1、单元质检七 不等式、推理与证明(时间:45 分钟 满分:100 分)单元质检卷第 13 页 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 6 分,共 72 分)1.(2018 山东济宁期末)已知 a0,b0,且 成等差数列,则 a+9b 的最小值为( )1,12,1A.16 B.9 C.5 D.4答案 A解析 成等差数列, =1.1,12,1 1+1 a+9b=(a+9b) =10+ 10+ 2 =16,(1+1) +9 9当且仅当 ,且 =1,=9b 1+1即 a=4,b= 时等号成立.43故选 A.2.正弦函数是奇函数,f(x )=sin(x2+1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x2+1
2、)是奇函数.以上推理( )A.结论正确 B.大前提不正确C.小前提不正确 D.全不正确答案 C解析 因为 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数 ,所以小前提不正确.3.若 x,y 满足约束条件 则 z=x+2y 的取值范围是 ( )0,+-30,-20, A.0,6 B.0,4C.6,+) D.4,+)答案 D解析 画出约束条件 所表示的平面区域为图中阴影部分,0,+-30,-20由目标函数 z=x+2y 得直线 l:y=- x+ z,12 12当 l 经过点 B(2,1)时,z 取最小值,z min=2+21=4.又 z 无最大值,所以 z 的取值范围是4, +),故选 D.4.已知某个
3、命题与正整数 n 有关,如果当 n=k(kN *)时命题成立,那么可推得当 n=k+1 时命题也成立.现已知当 n=8 时该命题不成立 ,那么可推得( )A.当 n=7 时该命题不成立 B.当 n=7 时该命题成立C.当 n=9 时该命题不成立 D.当 n=9 时该命题成立答案 A解析 由题意可知,原命题成立则逆否命题成立.若命题对 n=8 不成立,则命题对 n=7 也不成立,否则若当 n=7 时命题成立,由已知必推得 n=8 时命题也成立 ,与当 n=8 时命题不成立矛盾, 故选 A.5.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放
4、入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案 B解析 若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球 ,则须保证抽到的两个球都是黑球; 又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,直到袋中所有球都被放入盒中时,抽到
5、两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,故选 B.6.已知 x,y 满足约束条件 当且仅当 x=y=4 时 ,z=ax-y 取得最小值,则实数 a 的取值范围-0,+-20,4, 是( )A.-1,1 B.(-,1)C.(0,1) D.(-,1)(1, +)答案 B解析 作出约束条件 所对应的平面区域如图阴影部分所示.-0,+-20,4 目标函数 z=ax-y 可化为 y=ax-z,可知直线 y=ax-z 的斜率为 a,在 y 轴上的截距为-z. z=ax-y 仅在点 A(4,4)处取得最小值, 斜率 a0 对满足 abc 恒成立,则 的取值范围是( )
6、1-+1-+-A.(-,0 B.(-,1) C.(-,4) D.(4,+)答案 C解析 变形得 0),即 x=80800+8 8008 800=8时等号成立,故选 B.10.(2018 山东烟台二模)已知 P(x,y)为区域 内的任意一点,当该区域的面积为 4 时,z=x-2-420,02y 的最小值是( )A.-5 B.-3 C.- D.02 2 2答案 A解析 画出不等式组表示的平面区域,如图所示,则 A(a,2a),B(a,-2a),SABO= |a|4a|=2a2=4,解得 a=- (正值舍去),12 2所以 A ,B .(- 2,-22) (- 2,22)由目标函数的几何意义可得,当
7、 z=x-2y 过点 B 时取得最小值,此时 z=x-2y=- -22 =-5 .2 2 2故选 A.11.若 ab0,且 ab=1,则下列不等式成立的是( )A.a+ log2(a+b)12B. log2(a+b)a+2 1C.a+ log2(a+b)1 2D.log2(a+b)a+12答案 B解析 不妨令 a=2,b= ,则 a+ =4, ,log2(a+b)=log2 (log 22,log24)=(1,2),即 log2(a+b)a+ .故选12 1 2=18 5 2 1B.12.已知任意非零实数 x,y 满足 3x2+4xy(x 2+y2)恒成立,则实数 的最小值为( )A.4 B.
8、5 C. D.115 72答案 A解析 依题意,得 3x2+4xy3x 2+x2+(2y)2=4(x2+y2)(当且仅当 x=2y 时等号成立).因此有 4,当且仅当 x=2y 时等号成立,32+42+2即 的最大值是 4,结合题意得 ,32+42+2 32+42+2故 4,即 的最小值是 4.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 7 分,共 28 分)13.观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10正方体 6 8 12猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是 . 答案 F+V-E=2解析 三棱柱中 5+6-9=2;五棱锥中 6+
9、6-10=2;正方体中 6+8-12=2;由此归纳可得 F+V-E=2.14.已知 f(x)=lg(100x+1)-x,则 f(x)的最小值为 . 答案 lg 2解析 f(x)=lg(100x+1)-x=lg 100+110=lg(10x+1 )lg 2,当且仅当 x=0 时等号成立,0- f(x)的最小值为 lg 2.15.如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数 ,那么对于区间 D 内的任意 x1,x2,xn,都有f .若 y=sin x 在区间(0,)内是凸函数,则在ABC 中,sin A+sin (1)+(2)+() (1+2+ )B+sin C 的最大值是 . 答案332解析 由题意
10、,知凸函数 f(x)满足(1)+(2)+()f .(1+2+ ) y=sin x 在区间(0,) 内是凸函数, sin A+sin B+sin C3sin =3sin .+3 3=33216.已知实数 x,y 满足约束条件 则 23x+2y 的最大值是 . 0,2-1,答案 32解析 设 z=3x+2y,由 z=3x+2y,得 y=- x+ .32 2作出不等式组 对应的平面区域如图阴影部分所示,0,2-1由图象可知当直线 y=- x+ 经过点 B 时,直线 y=- x+ 在 y 轴上的截距最大,此时 z 也最大.32 2 32 2由 =,2-=1,解得 即 B(1,1).=1,=1,故 zmax=31+21=5,则 23x+2y 的最大值是 25=32.
