1、10.3 二项式定理1二项式定理(ab) nC anC an1 b1C ank bkC bn(n N*)0n 1n kn n这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab) n的二项展开式，其中的系数C (k0,1,2，n) 叫做二项式系数式中的 C ank bk叫做二项展开式的通项，用 Tk1kn kn表示，即展开式的第 k1 项：T k1 C ank bk.kn2二项展开式形式上的特点(1)项数为 n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n.(3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数
2、由零逐项增 1 直到 n.(4)二项式的系数从 C ，C ，一直到 C ，C .0n 1n n 1n n3二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 C C .mn n mn(2)增减性与最大值：二项式系数 C ，当 k 时，knn 12 n 12二项式系数是递减的当 n 是偶数时，那么其展开式中间一项 T 1 的二项式系数最大n2当 n 是奇数时，那么其展开式中间两项 T 和 T 1 的二项式系数相等且最大n 12 n 12(3)各二项式系数的和(ab) n的展开式的各个二项式系数的和等于 2n，即 C C C C C 2 n.0n 1n 2n kn n二项展
3、开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C C C1n 3nC C C 2 n1 .5n 0n 2n 4n1判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)C ank bk是二项展开式的第 k 项 ( )kn(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项 ( )(3)(ab )n的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关 ( )(4)在(1 x)9 的展开式中系数最大的项是第五、第六两项 ( )2(12x) 5 的展开式中，x 2 的系数等于 ( )A80 B40 C20 D10答案 B解析 T k1 C ank bkC 15k (2x)kC 2kxk，令
4、k 2，kn k5 k5则可得含 x2项的系数为 C 2240.253在( )n的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 ( )x2 13xA7 B7 C28 D28答案 B解析 由题意有 n8，T k1 C ( )8k (1) kx8 k，k812 43k6 时为常数项，常数项为 7.4已知 C 2C 2 2C 2 3C 2 nC 729，则 C C C C 等于 ( )0n 1n 2n 3n n 1n 2n 3n nA63 B64 C31 D32答案 A解析 逆用二项式定理得 C 2C 2 2C 2 3C 2 nC (1 2) n3 n729，即0n 1n 2n 3n
5、 n3n3 6，所以 n6，所以 C C C C 2 6C 64163.故选 A.1n 2n 3n n 0n5设(x 1) 21a 0a 1xa 2x2a 21x21，则 a10a 11_.答案 0解析 a 10，a11 分别是含 x10 和 x11项的系数，所以 a10C ，a11C ，112 1021所以 a10a 11C C 0.1021 112题型一 求二项展开式的指定项或指定项系数例 1 已知在 n的展开式中，第 6 项为常数项(3x 123x)(1)求 n；(2)求含 x2 的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项思维启迪 先根据第 6 项为常数项利用通项公式求出 n，然后再求指定
6、项解 (1)通项公式为Tk1 C x kx C kx .knn k3 ( 12) k3 kn( 12) n 2k3因为第 6 项为常数项，所以 k5 时， 0，即 n10.n 253(2)令 2，得 k2，10 2k3故含 x2 的项的系数是 C 2 .210( 12) 454(3)根据通项公式，由题意Error!，令 r (rZ)，则 102k3r， k5 r，10 2k3 32kN，r 应为偶数r 可取 2,0，2，即 k 可取 2,5,8，第 3 项，第 6 项与第 9 项为 有理项，它们分别为 C 2x2，C 5，C 8x2 .210( 12) 510( 12) 810( 12)思维升
7、华 求二项展开式中的特定项，一般是利用通 项公式 进行，化 简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时 ，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数 k1，代回通项公式即可(1)(2013 江西) 5 展开式中的常数项为 ( )(x2 2x3)A80 B80 C40 D40(2)(x )(2x )5 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为 ( )ax 1xA40 B20 C20 D40答案 (1)C (2)D解析 (1)T k1 C (x2)5k kC (2) kx105k ，k5 ( 2x3) k5令 105k0 得 k2.常数项为 T3C (2) 240.25(2)令
