1 与 BG 必相交.设交点为 P
9、,则 .1=1=12同理设 CHAA1=Q,则 ,1=12 P 与 Q 重合,即三条直线 AA1,GB,CH 相交于一点.又由棱柱的性质知平面 A1GH平面 ABC, 几何体 A1GH-ABC 为三棱台.(3) E,F 分别为 AB,AC 的中点 , EFBC. EF平面 BCHG,BC平面 BCHG, EF平面 BCHG. A1G EB, 四边形 A1EBG 是平行四边形, A1EGB. A1E平面 BCHG,GB平面 BCHG, A1E平面 BCHG. A1EEF=E, 平面 EFA1平面 BCHG.能力提升12.以下四个命题中, 不共面的四点中,其中任意三点不共线; 若点 A,B,C,D
10、 共面,点 A,B,C,E 共面,则点 A,B,C,D,E 共面; 若直线 a,b 共面,直线 a,c 共面,则直线 b,c 共面; 依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3答案 B解析 中显然是正确的; 中若 A,B,C 三点共线,则 A,B,C,D,E 五点不一定共面; 构造长方体或正方体,如图显然 b,c 异面,故不正确; 中空间四边形中四条线段不共面,故只有 正确.13.若空间三条直线 a,b,c 满足 ab,bc,则直线 a 与 c( )A.一定平行B.一定相交C.一定是异面直线D.一定垂直答案 D解析 两条平行线中一条与第三条直线垂直,另一
11、条直线也与第三条直线垂直,故选 D.14.(2018 广东茂名综合测试)如图为一正方体的平面展开图,在这个正方体中 ,有下列四个命题: AFGC; BD 与 GC 是异面直线,且夹角为 60; BDMN; BG 与平面 ABCD 所成的角为 45.其中正确的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 将平面展开图还原成正方体(如图) .对于 ,由图形知 AF 与 GC 异面垂直,故 正确;对于 ,BD 与 GC 是异面直线 .连接 EB,ED,则 BMGC,所以MBD(或其补角 )即为异面直线 BD 与 GC 所成的角.在等边三角形 BDM 中,MBD= 60,所以异面直线 BD
12、与 GC 所成的角为 60,故 正确;对于 ,BD 与 MN 为异面垂直 ,故 错误;对于 ,由题意,得 GD平面 ABCD,所以GBD 是 BG 与平面 ABCD 所成的角.但在 RtBDG 中,GBD45,故 错误.综上可得 正确.故选 B.15.已知 m,n,l 为不同直线, 为不同平面,给出下列命题,其中真命题的序号是 .(填上所有真命题的序号) ml,nlmn; m,nmn; m,n,mn; m, ,nmn; m 与 l 异面,n 与 l 异面m 与 n 异面; m 与 l 共面,n 与 l 共面m 与 n 共面.答案 解析 由平面的基本性质 4 知 正确;平行于同一平面的两条直线可
13、以平行、相交,也可以异面,故 错误;mn,故 为真命题; mn,故 为真命题;或 如图(1),长方体中,m 与 l 异面,n 1,n2,n3 都与 l 异面,但 n2 与 m 相交,n 1 与 m 异面,n 3 与 m 平行,故 为假命题;如图(2),长方体中,m 与 l 共面,n 与 l 共面,但 m 与 n 异面,故 为假命题.(1)(2)16.a,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a,b 都垂直,斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转,有下列结论: 当直线 AB 与 a 成 60角时,AB 与 b 成 30角; 当直线 AB 与 a 成
14、60角时,AB 与 b 成 60角; 直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45; 直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60.其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号 ) 答案 解析 由题意,AB 是以 AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线,由 ACa,ACb,得 AC圆锥底面,在底面内可以过点 B,作 BDa,交底面圆 C 于点 D,如图所示,连接 DE,则 DEBD, DEb.连接 AD,在等腰三角形 ABD 中,设 AB=AD= ,当直线 AB 与 a 成 60角时,ABD= 60,故 BD= .又在 Rt2 2BDE 中,BE= 2, DE= ,过点 B 作 BFDE,交圆 C
15、于点 F,连接 AF,由圆的对称性可知2BF=DE= , ABF 为等边三角形, ABF= 60,即 AB 与 b 成 60角, 正确, 错误.由最小角定2理可知 正确;很明显,可以满足直线 a平面 ABC,直线 AB 与 a 所成的最大角为 90, 错误.故正确的说法为 .17.在空间四边形 ABCD 中,E,H 分别是边 AB,AD 的中点,F,G 分别是边 BC,CD 的中点.求证:(1)BC 与 AD 是异面直线.(2)EG 与 FH 相交.证明 (1)假设 BC 与 AD 共面,不妨设它们所共平面为 ,则 B,C,A,D.所以四边形 ABCD 为平面图形,这与四边形 ABCD 为空间
16、四边形相矛盾,所以 BC 与 AD 是异面直线.(2)如图,连接 AC,BD,则 EFAC ,HGAC ,因此 EFHG.同理 EHFG ,则四边形 EFGH 为平行四边形.又 EG,FH 是EFGH 的对角线,所以 EG 与 FH 相交.高考预测18.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 是棱 D1D 的中点,点 F 在棱 B1B 上,且满足B1F=2BF.(1)求证:EFA 1C1;(2)在棱 C1C 上确定一点 G,使 A,E,G,F 四点共面,并求此时 C1G 的长.(1)证明 如图所示,连接 B1D1, ABCD-A1B1C1D1 为正方体, 四边形
17、A1B1C1D1 为正方形. A1C1B 1D1. BB1平面 A1B1C1D1, A1C1BB 1. B1D1BB1=B1, A1C1平面 BB1D1D. EF平面 BB1D1D, EFA 1C1.(2)解 如图所示,假设 A,E,G,F 四点共面,则 A,E,G,F 四点确定平面 AEGF, ABCD-A1B1C1D1 为正方体, 平面 AA1D1D平面 BB1C1C. 平面 AEGF平面 AA1D1D=AE,平面 AEGF平面 BB1C1C=GF, 由平面与平面平行的性质定理得 AEGF,同理可得 AFGE ,因此四边形 AEGF 为平行四边形, GF=AE.在 RtADE 中,AD=a,DE= DD1= ,ADE=90,12 2由勾股定理得 AE= a,2+2=2+(2)2=52在直角梯形 B1C1GF 中,下底 B1F= BB1= a,腰 B1C1=a,GF=AE= a,23 23 52过 G 作 GHBB 1 交 BB1 于 H.显然四边形 B1C1GH 为矩形,故有 C1G=B1H,GH=C1B1=a.在 RtFGH 中,FH=B 1F=C1G,GH=a.由勾股定理可得GF= a,2+(1-1)2=2+(23-1)2=52结合图形可知 C1GB1F,解得 C1G= a.16
