1、9.2 圆的方程挖命题【考情探究】5年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2018浙江,9 圆的方程 平面向量的模圆的方程掌握圆的标准方程与一般方程.2016浙江文,10 圆的一般方程 圆心、半径 分析解读 1.重点考查圆的标准方程和一般方程,若以选择题、填空题的形式出现,难度不大;若与其他曲线综合,以解答题的形式出现,难度较大.2.预计 2020年高考试题中,对于圆的考查会有所涉及.破考点【考点集训】考点 圆的方程1.(2018浙江镇海中学阶段性测试,13)已知直线 l的方程为 x+2y-3=0,则圆 x2+y2+6x+4y+8=0上的点到直线 l的距离的最大值是 . 答案 3
2、 52.(2018浙江温州三模(5 月),15)已知点 P是圆 x2+y2=1上任意一点,A(-5,0),B(b,0)(b0),若 =(|为定值),则 b= . 答案 -1炼技法【方法集训】方法 求圆的方程的方法1.(2018浙江宁波调研,6)已知圆 C的圆心坐标为(2,-1),半径长是方程(x+1)(x-4)=0 的解,则圆 C的标准方程为( ) A.(x+1)2+(y-2)2=4B.(x-2)2+(y-1)2=4C.(x-2)2+(y+1)2=16D.(x+2)2+(y-1)2=16答案 C 2.(2018浙江镇海中学阶段性测试,4)圆心在直线 y=x上,半径为 2,且过点(3,1)的圆的
3、方程是( )A.(x+1)2+(y+1)2=4或(x+3) 2+(y+3)2=4B.(x+1)2+(y+1)2=4或(x-3) 2+(y-3)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4或(x+3) 2+(y+3)2=4D.(x-1)2+(y-1)2=4或(x-3) 2+(y-3)2=4答案 D 过专题【五年高考】A 组 自主命题浙江卷题组考点 圆的方程(2016 浙江文,10,6 分)已知 aR,方程 a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 . 答案 (-2,-4);5B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点 圆的方程1.(2016课标,4,5 分)圆 x2
4、+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线 ax+y-1=0的距离为 1,则 a=( ) A.- B.- C. D.23答案 A 2.(2016北京,5,5 分)圆(x+1) 2+y2=2的圆心到直线 y=x+3的距离为( )A.1 B.2 C. D.22 2答案 C 3.(2018天津,12,5 分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .答案 x 2+y2-2x=04.(2015课标,14,5 分)一个圆经过椭圆 + =1的三个顶点,且圆心在 x轴的正半轴上,则该圆的标准方21624程为 . 答案 +y2=(-32)2 2545.(2018课标全国理,1
5、9,12 分)设抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,过 F且斜率为 k(k0)的直线 l与 C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求 l的方程;(2)求过点 A,B且与 C的准线相切的圆的方程.解析 (1)由题意得 F(1,0),l的方程为 y=k(x-1)(k0),设 A(x1,y1),B(x2,y2).由 得 k2x2- (2k2+4)x+k2=0.=(-1),2=4 =16k 2+160,故 x1+x2= .22+42所以|AB|=|AF|+|BF|=(x 1+1)+(x2+1)= .42+42由题设知 =8,解得 k=-1(舍去)或 k=1,42+42因此 l的方程为 y=x-1.(2
6、)由(1)得 AB的中点坐标为(3,2),所以 AB的垂直平分线方程为 y-2=-(x-3),即 y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x 0,y0),则解得 或0=-0+5,(0+1)2=(0-0+1)22 +16, 0=3,0=2 0=11,0=-6.因此所求圆的方程为(x-3) 2+(y-2)2=16或(x-11) 2+(y+6)2=144.方法总结 有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.C 组 教师专用题组考点 圆的方程1.(2015北京,2,5 分)圆心为(1,1)且过原点
7、的圆的方程是( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2答案 D 2.(2014陕西,12,5 分)若圆 C的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x对称,则圆 C的标准方程为 .答案 x 2+(y-1)2=13.(2014山东,14,5 分)圆心在直线 x-2y=0上的圆 C与 y轴的正半轴相切,圆 C截 x轴所得弦的长为 2 ,3则圆 C的标准方程为 . 答案 (x-2) 2+(y-1)2=44.(2014湖北,17,5 分)已知圆 O:x2+y2=1和点 A(-2,0),若定点
