1、第 3 讲 机械能守恒定律及其应用A 组 基础过关1.如图所示,斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上,现将一小球从图示位置由静止释放,不计一切摩擦,则在小球从释放到落至地面的过程中,下列说法正确的是( )A.斜劈对小球的弹力不做功B.斜劈与小球组成的系统机械能守恒C.斜劈的机械能守恒D.小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量答案 B 不计一切摩擦,小球下滑时,对于小球和斜劈组成的系统,只有小球的重力做功,小球重力势能的减少量等于斜劈和小球动能的增加量,系统的机械能守恒,B 项正确,D 项错误;由动能定理知,小球对斜劈的弹力对斜劈做正功,斜劈的机械能不守恒,C 项错误;斜劈对小球的弹力与小球位移
2、间的夹角大于 90,故弹力做负功,A 项错误。2.把小球放在竖立的弹簧上,并把球往下按至 A 位置 ,如图甲所示。迅速松手后,球升高至最高位置 C(图丙),途中经过位置 B 时弹簧正处于原长(图乙)。忽略弹簧的质量和空气阻力。则小球从 A 运动到 C 的过程中,下列说法正确的是 ( )A.经过位置 B 时小球的加速度为 0B.经过位置 B 时小球的速度最大C.小球、地球、弹簧所组成的系统机械能守恒D.小球、地球、弹簧所组成的系统机械能先增大后减小答案 C 分析小球从 A 到 B 的过程中受力情况,开始时弹力大于重力,中间某一位置弹力和重力相等,接着弹力小于重力,在 B 点时,弹力为零,小球从
3、B 到 C 的过程中,只受重力。根据牛顿第二定律可以知道小球从 A 到 B 过程中,先向上加速再向上减速 ,所以速度最大位置应该是加速度为零的位置,即在 A、B 之间某一位置 ,A、B 错误;从 A 到 C 过程中对于小球、地球、弹簧组成的系统只有重力和弹簧弹力做功,所以系统的机械能守恒,C 正确,D 错误。3.(多选 )(2018 湖北武汉质检) 某娱乐项目中,参与者抛出一小球去撞击触发器,从而进入下一关。现在将这个娱乐项目进行简化,假设参与者从触发器的正下方以速率 v 竖直上抛一小球,小球恰好击中触发器。若参与者仍在刚才的抛出点,沿图示的四个不同的光滑轨道分别以速率v 抛出小球,则小球能够
4、击中触发器的可能是( )答案 CD 将小球竖直上抛时小球恰好击中触发器 ,则小球击中触发器时的速度为 0,由机械能守恒定律得 mgh=mv2,得 v=。沿图 A 中光滑轨道以速率 v 抛出小球,小球沿光滑圆弧轨道内表面做圆周运动,到达最高点的速率应大于或等于(R 为圆弧轨道的半径),所以小球不能到达圆弧最高点,故不能击中触发器;沿图 B 中光滑轨道以速率 v 抛出小球,小球沿光滑轨道上滑一段后做斜抛运动,在最高点具有水平方向的速度,所以也不能击中触发器;图 C 和图 D中,小球在光滑轨道最高点的速度均可以为零,由机械能守恒定律可知小球能够击中触发器。4.(2019 广东佛山调研) 在一次课外趣
5、味游戏中,有四位同学分别将四个质量不同的光滑小球沿竖直放置的内壁光滑的半球形碗的碗口内侧同时由静止释放,碗口水平,如图所示。他们分别记下了这四个小球下滑速率为 v 时的位置,则这些位置应该在同一个( )A.球面 B.抛物面C.水平面 D.椭圆面答案 C 因半球形碗的内壁光滑,所以小球下滑过程中机械能守恒,取小球速率为 v 时所在的平面为零势能参考平面,则根据机械能守恒定律得 mgh=mv2,因为速率 v 相等,所以小球下落的高度相等,与小球的质量无关,即这些位置应该在同一个水平面上,C 项正确。5.如图所示,固定的竖直光滑长杆上套有质量为 m 的小圆环 ,圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接,弹簧
6、的另一端连接在墙上,且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑,已知弹簧原长为 L,圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为 2L(未超过弹性限度),则在圆环下滑到最大距离的过程中( )A.圆环的机械能守恒B.弹簧弹性势能变化了 mgLC.圆环下滑到最大距离时,所受合力为零D.圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变答案 B 圆环在下滑过程中,圆环的重力和弹簧的弹力对圆环做功,圆环的机械能不守恒,圆环和弹簧组成的系统机械能守恒,系统的机械能等于圆环的动能和重力势能以及弹簧的弹性势能之和,选项 A、D 错误;对圆环进行受力分析 ,可知圆环从静止开始先向下加速运动且加速度逐渐减小,当弹簧对圆环的弹力沿杆方向的
