1、考点规范练 40 直线、平面垂直的判定与性质考点规范练 B 册第 27 页 一、基础巩固1.若平面 平面 ,平面 平面 =直线 l,则( )A.垂直于平面 的平面一定平行于平面 B.垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 C.垂直于平面 的平面一定平行于直线 lD.垂直于直线 l 的平面一定与平面 , 都垂直答案 D解析 对于 A,垂直于平面 的平面与平面 平行或相交,故 A 错;对于 B,垂直于直线 l 的直线与平面 垂直、斜交、平行或在平面 内,故 B 错;对于 C,垂直于平面 的平面与直线 l 平行或相交,故 C 错;易知 D 正确.2.设 为平面,a,b 为两条不同的直线,则下列叙述正确
2、的是( )A.若 a,b,则 ab B.若 a,ab,则 bC.若 a,ab,则 b D.若 a,ab,则 b答案 B解析 如图(1),知 A 错;如图(2)知 C 错; 如图(3), aa ,a,ba,知 D 错;由线面垂直的性质定理知B 正确.3.如图,在四面体 D-ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列结论正确的是( )A.平面 ABC平面 ABDB.平面 ABD 平面 BDCC.平面 ABC平面 BDE,且平面 ADC平面 BDED.平面 ABC平面 ADC,且平面 ADC平面 BDE答案 C解析 因为 AB=CB,且 E 是 AC 的中点,所以 BEAC
3、.同理有 DEAC,于是 AC平面 BDE.因为 AC 在平面 ABC 内,所以平面 ABC平面 BDE.又因为 AC平面 ACD,所以平面 ACD平面 BDE,故选 C.4.已知 l,m,n 是三条不同的直线, 是不同的平面,则 的一个充分条件是( )A.l,m,且 lmB.l,m,n,且 lm,lnC.m,n,mn,且 lmD.l,lm,且 m答案 D解析 对于 A,l,m,且 lm,如图(1), 不垂直;对于 B,l,m,n,且 lm,ln,如图(2), 不垂直;图(1)图(2)对于 C,m,n,mn,且 lm ,直线 l 没有确定,则 , 的关系也不能确定;对于 D,l,lm,且 m
4、,则必有 l,根据面面垂直的判定定理知, .5.在空间四边形 ABCD 中,ADBC,ADBD ,且 BCD 是锐角三角形 ,则必有( )A.平面 ABD平面 ADC B.平面 ABD平面 ABCC.平面 ADC平面 BDC D.平面 ABC平面 BDC答案 C解析 ADBC,ADBD ,BCBD=B, AD平面 BDC.又 AD平面 ADC, 平面 ADC平面 BDC.故选 C.6.如图,已知ABC 为直角三角形,其中ACB= 90,M 为 AB 的中点,PM 垂直于ABC 所在的平面,则( )A.PA=PBPCB.PA=PBPCC.PA=PB=PCD.PAPBPC答案 C解析 M 为 AB
5、 的中点,ACB 为直角三角形, BM=AM=CM.又 PM平面 ABC, RtPMBRt PMARt PMC,故 PA=PB=PC.7.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA 底面 ABCD,且底面各边都相等 ,M 是 PC 上的一个动点,当点 M 满足 时,平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可) 答案 DMPC( 或 BMPC)解析 PC 在底面 ABCD 上的射影为 AC,且 ACBD, BDPC. 当 DMPC(或 BMPC)时,即有 PC平面 MBD,而 PC平面 PCD, 平面 MBD平面 PCD.8.在四面体 ABCD 中,DA平面 ABC,ABAC,AB
6、=4,AC=3,AD= 1,E 为棱 BC 上一点,且平面 ADE平面 BCD,则 DE= . 答案135解析 过 A 作 AHDE , 平面 ADE平面 BCD,且平面 ADE平面 BCD=DE, AH平面 BCD, AHBC.又 DA平面 ABC,BC平面 ABC, ADBC, BC平面 ADE, BCAE. AE= ,AD=1, DE= .345 1359.设 , 是空间两个不同的平面,m,n 是平面 及 外的两条不同直线.从“ mn; ; n ; m” 中选取三个作为条件,余下一个作为结论 ,写出你认为正确的一个命题: .(用序号表示) 答案 (或 )解析 逐一判断.若 成立,则 m
7、与 的位置关系不确定,故 错误; 同理 也错误; 与 均正确.10.如图,已知 PA矩形 ABCD 所在平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点.(1)求证:MNCD;(2)若PDA=45, 求证:MN 平面 PCD.证明 (1)连接 AC,AN,BN, PA平面 ABCD,AC平面 ABCD, PAAC.在 RtPAC 中, N 为 PC 的中点 , AN= PC.12 PA平面 ABCD,BC平面 ABCD, PABC.又 BCAB,PAAB=A, BC平面 PAB. PB平面 PAB, BCPB.在 RtPBC 中, BN 为斜边 PC 上的中线, BN= PC. AN=BN.12 AB
