1、第八节 函数与方程课时作业练1.已知函数 f(x)= 则函数 f(x)的零点为 . 2-1, 1,1+2,1,答案 0解析 当 x1 时,由 2x-1=0 解得 x=0;当 x1 时,方程 1+log2x=0 无解.所以函数 f(x)的零点为 0.2.(2017 盐城伍佑中学期末)若方程 7x2-(m+13)x-m-2=0 的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,则实数 m 的取值范围是 . 答案 (-4,-2)解析 令 f(x)=7x2-(m+13)x-m-2,由题意得 解得-40,(1)=-8-20, 值范围是(-4,-2).3.(2019 江苏南京多校高三模拟)已知函数
2、f(x)=lg x+ x-9 在区间(n,n+1)(nZ)上存在零点,则32n= . 答案 5解析 函数 f(x)在(0,+)上递增,且 f(5)=lg 5- 0,所以函数的零点在区间(5,6)32上,则 n=5.4.已知函数 y=f(x)的图象是连续曲线,且有如下的对应值表:x 1 2 3 4 5 6y 124.4 35 -74 14.5 -56.7 -123.6则函数 y=f(x)在区间1,6上的零点至少有 个. 答案 3解析 由零点存在性定理及题表可知,函数 f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)内均有零点,所以y=f(x)在1,6上至少有 3 个零点.5. 若函数 f(x)=
3、4x-2x-a,x-1,1有零点,则实数 a 的取值范围是 . 答案 -14,2解析 函数 f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零点,即方程 a=4x-2x,x-1,1有解,则 a 的取值范围就是函数 y=4x-2x,x-1,1的值域,令 2x=t,t ,y=t2-t= - ,t ,值域是 ,12,2 (-12)214 12,2 -14,2即 a 的取值范围是 .-14,26.方程 =|log18x|的解的个数为 . |(+2)|答案 12解析 =|log18x|,|sin x|=|log 18x|,|(+2)|作出函数 y=|sin x|与 y=|log18x|在(0,+)上的大致图象,如
4、图所示.由图可知函数 y=|sin x|与 y=|log18x|的图象有 12 个交点,方程 =|log18x|有 12 个解.|(+2)|7.(2019 江苏南京、盐城高三模拟)设函数 f(x)是偶函数,当 x0 时, f(x)=若函数 y=f(x)-m 有四个不同的零点,则实数 m 的取值范围是 .(3-),0 3,-3+1,3, 答案 1,94)解析 画出当 x0 时 f(x)的图象,根据偶函数的图象关于 y 轴对称可得 x0 时, f(x)=ln x-x+1,则函数g(x)=f(x)-ex(e 为自然对数的底数)的零点个数是 . 答案 2解析 当 x0 时, f(x)=ln x-x+1
5、,则 f (x)= -1= .由 f (x)=0 得 x=1,且 x(0,1)时,1 1-f (x)0, f(x)单调递增,x(1,+)时, f (x)1,22-2+58, 1,三个零点,则实数 a 的取值范围是 . 答案 (12,78解析 当 x1 时, f (x)= 0, f(x)递增,则 g(x)有 3 个零点时,-12g(1)=1-2a ,且 2x2-2ax-a+ =0,x1 有两个不相等的实数根,则12 58解得 0,20,+1, 0.(1)求 g(f(1)的值;(2)若方程 g(f(x)-a=0 有 4 个实数根,求实数 a 的取值范围.解析 (1)f(1)=-1 2-21=-3,
6、g(f(1)=g(-3)=-3+1=-2.(2)令 f(x)=t,则原方程可化为 g(t)=a.易知方程 f(x)=t 仅在 t(-,1)时有 2 个不同的解,则原方程有 4 个解等价于函数 y=g(t)(t0,任取 x1,x2t,t+2,若不等式|f(x 1)-f(x2)|1 对任意 t 恒成立,求 m 的取值19,1范围.解析 (1)由题意知,g(x)=f(x)+lg x 2=lg(mx2+2x),g(x)有且仅有一个零点, 有且仅有一个解.+20,20,2+2-1=0当 m=0 时,x= ,符合题意;12当 m0 时,由 =4+4m=0,得 m=-1,此时 x=1,符合题意.综上,m=0