7、分力与圆环所受重力大小相等时,加速度减为 0,速度达到最大,而后加速度反向且逐渐增大,圆环开始做减速运动,当圆环下滑到最大距离时,所受合力最大,选项 C 错误;由图中几何关系知圆环的下降高度为 L,由系统机械能守恒可得 mgL=Ep,解得 Ep=mgL,选项 B 正确。6.在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出,不计空气阻力,则落在同一水平地面时的速度大小( )A.一样大 B.水平抛的最大C.斜向上抛的最大 D.斜向下抛的最大答案 A 根据机械能守恒定律,落地时三个小球的速度大小相等。7.(多选 )如图是滑道压力测试的示意图,光滑圆弧轨道与光滑斜面相切,滑道底部 B
8、 处安装一个压力传感器,其示数 N 表示该处所受压力的大小。某滑块从斜面上不同高度 h 处由静止下滑,通过 B 时,下列表述正确的是( )A.N 小于滑块重力 B.N 大于滑块重力C.N 越大表明 h 越大 D.N 越大表明 h 越小答案 BC 滑块在轨道上滑动,只有重力做功,机械能守恒,则有 mgh=m,解得 vB=,滑块到 B点时,支持力 NB与重力的合力提供向心力,即 NB-mg=,联立以上两式得 NB=mg+,由牛顿第三定律知 N=NB。由以上分析可知选项 B、C 正确。8.(多选 )(2019 安徽合肥质检) 如图所示,两个竖直圆弧轨道固定在同一水平地面上,半径 R 相同,左侧轨道由
9、金属凹槽制成,右侧轨道由金属圆管制成,均可视为光滑。在两轨道右侧的正上方分别将金属小球 A 和 B 由静止释放,小球距离地面的高度分别为 hA和 hB,不计空气阻力,下列说法正确的是( )A.若使小球 A 沿轨道运动并且从最高点飞出,释放 A 的最小高度为B.若使小球 B 沿轨道运动并且从最高点飞出,释放 B 的最小高度为C.适当调节 hA,可使 A 球从轨道最高点飞出后 ,恰好落在轨道右端口处D.适当调节 hB,可使 B 球从轨道最高点飞出后,恰好落在轨道右端口处答案 AD 小球 A 从轨道最高点飞出的最小速度 vA=,设水平地面为零势能参考平面,由机械能守恒定律得 mghA=2mgR+m,
10、则 hA=,A 选项正确;小球 B 从轨道最高点飞出的最小速度vB=0,设水平地面为零势能参考平面,由机械能守恒定律得 mghB=2mgR,则 hB=2R,B 选项错误;要使小球 A 或 B 从轨道最高点飞出后,恰好落在轨道右端口处 ,需满足的条件是:R=v 0t,R=gt2,则 v0=,而 A 球的最小速度 vA=v0,故 A 球不可能落在轨道右端口处,B 球可能,C 选项错误,D选项正确。9.如图所示,质量都为 m=1 kg 的 A、B 两金属环用细线相连后,分别套在两互成直角的水平光滑细杆和竖直光滑细杆上。细线长 L=0.4 m,今将细线拉直后使 A 和 B 从同一高度上都由静止释放,求
11、从开始运动到使细线与水平方向成 =30角的过程中,细线对 A、B 做的功。(g 取 10 m/s2)答案 -0.5 J 0.5 J解析 设当两环运动到使细线与水平方向成 =30角时,A 和 B 的速度分别为 vA、v B,将vA、v B分别沿细线和垂直细线方向分解,如图所示,由分析知,它们在沿细线方向上的分速度v1和 v2相等。所以有vA sin =vB cos 在这一过程中 A 下降的高度为 L sin ,因两环组成的系统机械能守恒,则有mgL sin =m+m由代入数值得:v A= m/s,vB=1 m/s。设细线对 A、B 环做功分别为 WA、W B,由动能定理得:mgL sin +WA
12、=m-0WB=m-0由代入数值解得:W A=-0.5 J,WB=0.5 J。10.如图所示,在同一竖直平面内,一轻质弹簧一端固定,另一自由端恰好与水平线 AB 平齐,静止放于倾角为 53的光滑斜面上。一长为 L=9 cm 的轻质细绳一端固定在 O 点,另一端系一质量为 m=1 kg 的小球,将细绳拉至水平 ,使小球从位置 C 由静止释放,小球到达最低点 D 时,细绳刚好被拉断。之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩,最大压缩量为 x=5 cm。(g 取 10 m/s2,sin 53=0.8,cos 53=0.6)求:(1)细绳受到的拉力的最大值;(2)D 点到水平线 AB 的高度 h;(