8、x1 得(1a)(2 1) 51a2，所以 a1.因此(x )(2x )5 展开式中的常数项即为(2x )5 展开式中 的系数与 x 的系数的1x 1x 1x 1x和(2x )5 展开式的通项为 Tk1 C (2x)5k (1) kxk C 25k x52k (1) k.1x k5 k5令 52k1，得 2k4，即 k2，因此 (2x )5 展开式中 x 的系数为 C 252 (1) 280.令1x 2552k1，得 2k6，即 k3，因此 (2x )5 展开式中 的系数 为 C 253 (1) 340.1x 1x 35所以(x )(2x )5 展开式中的常数项为 804040.1x 1x题型
9、二 二项式系数的和或各项系数的和的问题例 2 在(2x3y) 10 的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和思维启迪 求二项式系数的和或各项系数的和的问题，常用赋值法求解解 设(2x3y) 10a 0x10a 1x9ya 2x8y2a 10y10，(*)各项系数和为 a0a 1a 10，奇数 项系数和为 a0a 2 a 10，偶数 项系数和为a1a 3a 5a 9，x 的奇次项系数和为 a1a 3a 5a 9，x 的偶次项系数和为a0a 2a 4a
10、 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和(1)二项式系数的和为 C C C 2 10.01 10 10(2)令 xy1，各 项系数和为 (23) 10(1) 101.(3)奇数项的二项式系数和为 C C C 2 9，01 210 10偶数项的二项式系数和为 C C C 2 9.10 310 910(4)令 xy1，得到 a0a 1 a2a 101，令 x1，y1(或 x1，y1) ，得 a0a 1a 2a 3a 105 10，得 2(a0a 2a 10)15 10，奇数项系数和为 ；1 5102得 2(a1a 3a 9)15 10，偶数项系数和为 .1 5102(5)x 的
11、奇次项系数和为 a1a 3a 5a 9 ；1 5102x 的偶次项系数和为 a0a 2a 4a 10 .1 5102思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n、(ax2 bxc) m (a、bR) 的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1即可；对形如(axby) n (a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 xy1 即可(2)若 f(x)a 0 a1xa 2x2a nxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数 项系数之和为 a0a 2a 4 ，偶数项系数之和为 a1a 3a 5 .f1 f 12 f1 f 12已知 f
12、(x)(1 x) m(12x) n (m，nN *)的展开式中 x 的系数为 11.(1)求 x2 的系数取最小值时 n 的值；(2)当 x2 的系数取得最小值时，求 f(x)展开式中 x 的奇次幂项的系数之和解 (1)由已知得 C 2C 11， m2n11，1m 1nx2 的系数为 C 2 2C 2n(n1)2m 2nmm 12 (11m) 2 .m2 m2 (11 m2 1) (m 214) 35116mN *，m5 时，x 2 的系数取得最小值 22，此时 n3.(2)由(1)知，当 x2 的系数取得最小值时， m5， n3，f(x)(1x) 5(12x) 3.设这时 f(x)的展开式为
13、f(x)a 0a 1xa 2x2a 5x5，令 x1，a 0a 1a 2a 3a 4a 52 53 3，令 x1，a 0 a1a 2a 3a 4a 51，两式相减得 2(a1a 3a 5)60，故展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为 30.题型三 二项式定理的应用例 3 (1)已知 2n2 3n5na 能被 25 整除，求正整数 a 的最小值；(2)求 1.028 的近似值(精确到小数点后三位 )思维启迪 (1)将已知式子按二项式定理展开，注意转化时和 25 的联系；(2)近似值计算只要看展开式中的项的大小即可解 (1)原式46 n5na4(5 1) n5na4(C 5nC 5n1 C 52C
14、 5C )5na0n 1n n 2n n 1n n4(C 5nC 5n1 C 52)25n4a，0n 1n n 2n显然正整数 a 的最小值为 4.(2)1.028(1 0.02) 8C C 0.02C 0.022C 0.0231.172.08 18 28 38思维升华 (1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常 见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似 值则应关注展开式的前几 项(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式(1)(2012 湖北) 设 aZ ，且 0a13，若 512 012a 能被 13 整除，则 a 等于( )A0 B1 C1
