1、第 13 讲 机械能守恒定律及其应用A 组 基础题组1.(2017 浙江 11 月选考,13,3 分)如图所示是具有登高平台的消防车,具有一定质量的伸缩臂能够在 5 min 内使承载 4 人的登高平台(人连同平台的总质量为 400 kg)上升 60 m 到达灭火位置。此后,在登高平台上的消防员用水炮灭火,已知水炮的出水量为 3 m3/min,水离开炮口时的速率为 20 m/s,则用于(g 取 10 m/s2)( )A.水炮工作的发动机输出功率约为 1104 WB.水炮工作的发动机输出功率约为 4104 WC.水炮工作的发动机输出功率约为 2.4106 WD.伸缩臂抬升登高平台的发动机输出功率约
2、为 800 W答案 B 抬升登高平台克服重力做功的功率 P= = W=800 W,因伸缩臂有一m总 ght 4001060560定的质量,所以伸缩臂抬升登高平台的发动机输出功率大于 800 W,选项 D 错误。在一秒钟内,喷出去水的质量为 m=V=10 3 kg=50 kg,喷出去水的重力势能为360WG=mgh=501060 J= 3104 J,水的动能为 mv2=1104 J,所以 1 秒钟内水增加的能量12为 4104 J,所以水炮工作的发动机输出功率为 4104 W,选项 B 正确,A、C 错误。2.从地面竖直上抛一个质量为 m 的小球,小球上升的最大高度为 H。设上升和下降过程中空气
3、阻力大小恒为 F。下列说法正确的是( )A.小球上升的过程中动能减少了 mgHB.小球上升和下降的整个过程中机械能减少了 FHC.小球上升的过程中重力势能增加了 mgHD.小球上升和下降的整个过程中动能减少了 FH答案 C 上升过程由动能定理可得-(mg+F)H=E k,所以上升过程动能减少了 mgH+FH,A 错;小球上升过程中重力势能增加了 mgH,C 对;小球上升和下降的整个过程中由动能定理得-FH-FH=E k,即动能减少了 2FH,D 错;机械能变化量是由除重力和系统内弹力以外的其他力做的功决定的,所以小球上升和下降的整个过程中机械能减少了 2FH,B 错。3.如图所示,下列关于机械
4、能是否守恒的判断正确的是( )A.甲图中,火箭升空的过程中,若匀速升空机械能守恒,若加速升空机械能不守恒B.乙图中物体匀速运动,机械能守恒C.丙图中小球做匀速圆周运动,机械能守恒D.丁图中,轻弹簧将 A、B 两小车弹开,两小车组成的系统机械能守恒答案 C 题甲图中,不论是匀速还是加速,由于推力对火箭做功,火箭的机械能不守恒,是增加的,故 A 错误。物体匀速运动上升,动能不变,重力势能增加,则机械能必定增加,故 B错误。小球在做圆锥摆的过程中,细线的拉力不做功,机械能守恒,故 C 正确。轻弹簧将A、B 两小车弹开,弹簧的弹力对两小车做功,则两车组成的系统机械能不守恒,但两小车和弹簧组成的系统机械
5、能守恒,故 D 错误。4.质量为 m 的物体由静止开始下落,由于空气阻力影响,物体下落的加速度为 g,在物体下45落高度为 h 的过程中,下列说法正确的是( )A.物体的动能增加了 mgh45B.物体的机械能减少了 mgh45C.物体克服阻力所做的功为 mgh45D.物体的重力势能减少了 mgh45答案 A 下落阶段,物体受重力和空气阻力,由动能定理,可得 mgh-Ffh=E k,Ff=mg-mg= mg,可求 E k= mgh,选项 A 正确;机械能的减少量等于克服阻力所做的功,W f=Ffh= mgh,45 15 45 15选项 B、C 错误;重力势能的减少量等于重力做的功,E p=mgh
