1、考点规范练 56 坐标系与参数方程考点规范练 B 册第 42 页 一、基础巩固1.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数),椭圆 C 的参数方程为=1+12,=32 ( 为参数).设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.=,=2解 椭圆 C 的普通方程为 x2+ =1.24将直线 l 的参数方程 (t 为参数) 代入 x2+ =1,得 =1,=1+12,=32 24 (1+12)2+(32)24即 7t2+16t=0,解得 t1=0,t2=- .167所以 AB=|t1-t2|= .1672.在平面直角坐标系 xOy 中,将曲线 C1:
2、x2+y2=1 上的所有点的横坐标伸长为原来的 倍,纵坐标伸长3为原来的 2 倍后,得到曲线 C2;以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程是 (2cos -sin )=6.(1)写出曲线 C2 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程;(2)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离 d 最大,并求出此最大值.解 (1)由题意知,曲线 C2 方程为 =1,故曲线 C2 的参数方程为 ( 为参数).(3)2+(2)2 =3,=2直线 l 的直角坐标方程为 2x-y-6=0.(2)设 P( cos ,2sin ),3则点 P 到直线 l 的距离为d
3、= ,|23-2-6|5 =|4(60-)-6|5故当 sin(60-)=-1 时,d 取到最大值 2 ,此时取 =150,点 P 坐标是 .5 (-32,1)3.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ( 为参数, R), 在以坐标原点为极=,y=1+点,x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:sin .(- 4)=2(1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程;(2)若曲线 C1 和曲线 C2 相交于 A,B 两点,求|AB|的值.解 (1)由 x2+(y-1)2=1,=,=1+ =,-1=由 sin sin - cos = y-x=2,(- 4)=22
4、2 22 2即 C2:x-y+2=0.(2) 直线 x-y+2=0 与圆 x2+(y-1)2=1 相交于 A,B 两点,又 x2+(y-1)2=1 的圆心(0,1),半径为 1, 圆心到直线的距离 d= ,|0-1+2|12+(-1)2=22 |AB|=2 .12-( 22)2=24.(2018 全国 ,文 22)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ( 为参数),直线 l 的参=2,=4数方程为 (t 为参数).=1+,=2+(1)求 C 和 l 的直角坐标方程 ;(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2), 求 l 的斜率.解 (1)曲线 C 的直角坐标方程为
5、 =1.24+216当 cos 0 时,l 的直角坐标方程为 y=tan x+2-tan ,当 cos =0 时,l 的直角坐标方程为 x=1.(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程,整理得关于 t 的方程 (1+3cos2)t2+4(2cos +sin )t-8=0. 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内,所以 有两个解 ,设为 t1,t2,则 t1+t2=0.又由 得 t1+t2=- ,故 2cos +sin =0,4(2+)1+32于是直线 l 的斜率 k=tan =-2.5.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数).在以坐
6、标原点 O 为极点,x 轴=42,=4正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线 C2 的极坐标方程为 cos .(+4)=22(1)把曲线 C1 的参数方程化为普通方程,C 2 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若曲线 C1,C2 相交于 A,B 两点,AB 的中点为 P,过点 P 作曲线 C2 的垂线交曲线 C1 于 E,F 两点,求|PE|PF|的值.解 (1)消去参数可得 C1:y2=4x,C2:x-y-1=0.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),且 AB 的中点为 P(x0, y0),联立 可得 x2-6x+1=0.2=4,-1=0 x1+x2=6,x1x2=1,0=1+22 =
7、3,0=2. AB 中垂线的参数方程为 (t 为参数) . =3- 22,=2+22y2=4x. 将 代入 中,得 t2+8 t-16=0, t1t2=-16.2 |PE|PF|=|t1t2|=16.二、能力提升6.(2018 全国 ,文 22)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的方程为 y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 2+2cos -3=0.(1)求 C2 的直角坐标方程;(2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点,求 C1 的方程.解 (1)由 x=cos ,y=sin 得 C2 的直角坐标方程为(x+1) 2+y2=4
8、.(2)由(1)知 C2 是圆心为 A(-1,0),半径为 2 的圆.由题设知,C 1 是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线.记 y 轴右边的射线为 l1,y 轴左边的射线为 l2,由于 B 在圆 C2 的外面,故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与C2 有两个公共点,或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点 .当 l1 与 C2 只有一个公共点时,A 到 l1 所在直线的距离为 2,所以 =2,故 k=- 或 k=0.经检验,当 k=0 时,l 1 与 C2 没有公共点;当 k=- 时,l 1 与 C2
9、只|-+2|2+1 43 43有一个公共点,l 2 与 C2 有两个公共点.当 l2 与 C2 只有一个公共点时,A 到 l2 所在直线的距离为 2,所以 =2,故 k=0 或 k= ,经检验,当 k=0 时,l 1 与 C2 没有公共点; 当 k= 时,l 2 与 C2 没有公|+2|2+1 43 43共点.综上,所求 C1 的方程为 y=- |x|+2.437.已知直线 C1: (t 为参数), 圆 C2: ( 为参数).=1+,y= =,=(1)当 = 时,求 C1 被 C2 截得的线段的长;3(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线 ,垂足为 A,当 变化时,求点 A 轨迹的参数方程,并
10、指出它是什么曲线.解 (1)当 = 时,C 1 的普通方程为 y= (x-1),C2 的普通方程为 x2+y2=1.3 3联立方程组 =3(-1),2+2=1, 解得 C1 与 C2 的交点坐标为(1,0)与 .(12,- 32)故 C1 被 C2 截得的线段的长为 =1.(1-12)2+(0+32)2(2)将 C1 的参数方程代入 C2 的普通方程得 t2+2tcos =0,设直线 C1 与圆 C2 交于 M,N 两点,M ,N 两点对应的参数分别为 t1,t2,则点 A 对应的参数 t= =-cos ,1+22故点 A 的坐标为(sin 2,-cos sin ).故当 变化时,点 A 轨迹
11、的参数方程为 ( 为参数) .=2,=-因此,点 A 轨迹的普通方程为 +y2= .(-12)2 14故点 A 的轨迹是以 为圆心 ,半径为 的圆.(12,0) 12三、高考预测8.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 sin2=acos (a0),过点 P(-2,-4)的直线 l 的参数方程为 (t 为参数),直线 l=-2+22,=-4+22与曲线 C 相交于 A,B 两点.(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;(2)若|PA| |PB|=|AB|2,求 a 的值 .解 (1) sin2=acos (a0), 2sin2=acos (a0),即 y2=ax(a0).直线 l 的参数方程消去参数 t,得普通方程为 y=x-2.(2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 y2=ax(a0)中,得 t2- (a+8)t+4(a+8)=0,2设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2,则 t1+t2= (a+8),t1t2=4(a+8).2 |PA|PB|=|AB|2, t1t2=(t1-t2)2. (t1+t2)2=(t1-t2)2+4t1t2=5t1t2,即 (8+a)2=20(8+a),2解得 a=2 或 a=-8(不合题意,应舍去), a 的值为 2.