13、3)弹簧所获得的最大弹性势能 Ep。答案 (1)30 N (2)16 cm (3)2.9 J解析 (1)小球由 C 点运动到 D 点,由机械能守恒定律得mgL=m解得 v1=在 D 点,由牛顿第二定律得 F-mg=m由两式联立解得 F=3mg=30 N。由牛顿第三定律知细绳所能承受的最大拉力为 F=F=30 N。(2)从 D 点运动到 A,小球做平抛运动,有=2ghtan 53=联立式解得 h=16 cm。(3)小球从 C 点到将弹簧压缩至最短的过程中,小球与弹簧组成的系统机械能守恒,则Ep=mg(L+h+x sin 53),代入数据解得 Ep=2.9 J。B 组 能力提升11.(2018 山
14、东烟台模拟) 如图所示,可视为质点的小球 A 和 B 用一根长为 0.2 m 的轻杆相连,两球质量相等,开始时两小球置于光滑的水平面上,并给两小球一个 2 m/s 的初速度,经一段时间两小球滑上一个倾角为 30的光滑斜面,不计球与斜面碰撞时的机械能损失,g 取 10 m/s2,在两小球的速度减小为零的过程中,下列判断正确的是( )A.杆对小球 A 做负功B.小球 A 的机械能守恒C.杆对小球 B 做正功D.小球 B 速度为零时距水平面的高度为 0.15 m答案 D 由题意可知,A、B 两球在上升中受重力做功而做减速运动;假设没有杆连接,则A 上升到斜面时,B 还在水平面上运动,即 A 在斜面上
15、做减速运动,B 在水平面上做匀速运动,因有杆存在,所以是 B 推着 A 上升,因此杆对 A 做正功,故 A 错误; 因杆对 A 球做正功,故 A球的机械能不守恒,故 B 错误;由以上分析可知,杆对球 B 做负功,故 C 错误; 设小球 B 速度为零时距水平面的高度为 h,根据系统机械能守恒,可得:mgh+mg(h+L sin 30)=2mv 2,解得:h=0.15 m,故 D 正确。12.(多选 )如图所示 ,固定在竖直面内的光滑圆环半径为 R,圆环上套有质量分别为 m 和 2m的小球 A、B(均可看做质点),且小球 A、B 用一长为 2R 的轻质细杆相连,在小球 B 从最高点由静止开始沿圆环
16、下滑至最低点的过程中(已知重力加速度为 g),下列说法正确的是( )A.A 球增加的机械能等于 B 球减少的机械能B.A 球增加的重力势能等于 B 球减少的重力势能C.A 球的最大速度为D.细杆对 A 球做的功为 mgR答案 AD 系统机械能守恒的实质可以理解为是一种机械能的转移,此题的情境就是 A 球增加的机械能等于 B 球减少的机械能,A 对,B 错;根据机械能守恒定律有:2mg2R-mg2R=3mv2,所以 A 球的最大速度为,C 错;根据功能关系,细杆对 A 球做的功等于 A 球增加的机械能,即 WA=mv2+mg2R=mgR,故 D 对。13.(多选 )如图所示 ,带有挡板的光滑斜面
17、固定在水平地面上,斜面的倾角为 =30。质量均为1 kg 的 A、B 两物体用轻弹簧拴接在一起,弹簧的劲度系数为 5 N/cm,质量为 2 kg 的物体C 用细线通过光滑的轻质定滑轮与物体 B 连接。开始时 A、B 均静止在斜面上,A 紧靠在挡板处,用手托住 C,使细线刚好被拉直。现把手拿开,让 C 由静止开始运动,从 C 开始运动到A 刚要离开挡板的过程中,下列说法正确的是(g 取 10 m/s2)( )A.初状态弹簧的压缩量为 1 cmB.末状态弹簧的压缩量为 1 cmC.物体 B、C 与地球组成的系统机械能守恒D.物体 C 克服细线的拉力所做的功为 0.2 J答案 AD 初状态细线刚好被拉直时,细线拉力为零,对 B 进行受力分析,弹簧处于压缩状态,弹簧弹力 F=mBg sin =kx1,解得 x1=1 cm,A 项正确; 末状态时,对 A 进行受力分析,弹簧处于伸长状态,弹簧弹力 F=mAg sin =kx2,解得 x2=1 cm,B 项错误;B、C 与地球组成的系统,在运动过程中弹簧对系统做功,系统的机械能不守恒,C 项错误;对 A、B、C、弹簧和地球组成的系统,由机械能守恒定律得 mCg(x1+x2)-mBg(x1+x2) sin =(mC+mB)v2,对 C,由动能定理得mCg(x1+x2)-W=mCv2,解得 W=0.2 J,D 项正确。