6、,选项 D 错误。5.如图所示,一张薄纸板放在光滑水平面上,其右端放有小木块,小木块与薄纸板的接触面粗糙,原来系统静止。现用水平恒力 F 向右拉薄纸板,小木块在薄纸板上发生相对滑动,直到从薄纸板上掉下来。上述过程中有关功和能的说法正确的是( )A.拉力 F 做的功等于薄纸板和小木块动能的增加量B.摩擦力对小木块做的功一定等于系统中由摩擦产生的热量C.离开薄纸板前小木块可能先做加速运动,后做匀速运动D.小木块动能的增加量可能小于系统中由摩擦产生的热量答案 D 由功能关系,拉力 F 做的功等于薄纸板和小木块动能的增加量与系统产生的内能之和,选项 A 错误;摩擦力对小木块做的功等于小木块动能的增加量
7、,选项 B 错误;离开薄纸板前小木块一直在做匀加速运动,选项 C 错误;对于系统,由摩擦产生的热量 Q=FfL,其中 L 为小木块相对薄纸板运动的位移,即薄纸板的长度,对小木块,F fL 木 =E k,L 木 为小木块相对地面的位移,由于 L 木 存在大于、等于或小于 L 三种可能,即 E k存在大于、等于或小于 Q 三种可能,选项 D 正确。6.(多选)如图所示,由电动机带动着倾角 =37的足够长的传送带以速率 v=4 m/s 顺时针匀速转动。一质量 m=2 kg 的小滑块以平行于传送带向下 v=2 m/s 的速率滑上传送带,已知小滑块与传送带间的动摩擦因数 = ,取 g=10 m/s2,s
8、in 37=0.6,cos 37=0.8,则小78滑块从接触传送带到与传送带相对静止的时间内( )A.小滑块的加速度大小为 1 m/s2B.小滑块的重力势能增加了 120 JC.小滑块与传送带因摩擦产生的内能为 84 JD.电动机多消耗的电能为 336 J答案 AD 由牛顿第二定律可得 mg cos -mg sin =ma,解得 a=1 m/s2,故 A 正确;小滑块从接触传送带到相对传送带静止的时间 t= =6 s,小滑块的位移 s= t= 6 v t v 4+(-2)2m=6 m,重力势能增加量 E p=mgs sin 37=72 J,故 B 错误;6 s 内传送带运动的位移s=24 m,
9、相对位移 s=s-s=18 m,产生的内能 Q=mg cos 37s=252 J,故 C 错误;小滑块增加的动能 E k= mv2- mv2=12 J,所以电动机多消耗的电能 E=E k+E p+Q=336 J,12 12故 D 正确。7.在温州市科技馆中,有个用来模拟天体运动的装置,其内部是一个类似锥形的漏斗容器,如图甲所示。现在该装置的上方固定一个半径为 R 的四分之一光滑管道 AB,光滑管道下端刚好贴着锥形漏斗容器的边缘。如图乙所示,将一个质量为 m 的小球从管道的 A 点静止释放,小球从管道 B 点射出后刚好贴着锥形容器壁运动,由于摩擦阻力的作用,运动的高度越来越低,最后从容器底部的
10、C 孔掉下(轨迹大致如图乙虚线所示),已知小球离开 C 孔的速度为 v,A 到 C 的高度为 H。求:(1)小球到达 B 端的速度大小;(2)小球在管口 B 端受到的支持力大小;(3)小球在锥形漏斗表面运动的过程中克服摩擦阻力所做的功。甲 乙答案 (1) (2)3mg (3)mgH- mv22gR12解析 (1)小球从 A 端运动到 B 端的过程中,机械能守恒mgR= m12v2B解得 vB= 2gR(2)设小球受到的支持力为 F,F-mg=mv2BR解得 F=3mg(3)设克服摩擦阻力做的功为 W,根据动能定理可得:mgH-W= mv212得 W=mgH- mv2128.如图所示是某公园中的
11、一项游乐设施,它由弯曲轨道 A、B 竖直圆轨道 BC 以及水平轨道BD 组成,各轨道平滑连接。其中圆轨道 BC 半径 R=1.0 m,水平轨道 BD 长 L=5.0 m,BD 段对小车产生的摩擦阻力为车重的 0.3,其余部分摩擦不计,质量为 2.0 kg 的小车(可视为质点)从 P 点以初速度 v0=2 m/s 沿着弯曲轨道 AB 向下滑动,恰好滑过圆轨道最高点,然后从 D 点飞入水池中,空气阻力不计,取 g=10 m/s2,求:(1)P 点离水平轨道的高度 H;(2)小车运动到圆轨道最低点时对轨道的压力;(3)在水池中放入安全气垫 MN(气垫厚度不计),气垫上表面到水平轨道 BD 的竖直高度