8、N 为等腰三角形.又 M 为 AB 的中点, MNAB. ABCD, MNCD.(2)连接 PM,MC, PDA=45,PA AD , AP=AD. 四边形 ABCD 为矩形, AD=BC, AP=BC.又 M 为 AB 的中点, AM=BM. PAM=CBM=90, PAMCBM. PM=CM.又 N 为 PC 的中点, MNPC.由(1)知,MNCD,又 PCCD=C, MN平面 PCD.11.如图,在 RtABC 中,ACB=90,BC= 2AC=4,D,E 分别是边 AB,BC 的中点,沿 DE 将BDE 折起至FDE,且CEF= 60.(1)求四棱锥 F-ADEC 的体积;(2)求证
9、:平面 ADF平面 ACF.(1)解 D,E 分别是边 AB,BC 的中点, DE AC,DEBC,DE=1.12依题意,DEEF ,BE=EF=2, EFEC=E, DE平面 CEF, DE平面 ACED, 平面 ACED平面 CEF.作 FMEC 于 M,则 FM平面 ACED, CEF=60, FM= ,3梯形 ACED 的面积 S= (AC+ED)EC= (1+2)2=3.12 12四棱锥 F-ADEC 的体积 V= Sh= 3 .13 13 3=3(2)证法一 如图,取线段 AF,CF 的中点 N,Q,连接 DN,NQ,EQ,则 NQ AC, NQ DE,四边形 DEQN 是平行四边
10、形,DNEQ. EC=EF,CEF=60, CEF 是等边三角形,EQFC ,又 DE平面 CEF, DEEQ , ACEQ, FCAC=C, EQ平面 ACF, DN平面 ACF,又 DN平面 ADF, 平面 ADF平面 ACF.证法二 连接 BF, EC=EF,CEF=60, CEF 是边长为 2 的等边三角形. BE=EF, EBF= CEF=30,12 BFC=90,BFFC. DE平面 BCF,DEAC, AC平面 BCF. BF平面 BCF, ACBF,又 FCAC=C, BF平面 ACF,又 BF平面 ADF, 平面 ADF平面 ACF.12.如图 ,在直角梯形 ABCD 中,A
11、DBC,BAD= ,AB=BC=AD=a,E 是 AD 的中点,O 是 AC 与 BE2的交点.将ABE 沿 BE 折起到图 中 A1BE 的位置,得到四棱锥 A1-BCDE.图 图 (1)证明:CD 平面 A1OC;(2)当平面 A1BE平面 BCDE 时,四棱锥 A1-BCDE 的体积为 36 ,求 a 的值.2(1)证明 在题图 中,因为 AD BC,AB=BC=AD=a,E 是 AD 的中点,BAD= ,所以 BEAC ,四边形2BCDE 为平行四边形.所以在题图 中,BEA 1O,BEOC,BECD,从而 BE平面 A1OC,又 CDBE ,所以 CD平面 A1OC.(2)解 由已知
12、,平面 A1BE平面 BCDE,且平面 A1BE平面 BCDE=BE,又由(1)知,A 1O BE,所以 A1O平面 BCDE,即 A1O 是四棱锥 A1-BCDE 的高.由题图 知,A 1O= AB= a,平行四边形 BCDE 的面积 S=BCAB=a2.22 22从而四棱锥 A1-BCDE 的体积为 V= SA1O= a2 a= a3,由 a3=36 ,得 a=6.13 13 22 26 26 2二、能力提升13.已知两条不重合的直线 m,n 和两个不重合的平面 ,有下列命题: 若 mn,m,则 n; 若 m,n,mn,则 ; 若 m,n 是两条异面直线,m,n ,m,n,则 ; 若 ,
13、=m,n,nm,则 n.其中正确命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 若 mn,m,则 n 可能在平面 内,故 错误; m,m n, n.又 n, ,故 正确; 过直线 m 作平面 交平面 于直线 c, m,n 是两条异面直线, 设 nc=O. m,m,=c, mc. m,c, c. n,c,nc=O,c,n, .故 正确; , =m,n,nm, n.故 正确.故正确命题有 3 个,故选 C.14.如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BAC= 90,BC1AC,则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在 ( )A.直线 AB 上B.直线 BC 上C.直线 AC
