1、 第 1页 共 5页 中学生标准学术能力测试诊断性测试 2019 年 3 月测试 理科 数学 （一卷）答案 一 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B B C B C D A A A B D 二 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 65 14. 12= nna 15. 1,31m 16. 3 35三、解答题 ： 共 70 分解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、 23 题
2、为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 60 分 17.（ 12分） （ 1） 由 )si n (3)si n (5 CACB +=+ 得 BA sin3sin5 = 1分 由正弦定理得 ba 35 = 2分 53 = ba ， 3分 由余弦弦定理得 36cos2222 =+= Cabbac 5分 6=c 6分 （ 2） 由余弦定理求出 95cos =B 7分 再求出 9142sin =B 8分 （ 或者由正弦定理先求 sinB ，再求 cosB ） 3s i nc o s3c o ss i n)3s i n ( BBB = 10分 18 35142 = 12分 18 （ 1）补充完整的
3、22列联表如下： 第 2页 共 5页 2分 ( ) 8 2 8.1046.12131 6 245456525 525402090 22 = =K 4分 故在犯错误的概 率 不超过 0.001的前提 下 ， 认为 成绩与班级有 关 6分 （ 2）甲班 45人，按照分层抽样 的方法随机抽取 9人，其中优秀 4人，不优秀 5人 7分 故 X 的所有可能取值为 0, 1, 2 185)0( 292504 =CCCXP，95)1( 291514 =CCCXP ，61)2( 290524 =CCCXP故 X 的分布列为： X 0 1 2 10分 P 185 95 61 数学期望 986129511850)
4、( =+=XE 12分 19 （ 1） 取 CD的中点 M，连接 FM、 OM， OE EF ABC D 平 面 ， EF BCFE 平 面 ， A B C D E F C B B C=平 面 平 面 BCEF ,21 BCEF = 1分 O、 M分别为 BD、 CD的中点， BCOMBCOM 21=， 2分 EFOMEFOM =， 四边形 OMFE为平行四边形， OE FM 3分 ABCDOE 平面 ABCDFM 平面 CFDFM 平面 C F DA B C D 平面平面 4分 （ 2） 过 O做 ON CD于 N， C F DA B C D 平面平面 ，=A B C D C F D C D
5、 O N A B C D平 面 平 面 ， 平 面 ON CFD平 面 OE FM ， C F DFMC F DOE 平面平面 ,， CFDOE 平面 ， E到平面 CFD的距离等于 O到平面 CFD的距离 6分 aaONC O N 4360s i n21 = 中， ， aOEO A E 23= 中， 33 16181 aaVVV C D FEA C DEA E F DC +=+= 3163a= 8分 优秀 不优秀 合计 甲班 20 25 45 乙班 5 40 45 合计 25 65 90 XP185 95 61XP185 95 61XP185 95 61第 3页 共 5页 （ 3） 建系如图
6、（建系过程简略，阅卷老师规定分值）所示： )0,21,0( aA 、 )0,0,23( aB 、)0,21,0( aC 、 )23,0,0( aE 9分 )23,21,0( aaCE = , )0,21,23( aaBC = 平面 ACE的法向量为 )0,0,23( aOB = ， 10分 设平面 BCE法向量为 ( , , )n x y z= 则 ,0,0 = BCnCEn 令 2y ， 2 3 2 3( , 2, )33n = 11 分 15c o s ,53 4 4 42 3 3n O B = + +， 二面角 55A CE B 的 余 弦 值 为 12分 20 解：（ 1） 2 2 1
7、4x y+=； 4分 （ 2） 2222( 2 , 0) , ( 2 , 0) , ( , ) ( 0) ,1 142 2 4 4 4A P B PA B P x y x yxy y ykkx x x x = = = = + 令 设 6分 O 。 A M B D C E F N x y 第 4页 共 5页 1,04A P B Pk k k kk = = 令 （ ） : ( 2 ) , ( 6 , 4 )APl y k x M k= + 12: ( 2 ) , ( 6 , )4BPl y x Nkk= 1( 6, 2 )Qkk + 8分 22 2113 2 ( 2 ) 4 2 8 3 2A Q
8、B Q k kkk = + + = + + 2 12,22kk= = 当 且 仅 当 时 等 号 成 立 10分 此时 )0,6(Q 12分 21 22221 2 ( 2 2 ) 11 ( ) ( 0 ) , ( 2 2 ) 1 0( 1 ) ( 1 )a x a xf x x x a xx x x x+ += = + + =+解 （ ） 令)2(44)2-2 2 = aaa（则 1分 0 2 0 ( ) 0 ( ) ( 0 , )a f x f x + 当 时 ， ， 恒 成 立 ， 所 以 ， 在 单 调 递 增 3分 0 ( ) 0 ( ) ( 0 , )a f x f x + 当 时
9、， ， 所 以 在 单 调 递 增 4分 )2(101)22(2 12 =+ aaaxxaxa 两根为时，当 )2(12 += aaax ， 1 2 1 20 ( ) 0 ; ( ) 0x x x x f x x x x f x 若 或 时 ， 若 时， 则 ()fx在 0, 1- ( 2)a a a（ ）和 1 ( 2 )a a a + + （ ， ）单调递增 ( 1 - ( 2) , 1 ( 2) )a a a a a a + 在 单 调 递 减 6分 2 ( ) (0 , )a f x + 综 上 ： 当 时 ， 在 单 调 递 增 2 ( ) 0 , 1 - ( 2) 1 ( 2) ,
10、a f x a a a a a a + + 当 时 ， 在 （ ） 和 （ ） 单 调 递 增 1 - ( 2) , 1 ( 2)a a a a a a + 在 （ ） 单 调 递 减 7分 ( 2 ) 1 2 ( ) (0 , )a f x + 由 （ ） 知 当 时 ， 在 单 调 递 增， 1 , ( ) (1 ) 0x f x f = 符 合 题 意 9分 2 1 - ( 2) 1 , 1 ( 2) 1 ,a a a a a a a + 当 时 ， ( ) 1 , 1 ( 2)f x a a a + 所 以 在 （ ） 单 调 递 减 第 5页 共 5页 ( ) (1 ) 0f x f
11、=此 时 ， 不 符 合 题 意 11 分 2a 综 上 为 所 求 12分 （ 二 ） 选考题：共 10分 22 选修 4 4，坐标系与参数方程 （ 10分 ） （ 1） ( si n c os c os si n ) 3 06631si n c os 3 022: 3 6 0 5 l x y + = + = = 解 ：直 线 分（ 2） ( 2 c o s , s in )P 方 法 一 ： 设 m in2 c o s 3 sin 6 7 c o s( ) 6 3, ta n2 2 267 102Pldd + = = = = 点 到 的 距 离其 中 为 锐 角 ， 且分方法二：（分析：作
12、直线 l 的平行直线与椭圆相切，两条平行线的距离就是所求。注意，一个是最小距离，一个是最大距离）22221212: 3 0 7 2 3 4 0.12 28 ( 4) 0.7 , 767 6 7 6 7,22136- 7102m l m x y k x y k y kkkkkdd + = + = = = = =+ += = =+ 假 设 直 线 平 行 于 直 线 ， 则 ， 消 去 得 ，所 以最 小 距 离 是 分23 选修 4 5：不等式选讲 （ 10分 ） 3 , 21 ( ) 2 1 , 1 2 ,3 , - 1 .xf x x xx= ，解 ： （ ） 5分 ( ,1)x ( ,1 ) 不 等 式 的 解 集 为 m in( 2) ( ) ) 2 2 , ( )g x f x x m g x= + 设 （ 则=3 10分