12、h=1.25 m,气垫的左右两端 M、N 到 D 点的水平距离分别为 2.0 m、3.0 m,要使小车能安全落到气垫上,则小车静止释放点距水平轨道的高度 H应满足什么条件。答案 (1)2.3 m (2)120 N,方向竖直向下(3)2.5 mH3.3 m解析 (1)小车恰好滑过圆轨道最高点,那么对小车在最高点应用牛顿第二定律可得mg=mv2CR小车从 P 到 C 的运动过程中只有重力做功,故机械能守恒,则有mg(H-2R)= m - m12v2C12v20解得 H=2.3 m(2)对小车从 P 到 B 的运动过程中由机械能守恒可得mgH= m - m12v2B12v20在 B 点由牛顿第二定律
13、有 FN-mg=mv2BR由牛顿第三定律有:F N=FN可得小车运动到圆轨道最低点时对轨道的压力为 120 N,方向竖直向下(3)对小车从静止释放点到 D 点的过程由动能定理有mgH-mgL= m -012v2D从 D 点到气垫上的运动过程只受重力作用,做平抛运动h= gt212x=vDt而 2.0 mx3.0 m又 mg(H-2R) m12v2C解得 2.5 mH3.3 m9.(2018 浙江 11 月选考,19,9 分)在竖直平面内,某一游戏轨道由直轨道 AB 和弯曲的细管道 BCD 平滑连接组成,如图所示。小滑块以某一初速度从 A 点滑上倾角为 =37的直轨道AB,到达 B 点的速度大小
14、为 2 m/s,然后进入细管道 BCD,从细管道出口 D 点水平飞出,落到水平面上的 G 点。已知 B 点的高度 h1=1.2 m,D 点的高度 h2=0.8 m,D 点与 G 点间的水平距离 L=0.4 m,滑块与轨道 AB 间的动摩擦因数 =0.25,g=10 m/s 2,sin 37=0.6,cos 37=0.8。(1)求小滑块在轨道 AB 上的加速度和在 A 点的初速度;(2)求小滑块从 D 点飞出的速度;(3)判断细管道 BCD 的内壁是否光滑。答案 见解析解析 (1)设初速度为 vA,由运动学公式有 - =2axv2Bv2A由牛顿第二定律有 mg sin +mg cos =max=
15、h1sin解得 vA=6 m/s、a=-8 m/s 2(2)小滑块从 D 点飞出后做平抛运动h2= gt2、L=v D1t12解得 vD1=1 m/s(3)假设细管道 BCD 的内壁光滑,根据机械能守恒定律有m - m =mg(h1-h2)12v2D212v2B则 vD2=2 m/sv D13假设不正确,即细管道 BCD 的内壁不光滑。B 组 提升题组1.(多选)物体由地面以 120 J 的初动能竖直向上抛出,当它从抛出至上升到某一点 A 的过程中,动能减少 40 J,机械能减少 10 J。设空气阻力大小不变,以地面为零势能面,则物体( )A.落回到地面时机械能为 70 JB.到达最高点时机械
16、能为 90 JC.从最高点落回地面的过程中重力做功为 60 JD.从抛出到落回地面的过程中克服摩擦力做功为 60 J答案 BD 物体以 120 J 的初动能竖直向上抛出,向上运动的过程中重力和阻力都做负功,当上升到某一高度时,动能减少了 40 J,而机械能损失了 10 J。根据功能关系可知:合力做功为-40 J,空气阻力做功为-10 J,对从抛出点到 A 点的过程,根据功能关系有 mgh+fh= 40 J,fh=10 J,得 f= mg;当上升到最高点时,动能为零,动能减小 120 J,设最大高度为 H,则13有 mgH+fH=120 J,解得 fH=30 J,即机械能减小 30 J,在最高点