8、 B(b,0)(b-2)和常数 满足:对圆 O上任意一点 M,都有|MB|=|MA|,则(1)b= ; (2)= . 答案 (1)- (2)5.(2017课标全国理,20,12 分)已知抛物线 C:y2=2x,过点(2,0)的直线 l交 C于 A,B两点,圆 M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点 O在圆 M上;(2)设圆 M过点 P(4,-2),求直线 l与圆 M的方程.解析 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由 可得 y2-2my-4=0,则 y1y2=-4.=+2,2=2 又 x1= ,x2= ,故 x1x2= =4.212222(12)24因此 O
9、A的斜率与 OB的斜率之积为 = =-1,所以 OAOB.1122-44故坐标原点 O在圆 M上.(2)由(1)可得 y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心 M的坐标为(m 2+2,m),圆 M的半径 r= .(2+2)2+2由于圆 M过点 P(4,-2),因此 =0,故(x 1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即 x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得 y1y2=-4,x1x2=4.所以 2m2-m-1=0,解得 m=1或 m=-.当 m=1时,直线 l的方程为 x-y-2=0,圆心 M的坐标为(3,1)
10、,圆 M的半径为 ,圆 M的方程为(x-3) 2+(y-1)102=10.当 m=-时,直线 l的方程为 2x+y-4=0,圆心 M的坐标为 ,圆 M的半径为 ,圆 M的方程为 +(94,-12) 854 (-94)2= .(+12)28516解后反思 直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x 1,y1)、(x 2,y2)表示:(x-x 1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.6.(2016江苏,18,16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy中,已知以 M为圆心的圆 M:x2+y2
11、-12x-14y+60=0及其上一点 A(2,4).(1)设圆 N与 x轴相切,与圆 M外切,且圆心 N在直线 x=6上,求圆 N的标准方程;(2)设平行于 OA的直线 l与圆 M相交于 B,C两点,且 BC=OA,求直线 l的方程;(3)设点 T(t,0)满足:存在圆 M上的两点 P和 Q,使得 + = ,求实数 t的取值范围.解析 圆 M的标准方程为(x-6) 2+(y-7)2=25,所以圆心 M(6,7),半径为 5.(1)由圆心 N在直线 x=6上,可设 N(6,y0).因为圆 N与 x轴相切,与圆 M外切,所以 00)有公共点,则 r的最小值为( )A.2 B.2 C.4 D.22
12、3答案 B 3.(2019届浙江高考模拟试卷(五),7)若圆 x2+y2-4x-2y-1=0上存在两点关于直线 ax+2by-2=0(a0,b0)对称,则+的最小值为( )A. +1 B.3+22 2C.2 D.92答案 B 4.(2018浙江镇海中学阶段性测试,7)已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点 M(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC和 BD,则四边形 ABCD的面积为( ) A.10 B.206 6C.30 D.406 6答案 B 5.(2018浙江金华十校模拟(4 月),6)已知椭圆 + =1(ab0)经过圆 x2+y2-4x-2y=0的圆心,则 ab的取值22
13、22范围是( )A. B.4,+)14,+)C. D.(0,4(0,14答案 B 6.(2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),6)在平面直角坐标系 xOy中,以(0,1)为圆心,且与直线 mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圆中,面积最大的圆的标准方程是( )A.x2+(y-1)2=2 B.x2+(y-1)2=4C.x2+(y-1)2=8 D.x2+(y-1)2=16 答案 C 二、填空题(单空题 4分,多空题 6分,共 18分)7.(2019届浙江“七彩阳光”联盟期初联考,11)公元前 3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在平面轨迹一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,
14、其中有如下结果:平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中,若 A(-2,0),B(2,0),则满足|PA|=2|PB|的点 P的轨迹的圆心为 ,面积为 . 答案 ; (103,0)6498.(2018浙江镇海中学阶段性测试,15)已知圆 C经过 A(3,2),B(4,1)两点,且圆心在直线 2x+y-4=0上,则圆C的方程是 . 答案 (x-2) 2+y2=59.(2018浙江 9+1高中联盟期中,16)已知圆 C:x2+(y-r)2=r2(r0),点 A(1,0),若在圆 C上存在点 Q,使得CAQ=60,则 r的取值范围是 . 答案 ,+)310.(2018浙江镇海中学期中,16)已知圆 x2+y2=1上任意一点 P,过点 P作两直线分别交圆于 A,B两点,且APB=60,则|PA| 2+|PB|2的取值范围为 . 答案 (3,6