15、1 D12(2)SC C C 除以 9 的余数为_127 27 27答案 (1)D (2)7解析 (1)51 2 012a(52 1) 2 012aC 522 012C 522 02 12 12 012011C 52(1) 2 011C (1) 2 012a.2 0112 2 012因为 52 能被 13 整除，所以只需 C (1) 2 012 a 能被 13 整除，2 012即 a1 能被 13 整除，所以 a12.(2)SC C C 2 2718 91127 27 27(91) 91C 99C 98C 9C 109 19 89 99(C 98C 97C )2.09 19 89C 98C 9
16、7C 是整数，09 19 89S 被 9 除的余数为 7.混淆二项展开式的系数与二项式系数致误典例：(12 分) 已知( x 2)2n的展开式的二项式系数和比(3x1) n的展开式的二项式系数和大3x992.求在 2n的展开式中，(2x 1x)(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项易错分析 本题易将二项式系数和系数混淆，利用 赋值来求二 项式系数的和导致错误；另外，也要注意项与项的系数，系数的绝对值与系数的区别规范解答解 由题意知，2 2n2 n992，即(2 n32)(2 n 31)0，2 n 32，解得 n5.2 分(1)由二项式系数的性质知，10 的展开式中第 6 项的二项
17、式系数最大，(2x 1x)即 C 252.二项式系数最大的 项为510T6C (2x)5 58 064.6 分510 ( 1x)(2)设第 k1 项的系数的绝对值最大，T k1 C (2x)10k kk10 ( 1x)(1) kC 210k x102k ，k10Error!得Error! ，即Error!解得 k ，10 分83 113kZ， k 3.故系数的绝对值 最大的项是第 4 项，T4C 27x415 360x 4.12 分310温馨提醒 (1)本题重点考查了二项式的通项公式，二项式系数、项的系数以及项数和项的有关概念(2)解题时要注意区别二项式系数和项的系数的不同；项数和项的不同(3
18、)本题的易错点是混淆项与项数，二项式系数和项的系数的区别方法与技巧1通项为 Tk1 C ank bk是(ab) n的展开式的第 k1 项，而不是第 k 项， 这里knk0,1，n.2二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二 项式系数是指 C ，C ，C ，它只与0n 1n n各项的项数有关，而与 a，b 的值无关；而项的系数是指该项 中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有关3因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解 题时 根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法4运用通项求展开式的一些特殊 项，通常都是由 题意列方程求出 k，再求所
19、需的某 项；有时需先求 n，计算时要注意 n 和 k 的取值范围及它们之间的大小关系失误与防范1区别“项的系数”与“二项式系数” ，审题时要仔细项的系数与 a，b 有关，可正可负，二项式系数只与 n 有关，恒为正2切实理解“常数项” “有理 项”(字母指数为整数)“系数最大的 项”等概念3赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常 赋的值为 0，1.4在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待 a、b.A 组 专项基础训练一、选择题1(2012天津)在 5 的二项展开式中，x 的系数为 ( )(2x2 1x)A10 B10 C40 D40答案 D解析 因为 Tk1 C (2x2)5k
20、kk5 ( 1x)C 25k x102k (1) kxk C 25k (1) kx103k ，k5 k5令 103k1，得 k3，所以 x 的系数为 C 253 (1) 340.352(13x) n(其中 nN 且 n 6)的展开式中 x5 与 x6 的系数相等，则 n 等于 ( )A6 B7 C8 D9答案 B解析 (13x) n的展开式中含 x5 的项为 C (3x)5C 35x5，展开式中含 x6 的项为 C 36x6，由5n 5n 6n两项的系数相等得 C 35C 36，解得 n7.5n 6n3(4 x2 x )6(xR)展开式中的常数项是 ( )A20 B 15C15 D 20答案
21、C解析 设展开式的常数项是第 k1 项， 则 Tk1 C (4x)6k (2 x )kC (1)k6 k6k212x2kx 2kx C (1) k212x3kx ，12x3kx0 恒成立k4，k6T 5C (1) 415.464若在(x1) 4(ax1)的展开式中，x 4 的系数为 15，则 a 的值为 ( )A4 B. C4 D.52 72答案 C解析 (x1) 4(ax1)(x 44x 36x 24x1)(ax1)，x 4 的系数为 4a115，a4.5若(1x) (1x )2(1x) na 0a 1(1x)a 2(1x) 2a n(1x) n，则a0a 1a 2(1) nan等于( )A
22、. (3n1) B. (3n2)34 34C. (3n2) D. (3n1)32 32答案 D解析 在展开式中，令 x2 得 33 23 33 na 0a 1a 2a 3(1) nan，即 a0a 1a 2a 3(1) nan31 3n1 3 (3n1) 32二、填空题6二项式(xy) 5 的展开式中，含 x2y3 的项的系数是_(用数字作答)答案 10解析 T k1 C x5k yk(k0,1,2,3,4,5)，由题意知Error!，含 x2y3 的系数为 C 10.k5 357(2012浙江)若将函数 f(x)x 5 表示为 f(x)a 0a 1(1x)a 2(1x) 2a 5(1x) 5