17、时机械能为 120 J-30 J=90 J;在下落过程中,由于阻力做功不变,所以机械能又损失了 30 J,故整个过程克服摩擦力做功为 60 J,则该物体落回到地面时的机械能为 60 J,从最高点落回地面的过程中因竖直位移为零,故重力做功为零。故 A、C 错误,B、D 正确。2.如图所示,轻质弹簧的上端固定,下端与物体 A 相连,物体 B 与物体 A 之间通过轻质不可伸长的细绳连接。开始时托住物体 A,使 A 静止且弹簧处于原长,然后由静止释放 A,从开始释放到物体 A 第一次速度最大的过程中,下列说法正确的有( )A.A、B 两物体的机械能总量守恒B.B 物体机械能的减少量一定等于 A 物体机
18、械能的减少量C.轻绳拉力对 B 物体做的功等于 B 物体机械能的变化D.A 物体所受合外力做的功等于 A 物体机械能的变化答案 C A、B 两物体和弹簧组成的系统机械能守恒;轻绳拉力对 B 物体做的功等于 B 物体机械能的变化;A 物体所受合外力做的功等于 A 物体动能的变化。3.如图所示,质量为 m 的滑块以一定初速度滑上倾角为 的固定斜面,同时施加一沿斜面向上的恒力 F=mg sin ;已知滑块与斜面间的动摩擦因数 =tan ,取出发点为参考点,能正确描述滑块运动到最高点过程中产生的热量 Q、滑块动能 Ek、重力势能 Ep、机械能 E与时间 t、位移 x 关系的是( )答案 C 根据滑块与
19、斜面间的动摩擦因数 =tan 可知,滑动摩擦力等于重力沿斜面向下的分力。施加一沿斜面向上的恒力 F=mg sin ,滑块机械能保持不变,重力势能随位移x 均匀增大,选项 C 正确,D 错误。产生的热量 Q=Ffx,随位移均匀增大,滑块动能 Ek随位移 x均匀减小,而位移不随时间均匀变化,选项 A、B 错误。4.将质量为 0.2 kg 的小球放在竖立的弹簧上,并把球往下按至 A 的位置,如图甲所示,迅速松手后,弹簧把球弹起,球升至最高位置 C(图丙)。途中经过位置 B 时弹簧正好处于自由状态(图乙)。已知 B、A 的高度差为 0.1 m,C、B 的高度差为 0.2 m,弹簧的质量和空气阻力都可忽
20、略,重力加速度 g=10 m/s2,则有( )A.小球从 A 上升至 B 的过程中,弹簧的弹性势能一直减小,小球的动能一直增加B.小球从 B 上升到 C 的过程中,小球的动能一直减小,重力势能一直增加C.小球在位置 A 时,弹簧的弹性势能为 0.6 JD.小球从位置 A 上升至 C 的过程中,小球的最大动能为 0.4 J答案 BC 小球从 A 上升到 B 位置的过程中,弹簧的弹力先大于重力后小于重力,小球先加速后减速,当弹簧的弹力等于重力时,合力为零,小球的速度达到最大,故小球从 A 上升到 B的过程中,动能先增大后减小,弹簧的弹性势能一直减小,故 A 错误;小球从 B 到 C 的过程中,重力
21、对小球做负功,故小球的动能一直减小,重力势能一直增加,故 B 正确;根据系统的机械能守恒知,小球在位置 A 时,弹簧的弹性势能等于小球由 A 到 C 时增加的重力势能,即Ep=mgAC=0.6 J,故 C 正确;小球从位置 A 上升至 C 的过程中,弹力等于重力时动能最大,此位置在 A、B 之间,由系统的机械能守恒知,小球在 B 点的动能为 mghCB=0.4 J,从 B 点到速度最大的位置,动能变大,则知小球的最大动能大于 0.4 J,故 D 错误。5.极限跳伞(sky diving)是世界上最流行的空中极限运动,它的独特魅力在于跳伞者可以从正在飞行的各种飞行器上跳下,也可以从固定在高处的器
