1、第四节 导数与函数的综合问题A 组 基础题组1.(2017 北京西城一模,18)已知函数 f(x)=ex-x2.设直线 l 为曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0)处的切线,其中 x0-1,1.(1)求直线 l 的方程(用 x0表示);(2)设 O 为原点,直线 x=1 分别与直线 l 和 x 轴交于 A,B 两点,求AOB 的面积的最小值.解析 (1)对 f(x)求导,得 f (x)=ex-x,所以直线 l 的斜率为 f (x0)= -x0,e0由此得直线 l 的方程为 y- =( -x0)(x-x0),(e0-1220) e0即 y=( -x0)x+(1-x0) + .e0 e01
2、220(2)依题意 B(1,0),设 A(1,y1),在切线方程中令 x=1,得 y1=( -x0)+(1-x0) + =(2-x0) .e0 e01220 (e0-120)所以 SAOB=|OB|y1|=12|(2-0)(e0-120)|= ,x0-1,1.|(1-120)(e0-120)|设 g(x)= ,x-1,1,(1-12x)(e-12x)则 g(x)=- + =- (x-1)(ex-1).12(e-12x)(1-12x)(e-12)令 g(x)=0,得 x=0 或 x=1.当 x 变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x -1 (-1,0) 0 (0,1)1g(x) - 0
3、+g(x) 32(1+12) 1 12(-12)来源:Zxxk.Com所以 g(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,所以 g(x)min=g(0)=1,从而AOB 的面积的最小值为 1.思路分析 (1)利用导数的几何意义求切线方程;(2)结合点 A,B 的坐标,用 x0 表示三角形AOB 的面积,构造函数,利用导数求AOB 面积的最小值.方法点拨 利用题目中的条件构造函数,再利用导数研究函数的单调性和最值.2.(2018 北京东城二模,19)已知函数 f(x)=xsin x+cos x+ax2,x-,.(1)当 a=0 时,求 f(x)的单调区间;(2)当 a0 时,讨论 f
4、(x)的零点个数.解析 (1)当 a=0 时, f(x)=xsin x+cos x,x-,f (x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x.当 x 在区间-,上变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:x-(- ,- 2)- 2 (- 2,0)0 (0, 2) 2 ( 2, )f (x)+ 0 - 0 + 0 -f(x)-1极大值 2 极小值 1极大值 2 -1所以 f(x)的单调增区间为 , ; f(x)的单调减区间为 , .(- ,- 2)(0, 2) (- 2,0)( 2, )(2)任取 x-,.因为 f(-x)=(-x)sin(-x)+cos(-x)+ a(-x)
5、2=xsin x+cos x+ax2=f(x),所以 f(x)是偶函数.f (x)=ax+xcos x=x(a+cos x).当 a1 时,a+cos x0 在0,上恒成立,所以 x0,时, f (x)0.所以 f(x)在0,上单调递增.又因为 f(0)=1,所以 f(x)在0,上无零点.又因为 f(x)是偶函数,所以 f(x)在-,上无零点.当 00, f(x)单调递增;当 x(x 0,)时, f (x)1, f()= a 2-1,所以当 a 2-10,即 时, f(x)无零点.22 223.(2018 北京朝阳一模,18)已知函数 f(x)= -ax.-1(1)当 a=2 时,(i)求曲线
6、 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程;(ii)求函数 f(x)的单调区间;(2)若 10,且-ln x0,则 f (x)0;在区间(1,+)上,2-2x 20, f(x)0.-1设 h(x)=ax2-x+1-ln x,只需证 h(x)0 成立.h(x)=2ax-1-= ,10,则 h(x)的最小值为 h(x0)=a -x0+1-ln x0= -x0+1-ln x0= -ln x0.20 1+02 3-02又 h(1)=2a-20,h =a-30,-ln x00.3-02因此 -ln x00,即 h(x0)0,所以 h(x)0,3-02所以 f(x)0,得 xln 2,所以 F(x)在
7、(ln 2,+)上单调递增;令 F(x)0,所以 h(x)在(-,+)上单调递增,a.若 a+1=0,则当 b0 时满足条件,此时 a+b-1;b.若 a+10 时,令 h(x)0,得 xln(a+1);令 h(x)0,则 G(x)=1-ln x,令 G(x)0,得 0e.所以 G(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,所以,当 x=e 时,G(x) max=e-1,从而,当 a=e-1,b=0 时,a+b 的最大值为 e-1.综上,a+b 的最大值为 e-1.方法点拨 在解决不等式恒成立问题时,可以把问题等价转化,通过构造函数来研究函数的最值问题,当最值中仍含有参数时,可以再次
8、构造函数,利用二次求导来处理.B 组 提升题组5.(2018 北京西城一模,20)已知函数 f(x)=ex(a+ln x),其中 aR.(1)若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与直线 y=-垂直,求 a 的值;(2)记 f(x)的导函数为 g(x).当 a(0,ln 2)时,证明:g(x)存在极小值点 x0,且 f(x0)0,所以 g(x)与 h(x)同号.h(x)= = .2-2+23 (-1)2+13所以对任意 x(0,+),有 h(x)0,故 h(x)在(0,+)上单调递增.因为 a(0,ln 2),所以 h(1)=a+10,h =a+ln a0, 0),所以当 x(0,e)时,
9、-2f (x)0, f(x)在(e,+)上单调递增,所以当 x=e 时, f(x)取得极小值 f(e)=ln e+=2.(2)g(x)=f (x)- =- - (x0),23令 g(x)=0,得 m=-x3+x(x0).设 (x)=- x 3+x(x0),则 (x)=-x 2+1=-(x-1)(x+1).所以当 x(0,1)时,(x)0,(x)在(0,1)上单调递增;当 x(1,+)时,(x)时,函数 g(x)没有零点;当 m=或 m0 时,函数 g(x)有且只有一个零点;当 00),则(*)等价于 h(x)在(0,+)上单调递减,即 h(x)= - -10 在(0,+)上恒成立,2所以 m-x 2+x=- + (x0)恒成立,(-12)2所以 m,即 m 的取值范围是 .14,+ )试题分析 (1)当 m=e 时,求得 f (x),求出函数的单调性,即可求解函数的极小值;(2)由题意得 g(x),令 g(x)=0,得 m=-x3+x(x0),设 (x)=- x 3+x(x0),求得 (x),得到(x)的单调性,得到 (x)的最大值,分类讨论,即可求得零点的个数;(3)由题意,原命题等价于 f(b)-b0),进而转化为 h(x)在(0,+)上单调递减,即 h(x)0 在(0,+)上恒成立,从而求得实数 m 的取值范围.