23、，其中a0，a 1，a 2，a 5 为实数，则 a3_.答案 10解析 f(x) x 5(1 x1) 5，它的通项为 Tk1 C (1x )5k (1) k，k5T3C (1x) 3(1) 210(1x )3，a 310.258(1 )20 的二项展开式中，x 的系数与 x9 的系数之差为_x答案 0解析 T k1 C (x )k(1) kC x ，k2012 k20 k2x 与 x9 的系数分别为 C 与 C .20 1820又C C ，C C 0.20 1820 20 1820三、解答题9已知(12x) 7a 0a 1xa 2x2a 7x7.求：(1)a 1a 2a 7；(2)a1a 3a
24、 5a 7；(3)a0a 2a 4a 6；(4)|a0|a 1| a2|a 7|.解 令 x1，则 a0a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 71.令 x1，则 a0a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 73 7.(1)a 0C 1，a 1a 2a 3a 72.07(2)( )2，得 a1a 3a 5a 7 1 094. 1 372(3)( )2，得 a0a 2a 4a 6 1 093. 1 372(4)方法一 (12x )7 展开式中，a 0、a2、a4、a6 大于零，而 a1、a3、a5、a7 小于零，|a 0| |a1| a2|a 7|(a 0a 2a 4a 6)( a1a 3a 5
25、a 7)1 093(1 094)2 187.方法二 |a 0| |a1| a2|a 7|，即(12x) 7 展开式中各项的系数和，令 x1，|a 0| |a1| a2|a 7|3 72 187.10已知 n，(12 2x)(1)若展开式中第 5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79，求展开式中系数最大的项解 (1)C C 2C ，n 221n980.4n 6n 5nn7 或 n14，当 n7 时，展开式中二项式系数最大的 项是 T4 和 T5.T 4 的系数为 C 423 ，37(12) 352T5
26、的系数为 C 32470，47(12)当 n14 时，展开式中二项式系数最大的 项是 T8.T 8 的系数为 C 7273 432.714(12)(2)C C C 79，n 2n1560.0n 1n 2nn12 或 n13(舍去)设 Tk1 项的系数最大， 12 12(14x) 12，(12 2x) (12)Error! 9.4 k10.4， k10.展开式中系数最大的项为 T11，T11C 2210x1016 896 x10.102(12)B 组 专项能力提升1若(x a) 2( 1) 5 的展开式中常数项为 1，则 a 的值为 ( )1xA1 B9C1 或9 D 1 或 9答案 D解析 由
27、于(xa) 2x 22axa 2，而 ( 1) 5 的展开式通项为 Tk1 (1) kC xk5 ，其中1x k5k0,1,2，5.于是( 1) 5 的展开式中 x2 的系数为( 1) 3C 10， x1 项的系数为( 1)1x 354C 5，常数 项为1，因此(xa) 2( 1) 5 的展开式中常数项为 1(10)451x2a5a 2(1)a 210a10，依 题意a 210a 101，解得 a210a90，即 a1 或 a9.2若(3x )n展开式中各项系数之和为 32，则该展开式中含 x3 的项的系数为 ( )1xA5 B5 C405 D405答案 C解析 令 x1 得 2n32，所以
28、n5，于是(3x )5 展开式的通项为1xTk1 (1) kC (3x)5k ( )k(1) kC 35k x52k ，k51x k5令 52k3，得 k1，于是展开式中含 x3 的项的系数为(1) 1C 34405，故选 C.153从( )20 的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为( )4x1xA. B. C. D.521 27 310 37答案 B解析 ( )20 的展开式通 项为4x1xTk1 C ( )20k ( )kC x5 k，其中 k0,1,2， ，20.k204x1x k20 34而当 k0,4,8,12,16,20 时，5 k 为整数， 对应的项为有理项，34所以从( )
29、20 的展开式中任取一 项，4x1x则取到有理项的概率为 P .621 274(x y)10 的展开式中， x7y3 的系数与 x3y7 的系数之和等于 _答案 240解析 T k1 (1) kC x10k yk，k10C (C )2C 240.310 710 3105在(1x) 3(1 )3(1 )3 的展开式中，x 的系数为_( 用数字作答)x 3x答案 7解析 由条件易知(1x) 3、(1 )3、(1 )3 展开式中 x 的系数分 别是 C 、C 、C ，x 3x 13 23 3即所求系数是 3317.6若( x) 10a 0a 1xa 2x2a 10x10，则( a0a 2 a 10)2(a 1a 3a 9)2 的值为2_ _答案 1解析 设 f(x)( x) 10，则2(a0a 2a 10)2( a1a 3a 9)2(a 0a 1a 10)(a0a 1 a2a 9a 10)f(1)f(1)( 1) 10( 1) 101.2 2