22、械、陡峭的山顶、高地甚至建筑物上纵身而下,并且通常起跳后伞并不是马上自动打开,而且由跳伞者自己控制开伞时间,这样冒险者就可以把刺激域值的大小完全控制在自己手中。伞打开前可看做是自由落体运动,打开伞后减速下降,最后匀速下落。如果用 h 表示人下落的高度,t 表示下落的时间,E p表示人的重力势能,E k表示人的动能,E 表示人的机械能,v 表示人下落的速度,在整个过程中,忽略伞打开前空气阻力,如果打开伞后空气阻力与速度平方成正比,则下列图像可能符合事实的是( )答案 B 因为空气阻力与速度平方成正比,因此人在下落的过程中先做自由落体运动,再做加速度减小的加速运动,然后做匀速直线运动,D 错。根据
23、动能定理,动能的变化量等于合外力做的功,因此动能随位移变化的快慢取决于合外力的大小,整个过程中合外力先不变,再减小最后趋近于零,B 对。重力势能的变化量的大小等于重力做的功,因为重力不变,所以重力势能随高度均匀减小,A 错。在开伞之后,空气阻力对人做负功,人的机械能持续减少,C错。故选 B。6.如图所示,完全相同的两小球 A 和 B,小球 A 穿在倾斜固定的光滑直杆上,小球 A 和小球 B用不可伸长的细绳绕过定滑轮 O 相连,开始时手握小球 A,使其静止,且 OA 段绳子呈水平紧张状态,现放开 A、B 让其自由运动。在 A 球下滑过程中,不计滑轮和绳子质量及所有摩擦,下列说法正确的是( )A.
24、B 球的机械能一直增大B.B 球的机械能一直减小C.A 球的机械能先增大后减小D.A 球的机械能先减小后增大答案 C A 下滑的过程中,左边绳子先变短后变长,因为绳子不可伸长,所以 B 先下降后上升,拉力先做负功再做正功,B 的机械能先减小后增大,因为 A、B 两球所组成的系统只有重力做功,因此系统机械能守恒,A 球机械能的变化情况与 B 球相反,先增大后减小,故选 C。7.如图所示,某工厂用传送带向高处运送物体,将一物体轻轻放在传送带底端,第一阶段物体被加速到与传送带具有相同的速度,第二阶段与传送带相对静止,匀速运动到传送带顶端。下列说法正确的是( )A.第一阶段摩擦力对物体做正功,第二阶段
25、摩擦力对物体不做功B.第一阶段摩擦力对物体做的功等于第一阶段物体动能的增加量C.第一阶段物体和传送带间摩擦产生的热等于第一阶段物体机械能的增加量D.物体从底端到顶端全过程机械能的增加量大于全过程摩擦力对物体所做的功答案 C 对物体受力分析知,其在两个阶段所受摩擦力方向都沿斜面向上,与其运动方向相同,摩擦力对物体都做正功,A 错误;由动能定理知,外力做的总功等于物体动能的增加量,B 错误;物体机械能的增加量等于摩擦力对物体所做的功,D 错误;设第一阶段运动时间为 t,传送带速度为 v,对物体:x 1= t,对传送带:x 1=vt,摩擦生的热 Q=Ffx 相对 =Ff(x1-x1)v2=Ff t,
26、机械能增加量 E=F fx1=Ff t,所以 Q=E,C 正确。v2 v28.如图所示,质量为 m 的物体在水平传送带上由静止释放,传送带由电动机带动,始终保持以速度 v 匀速运动,物体与传送带间的动摩擦因数为 ,物体在滑下传送带之前能保持与传送带相对静止,对于物体从静止释放到与传送带相对静止这一过程,下列说法中正确的是( )A.电动机多做的功为 mv212B.物体在传送带上的划痕长v2gC.传送带克服摩擦力做的功为 mv212D.电动机增加的功率为 mgv答案 D 物体与传送带相对静止之前,物体做匀加速运动,由运动学公式知 x 物 = t,传送带v2做匀速运动,由运动学公式知 x 传 =vt