7、 或 m=-1.(2)当 x0 时,u=m+ 为减函数,2m0,u0,y=lg u 为增函数,从而 f(x)在(0,+)上为减函数.任取 x1,x2t,t+2,|f(x 1)-f(x2)|1 对任意 t 恒成立,19,1f(t)-f(t+2)=lg -lg 1 对任意 t 恒成立.(+2) (+2+2) 19,1m+ 10 对任意 t 恒成立,2 (+2+2) 19,1整理得,9mt 2+18(m+1)t-40 对任意 t 恒成立.19,1m0,y=9mt 2+18(m+1)t-4 在 t 上为增函数,19,1当 t= 时,y min= m+2(m+1)-40,解得 m .19 19 1819
8、12.已知函数 f(x)=2x(xR).(1)解不等式 f(x)-f(2x)16-92x;(2)若函数 q(x)=f(x)-f(2x)-m 在-1,1上有零点,求实数 m 的取值范围;(3)若函数 f(x)=g(x)+h(x),其中 g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,若不等式 2ag(x)+h(2x)0 对任意 x1,2恒成立,求实数 a 的取值范围.解析 (1)设 t=2x,由 f(x)-f(2x)16-92x得 t-t216-9t,即 t2-10t+160解析 将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可.3.(2018 泰州模拟)已知函数 f(x)= 若 f(m)= ,则 m= . ,0,
9、2, 0, 12答案 或-110解析 f(m)= 或12 0,=12 0,2=12,解得 m= 或 m=-1.104.若 f(x)是幂函数,且满足 =4,则 f = . (4)(2) (12)答案 14解析 设 f(x)=xa(a 为常数).由 = =2a=4,解得 a=2,则 f(x)=x2,所以 f = .(4)(2)42 (12)145.(2018 江苏三校联考)函数 f(x)=ex+x 的零点在区间(k-1,k)(kZ)内,则 k= . 答案 0解析 函数 f(x)在 R 上递增,且 f(-1)= -10,则 f(x)的零点在(-1,0)内.所以 k=0.16.已知 f(x)=x5+
10、+bx-8,且 f(-2 019)=16,那么 f(2 019)的值为 . 3答案 -32解析 由已知得f(-2 019)=(-2 019)5+ -2 019b-8,(-2 019)3f(2 019)=2 0195+ +2 019b-8,2 0193上述两式相加得 f(-2 019)+f(2 019)=-16,又 f(-2 019)=16,f(2 019)=-32.7.已知函数 f(x)= - (a0,x0),若 f(x)在 上的值域为 ,则 a= . 11 12,2 12,2答案 25解析 因为 f(x)在 上单调递增,且值域为 ,所以12,2 12,2 (12)=12,(2)=2,即 解得
11、 a= .1-2=12,1-12=2, 258.直线 y=1 与曲线 y=x2-|x|+a 有四个交点,则 a 的取值范围是 . 答案 (1,54)解析 y=x 2-|x|+a 是偶函数,图象如图所示,若直线 y=1 与曲线 y=x2-|x|+a 有四个交点,则需满足a- 1a,即 1a .14 549.(2019 江苏苏州模拟)已知 x 满足 22x-(8+ )2x-8 0,求函数 f(x)=log2 log2 的最值.2 2 4解析 由 22x-(8+ )2x-8 0,得 2 x8,所以 x3,2 2 212f(x)=log2 log2 =(log2x-1)(log2x-2)=(log2x)2-3log2x+2,x , 4 12,3令 t=g(x)=log2x,x ,则 t-1,log 23,则12,3y=h(t)=t2-3t+2,t-1,log 23,所以 ymin=h =- ,(32) 14ymax=h(-1)=1+3+2=6.即函数 f(x)的最大值为 6,最小值为- .14