14、 上D.ABC 内部答案 A解析 由 BC1AC,又 BAAC ,则 AC平面 ABC1,因此平面 ABC平面 ABC1,因此 C1 在底面 ABC 上的射影 H 在直线 AB 上.15.如图,在四边形 ABCD 中,AD BC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,将ABD 沿 BD 折起,使平面ABD平面 BCD,构成三棱锥 A-BCD,则在三棱锥 A-BCD 中 ,下列结论正确的是( )A.平面 ABD平面 ABC B.平面 ADC平面 BDCC.平面 ABC平面 BDC D.平面 ADC平面 ABC答案 D解析 由题意知,在四边形 ABCD 中,CDBD.在三棱锥 A-BCD 中,平
15、面 ABD平面 BCD,两平面的交线为 BD,所以 CD平面 ABD,因此有 ABCD.又因为 ABAD,且 CDAD=D,所以 AB平面 ADC,于是得到平面 ADC平面 ABC,故选 D.16.如图,直线 PA 垂直于O 所在的平面 ,ABC 内接于O,且 AB 为O 的直径,点 M 为线段 PB 的中点.下列结论: BCPC; OM 平面 APC; 点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的长.其中正确的是( )A. B.C. D.答案 B解析 对于 , PA平面 ABC,BC平面 ABC, PABC. AB 为O 的直径 , BCAC. BC平面 PAC.又 PC平面 PAC,
16、BCPC;对于 , 点 M 为线段 PB 的中点,AB 为O 的直径, OM PA. PA平面 PAC,OM平面 PAC, OM平面 PAC;对于 ,由 知 BC平面 PAC, 线段 BC 的长即是点 B 到平面 PAC 的距离.故 都正确.17.(2018 北京六区一模)如图 ,在 ABC 中,D ,E 分别为 AB,AC 的中点,O 为 DE 的中点,AB=AC=2 ,BC=4.将ADE 沿 DE 折起到A 1DE 的位置,使得平面 A1DE平面 BCED,F 为 A1C 的5中点,如图 .图 图 (1)求证:EF平面 A1BD;(2)求证:平面 A1OB平面 A1OC;(3)在线段 OC
17、 上是否存在点 G,使得 OC平面 EFG?说明理由.(1)证明 取线段 A1B 的中点 H,连接 HD,HF.因为在ABC 中,D,E 分别为 AB,AC 的中点,所以 DEBC,DE= BC.12因为 H,F 分别为 A1B,A1C 的中点,所以 HFBC,HF= BC,12所以 HFDE ,HF=DE,所以四边形 DEFH 为平行四边形,所以 EFHD.因为 EF平面 A1BD,HD平面 A1BD,所以 EF平面 A1BD.(2)证明 在ABC 中,因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点,AB=AC ,所以 AD=AE.所以 A1D=A1E.又 O 为 DE 的中点,所以 A1ODE.
18、因为平面 A1DE平面 BCED,且 A1O平面 A1DE,平面 A1DE平面 BCED=DE,所以 A1O平面BCED.因为 CO平面 BCED,所以 COA 1O.在OBC 中,BC=4,易知 OB=OC=2 ,2所以 COBO.因为 A1OBO=O,所以 CO平面 A1OB.因为 CO平面 A1OC,所以平面 A1OB平面 A1OC.(3)解 在线段 OC 上不存在点 G,使得 OC平面 EFG.假设在线段 OC 上存在点 G,使得 OC平面 EFG.连接 GE,GF,则必有 OCGF,且 OCGE.在 RtA1OC 中,由 F 为 A1C 的中点,OCGF,得 G 为 OC 的中点.在
19、EOC 中,因为 OCGE,所以 EO=EC,这显然与 EO=1,EC= 矛盾.5所以在线段 OC 上不存在点 G,使得 OC平面 EFG.三、高考预测18.在四棱锥 P-ABCD 中,AB CD,AB=DC=1,BP=BC= ,PC=2,AB平面 PBC,F 为 PC 的中点.2(1)求证:BF平面 PAD;(2)求证:平面 ADP平面 PDC;(3)求四棱锥 P-ABCD 的体积.(1)证明 取 PD 的中点 E,连接 EF,AE.因为 F 为 PC 的中点,所以 EF 为PDC 的中位线,即 EFDC 且 EF= DC.12又 ABCD,AB= CD,12所以 ABEF 且 AB=EF.
20、所以四边形 ABFE 为平行四边形,所以 BFAE.又 AE平面 PAD,BF平面 PAD,所以 BF平面 PAD.(2)证明 因为 BP=BC,F 为 PC 的中点,所以 BFPC.又 AB平面 PBC,ABCD,所以 CD平面 PBC.又 BF平面 PBC,所以 DC BF.又 DCPC=C,所以 BF平面 PDC.由(1)知,AEBF,所以 AE平面 PDC.又 AE平面 ADP,所以平面 ADP平面 PDC.(3)解 因为 AB平面 PBC,AB平面 ABCD,所以平面 ABCD平面 PBC 且交线为 BC.又 BP=BC= ,PC=2,所以 PBBC.2所以 PB平面 ABCD,即 PB 是四棱锥的高.所以 VP-ABCD= SABCDPB13= (1+2) =1.13 2122