27、,对物体,根据动能定理知 mgx 物 = mv2,摩擦产生的热12量 Q=mgx 相对 =mg(x 传 -x 物 ),联立得摩擦产生的热量 Q= mv2,根据能量守恒定律可知,电12动机多做的功一部分转化为物体的动能,一部分转化为热量,故电动机多做的功等于 mv2,A项错误;物体匀加速运动的时间 t= = ,物体在传送带上的划痕长等于 x 传 -x 物 = ,B 项错vavg v22g误;传送带克服摩擦力做的功为 mgx 传 =mv2,C 项错误;电动机增加的功率也就是电动机克服摩擦力做功的功率,为 mgv,D 项正确。9.将小球以 10 m/s 的初速度从地面竖直向上抛出,取地面为零势能面,
28、小球在上升过程中的动能 Ek、重力势能 Ep与上升高度 h 间的关系分别如图中两直线所示。取 g=10 m/s2,下列说法正确的是( )A.小球的质量为 0.2 kgB.小球受到的阻力(不包括重力)大小为 0.2 NC.小球动能与重力势能相等时的高度为 m2013D.小球上升到 2 m 时,动能与重力势能之差为 0.5 J答案 D 在最高点,h=4 m,E p=mgh=4 J,得 m=0.1 kg,A 项错误;由除重力以外其他力做功可知 W 其他 =E,-fh=E 高 -E 低 ,E 为机械能,解得 f=0.25 N,B 项错误;设小球动能和重力势能相等时的高度为 H,此时有 mgH= mv2
29、,由动能定理有-fH-mgH= mv2- m ,得 H= m,故 C 项错;当12 12 12v20 209小球上升 h=2 m 时,由动能定理有-fh-mgh=E k2- m ,得 Ek2=2.5 J,Ep2=mgh=2 J,所以动12v20能和重力势能之差为 0.5 J,故 D 项正确。10.如图所示,竖直平面内的轨道由一半径为 4R、圆心角为 150的圆弧形光滑滑槽 C1和两个半径为 R 的半圆形光滑滑槽 C2、C 3,以及一个半径为 2R 的半圆形光滑圆管 C4组成,C 4内径远小于 R。C 1、C 2、C 3、C 4各衔接处平滑连接。现有一个比 C4内径略小的、质量为 m 的小球,从
30、与 C4的最高点 H 等高的 P 点以一定的初速度 v0向左水平抛出后,恰好沿 C1的 A 端点沿切线从凹面进入轨道。已知重力加速度为 g。求:(1)小球在 P 点开始平抛的初速度 v0的大小。(2)小球能否依次通过 C1、C 2、C 3、C 4各轨道而从 I 点射出?请说明理由。(3)小球运动到何处,轨道对小球的弹力最大?最大值是多大?答案 (1) (2)能,理由见解析 (3)小球运动到 F 点时,轨道对小球的弹力最大,最大26gR3值是 mg293解析 (1)小球从 P 到 A,竖直方向有h=2R+4R sin 30=4R由平抛运动规律可得: =2ghv2y解得 vy= 8gR在 A 点,
31、由速度关系有 tan 60=vyv0解得 v0=26gR3(2)若小球能过 D 点,则 D 点速度满足 v gR小球从 P 到 D 由动能定理得mgR= mv2- m12 12v02解得 v=14gR3若小球能过 H 点,则 H 点速度满足 vH0小球从 P 到 H 由机械能守恒得 H 点的速度等于 P 点的初速度,为 026gR3综上所述小球能依次通过 C1、C 2、C 3、C 4各轨道从 I 点射出(3)小球在运动过程中,轨道给小球的弹力最大的点只会在圆轨道的最低点,B 点和 F 点都有可能小球从 P 到 B 由动能定理得6mgR= m - m12v2B12v20在 B 点轨道给小球的弹力 NB满足:N B-mg=mv2B4R解得 NB= mg143小球从 P 到 F 由动能定理得3mgR= m - m12v2F12v20在 F 点轨道给小球的弹力 NF满足:N F-mg=mv2FR解得 NF= mg293比较 B、F 两点的情况可知:在 F 点轨道给小球的弹力最大,为 mg293
