1、9.3 点、线、圆的位置关系挖命题【考情探究】5年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2015浙江,19 直线与圆相切抛物线、三角形的面积直线与圆、圆与圆的位置关系1.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.2014浙江文,5 直线与圆相交 弦长分析解读 1.圆的切线和弦的问题是本节的重点,也是高考考查的重点.2.考查与圆有关的轨迹方程问题、最值问题、范围问题等.3.预计 2020年高考中,点、线、圆的位置关系仍是考查的重点.破考点【考点集训】考点 直线与圆、圆与圆的位置关系1.(2018浙江诸暨高三上
2、学期期末,6)如图,已知点 P是抛物线 C:y2=4x上的一点,以 P为圆心,r 为半径的圆与抛物线的准线相切,且与 x轴的两个交点的横坐标之积为 5,则此圆的半径 r为( )A.2 B.53C.4 D.43答案 D 2.(2018浙江镇海中学阶段性测试,16)圆心在抛物线 y2=2x(y0)上,经过点(2,0)且面积最小的圆为C,直线 y=kx+2与C 相交于 A,B两点,当弦长|AB|取得最小值时,k= . 答案 2+ 22炼技法【方法集训】方法 有关圆的切线问题的解法1.(2018浙江湖州、衢州、丽水高三质检,6)若 cR,则“c=4”是“直线 3x+4y+c=0与圆 x2+y2+2x-
3、2y+1=0相切”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A 2.(2017浙江镇海中学阶段测试,20)已知圆 N:(x+3)2+y2=1,抛物线 M:y=x2,F(0,1).(1)若 P为圆 N上任意一点,求|PF|的最小值及相应的点 P的坐标;(2)在抛物线 M上是否存在纵坐标和横坐标均为整数的点 R,使过 R且与圆 N相切的直线 l1,l2,分别交直线l:y=-1于 A,B两点,且|AB|=4 ,如果存在,求出 R点的坐标;如果不存在,请说明理由.2解析 (1)由题意可得,N(-3,0),直线 NF的方程为 y=1+,代入圆 N的方程,得 (
4、x+3)2=1,所以,当 P点坐标109为 时,|PF|有最小值 -1.(-3+31010, 1010) 10(2)存在.设 R(2t,t2), 过点 R的切线方程为 x-2t=m(y-t2),令 y=-1,则有 x=2t-m(t2+1).由题知点 N到直线 x-2t=m(y-t2)的距离为 =1,化简得(t 4-1)m2-2(2t+3)t2m+(2t+3)2-1=0,|-3+2-2|1+2显然 t41,=4(t 4+4t2+12t+8),且 m1+m2= ,m1m2= ,2(2+3)4-1(2+3)2-14-1所以|AB|=(t 2+1)|m1-m2|=(t2+1) = .24+42+12+
5、8|4-1|24+42+12+8|2-1|因为|AB|=4 ,所以 =4 ,化简得 7t4-20t2-12t=0,所以 t=0或 7t3-20t-12=0.224+42+12+8|2-1| 2因为 tZ 且 7t3=20t+12,所以 t为偶数,不妨设 t=2s,则由 14s3-10s-3=0,易知,该方程无整数解.故存在点R(0,0)满足题意.过专题【五年高考】A 组 自主命题浙江卷题组考点 直线与圆、圆与圆的位置关系1.(2014浙江文,5,5 分)已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0截直线 x+y+2=0所得弦的长度为 4,则实数 a的值是( ) A.-2 B.-4 C.-6 D.-8
6、答案 B 2.(2015浙江,19,15 分)如图,已知抛物线 C1:y=x2,圆 C2:x2+(y-1)2=1,过点 P(t,0)(t0)作不过原点 O的直线 PA,PB分别与抛物线 C1和圆 C2相切,A,B 为切点.(1)求点 A,B的坐标;(2)求PAB 的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解析 (1)由题意知直线 PA的斜率存在,故可设直线 PA的方程为 y=k(x-t),由 消去 y,整理得 x2-4kx+4kt=0,=(-),=142 由于直线 PA与抛物线相切,得 k=t.因此,点 A的坐标为(2t,t
7、 2).设圆 C2的圆心为 D(0,1),点 B的坐标为(x 0,y0),由题意知:点 B,O关于直线 PD对称,故02=-02+1,0-0=0, 解得0= 21+2,0= 221+2.因此,点 B的坐标为 .(21+2,221+2)(2)由(1)知|AP|=t ,1+2和直线 PA的方程 tx-y-t2=0.点 B到直线 PA的距离是 d= ,21+2设PAB 的面积为 S(t),所以 S(t)= |AP|d= .32评析 本题主要考查抛物线的几何性质,直线与圆的位置关系,直线与抛物线的位置关系等基础知识.考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点 直
8、线与圆、圆与圆的位置关系1.(2018课标全国理,6,5 分)直线 x+y+2=0分别与 x轴,y 轴交于 A,B两点,点 P在圆(x-2) 2+y2=2上,则ABP 面积的取值范围是( ) A.2,6 B.4,8 C. ,3 D.2 ,3 2 2 2 2答案 A 2.(2015课标,7,5 分)过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y轴于 M,N两点,则|MN|=( )A.2 B.8 C.4 D.106 6答案 C 3.(2018江苏,12,5 分)在平面直角坐标系 xOy中,A 为直线 l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以 AB为直径的圆 C与直线 l交于另
9、一点 D.若 =0,则点 A的横坐标为 . 答案 34.(2018课标全国文,15,5 分)直线 y=x+1与圆 x2+y2+2y-3=0交于 A,B两点,则|AB|= . 答案 2 25.(2016课标全国,16,5 分)已知直线 l:mx+y+3m- =0与圆 x2+y2=12交于 A,B两点,过 A,B分别作 l的3垂线与 x轴交于 C,D两点.若|AB|=2 ,则|CD|= . 3答案 4C 组 教师专用题组考点 直线与圆、圆与圆的位置关系1.(2015重庆,8,5 分)已知直线 l:x+ay-1=0(aR)是圆 C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点 A(-4,a)作圆 C
10、的一条切线,切点为 B,则|AB|=( ) A.2 B.4 C.6 D.22 10答案 C 2.(2015广东,5,5 分)平行于直线 2x+y+1=0且与圆 x2+y2=5相切的直线的方程是( )A.2x+y+5=0或 2x+y-5=0 B.2x+y+ =0或 2x+y- =05 5C.2x-y+5=0或 2x-y-5=0 D.2x-y+ =0或 2x-y- =05 5答案 A 3.(2014江西,9,5 分)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x轴和 y轴上的动点,若以 AB为直径的圆 C与直线2x+y-4=0相切,则圆 C面积的最小值为( )A. B.C.(6-2 ) D.5答案 A 4
11、.(2017江苏,13,5 分)在平面直角坐标系 xOy中,A(-12,0),B(0,6),点 P在圆 O:x2+y2=50上.若 20,则点 P的横坐标的取值范围是 . 答案 -5 ,125.(2015江苏,10,5 分)在平面直角坐标系 xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线 mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 答案 (x-1) 2+y2=26.(2015湖北,14,5 分)如图,圆 C与 x轴相切于点 T(1,0),与 y轴正半轴交于两点 A,B(B在 A的上方),且|AB|=2.(1)圆 C的 方程为 ; 标 准(2)过点 A任作一条直线与圆 O
12、:x2+y2=1相交于 M,N两点,下列三个结论: = ; - =2; + =2 .| | | | | | 2其中正确结论的序号是 .(写出所有正确结论的序号) 答案 (1)(x-1) 2+(y- )2=2 (2)27.(2014湖北,12,5 分)直线 l1:y=x+a和 l2:y=x+b将单位圆 C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则 a2+b2= .答案 28.(2014重庆,13,5 分)已知直线 ax+y-2=0与圆心为 C的圆(x-1) 2+(y-a)2=4相交于 A,B两点,且ABC 为等边三角形,则实数 a= . 答案 4 159.(2014江苏,9,5 分)在平面直角坐标
13、系 xOy中,直线 x+2y-3=0被圆(x-2) 2+(y+1)2=4截得的弦长为 .答案 255510.(2014课标,16,5 分)设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1上存在点 N,使得OMN=45,则 x0的取值范围是 . 答案 -1,111.(2013浙江文,13,4 分)直线 y=2x+3被圆 x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于 . 答案 4 512.(2015课标,20, 12 分)已知过点 A(0,1)且斜率为 k的直线 l与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1交于 M,N两点.(1)求 k的取值范围;(2)若 =12,其中 O为坐标原点 ,求|MN|.解
14、析 (1)由题设,可知直线 l的方程为 y=kx+1.因为 l与 C交于两点,所以 b0)的两个焦点,P 为椭圆上一点,过2222F2作直线 PF1的垂线交椭圆于 P,Q两点,设椭圆的离心率为 e,若圆 x2+y2=1与直线 PF1相切,且|QF 1|=6,则e2等于( )A. B.134 5-12C.5-2 D.1723-5174答案 D 3.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),6)已知直线 ax+y-2=0与圆 x2+y2=b总有 2个不同的交点,则 b的取值范围是( )A.(2,+) B.(4,+)C.(0,+) D.( ,+)2答案 B 4.(2018浙江镇海中学阶段性测试,9)
15、与直线 x-y=0和圆 C:(x+4)2+(y-4)2=8都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=2 B.(x-1) 2+(y+1)2=2C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x+1)2+(y-1)2=2答案 D 5.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,8)在平面直角坐标系 xOy中,已知点 P(3,-1)在圆 C:x2+y2-2mx-2y+m2-15=0内,动直线 AB过点 P且交圆 C于 A,B两点,若ABC 的面积的最大值为 8,则实数 m的取值范围是( )A.(3-2 ,3+2 ) B.1,53 3C.(3-2 ,15,3+2 ) D.(-,15,+)
16、3 3答案 C 二、填空题(单空题 4分,多空题 6分,共 20分)6.(2019届浙江高考模拟试卷(一),14)已知双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2,以|F 1F2|2222为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的焦距为 ,方程为 . 答案 10; - =1292167.(2018浙江高考模拟卷一,15)已知直线 ax+by=1(其中 a,b为非零实数)与圆 x2+y2=1相交于 A,B两点,O2为坐标原点,且AOB 为直角三角形,则 + 的最小值为 . 1222答案 48.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,16)已知圆 C:x2+y2-2y-9=0,点 A(3,0),B(1,4).对于线段 AC上的任意一点 P,若在以 B点为圆心的圆上存在不同的两点 M,N,使得点 M是线段 PN的中点,则圆 B的半径 r的取值范围是 . 答案 r253109.(2018浙江高考模拟卷,14)已知曲线 C:(mx-y-m)(x+my-1)=0,则曲线 C过定点 ;若 x,y满足x2+y24,则曲线 C长度的取值范围是 . 答案 (1,0);4+2 ,2 3 14
